2023-2024学年河南省濮阳、商丘等市高一上学期期末大联考数学试题 (含解析）

2023-2024学年河南省濮阳、商丘等市高一上学期期末大联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，则
A. B. C. D.
4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为角的终边上一点，则( )
A. B. C. D.
5.声音的强弱通常用声强级和声强来描述，二者的数量关系为 ，为常数一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为；能忍受的最高声强为，此时声强级为若某人说话声音的声强级为，则他说话声音的声强为
A. B. C. D.
6.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知函数，则关于的不等式的解集为
A. B. C. D.
8.若函数在上恰好有个零点和个最值点，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式的值为的是
A. B.
C. D.
10.已知，，为实数，则下列结论中正确的是
( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
11.函数的部分图象如图，则
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递增 D. 在上有个零点
12.已知函数的定义域为，，且，则
A. B.
C. 为奇函数 D. 在上具有单调性
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知某个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为________．
14.已知且，则________．
15.先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，且，则的取值范围是________．
16.已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
Ⅰ求；
Ⅱ若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数且的图象过坐标原点．
Ⅰ求的值；
Ⅱ设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值．
19.本小题分
已知，，．
Ⅰ求；
Ⅱ求．
20.本小题分
已知函数，．
Ⅰ设函数，实数满足，求；( )
Ⅱ若在时恒成立，求的取值范围．
21.本小题分
已知函数图象的两个相邻的对称中心的距离为．
Ⅰ求的单调递增区间；
Ⅱ求方程在区间上的所有实数根之和．
22.本小题分
已知函数且的图象过点．
Ⅰ求不等式的解集；
Ⅱ已知，若存在，使得不等式对任意恒成立，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查交集的求法，考查计算能力．
直接利用交集的运算法则化简求解即可．
【解答】
解：集合，，
则．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题的否定，存在量词命题与全称量词命题的否定关系，属基础题．
直接利用全称量词命题的否定是存在量词命题写出结果即可．
【解答】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题，
则命题“，”的否定是， ，
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
利用同角三角函数的基本关系，将弦化切，再代入求值．
【解答】
解：，
所以分子、分母同除得
．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的概念，诱导公式，属于基础题．
由可得解．
【解答】
解：由题意知则．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数运算的实际应用，属于基础题．
由题意可得解得、，代入可得．
【解答】
解：由已知可得
解得
可得，
令，
可得，．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数函数和二次函数的单调性，属于基础题．
根据题意得到，解不等式组即可．
【解答】
解：因为在上单调递减，所以函数在上单调递减且恒大于零，
则解得．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查奇函数的单调性、解不等式，属于中档题．
可证为奇函数，在上单调递减，不等式可转化为，即，可得不等式得解集．
【解答】
解：的定义域为，，
所以为奇函数，且在上单调递减，
不等式，可转化为，
则，所以，解得，故不等式的解集为
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
求出 的范围，结合图象，得到 ，解得的取值范围．
【解答】
解：当时， ，
在上恰好有个零点和个最值点，
，解得．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查诱导公式，二倍角公式的应用，属于基础题．
根据诱导公式判断，根据二倍角公式判断，根据两角差的余弦公式判断．
【解答】解：对于，，故A错误；
对于，，故B正确
对于，，故C错误
对于，，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，属于基础题．
利用不等式性质逐项判断即可．
【解答】
解：对于，若，则，故，故A正确
对于，当时，，故B错误
对于，若，则，又，所以，故C正确
对于，若，则，则，故D错误．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查由部分图象求三角函数解析式，属于中档题．
根据图象求出函数的解析式，再对各选项逐项判定即可
【解答】解：由题意可得，由的图象过点，可得，又因为，所以，根据函
数的图象关于直线对称，可得，解得，可得
对于，最小正周期，故A正确
对于，若，则，故B正确
对于，当时，，在上单调递减，故C错误
对于，由，得，即，当时，，当时，，
故在上有个零点，故D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的求值和性质，属于中档题．
令，求，判断；令，，求得，判断；由可证为奇函数，判断；由，，可判断．
【解答】
解：对于，令，得，得，故A正确
对于，令，，得，所以，故B正确
对于，由知，所以，当时，即，所以为奇函数，故C正确
对于，，所以，，故在上不具有单调性，故D错误．
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查弧长公式，属于基础题．
将圆心角化为弧度，利用弧长公式求解即可．
解：将圆心角化为弧度为，由弧长公式，可得半径．
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查对数的运算性质，属于基础题．
两边取以为底的对数，利用对数性质可解．
解：由，两边取以为底的对数得，所以，所以或，又因
为，所以．
15.【答案】
【解析】【分析】
【分析】本题考查了正切函数的图象与性质，属于基础题．
根据图象变换得到，然后即可进行求解．
【解答】
【解答】解：由题意得，，由，得，且；
由，可得，得，故的取值范围为
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了指数函数与对数函数互为反函数以及方程的根的个数，是中档题．
易得与的图像关于直线对称，原题转化为关于的方程在上有实根，分离变量，结合函数的单调性可得实数的最大值．
【解答】
解：因为与的图象关于直线对称，
所以若的图象上存在关于直线对称的两个点，
则关于的方程在上有实根，即方程在上有实根．
设，则易得在上单调递增，所以，
故的最大值为．
17.【答案】解：由，解得，
所以，
所以或．
Ⅱ由，得，
于是
解得，
所以的取值范围为．
【解析】本题考查集合的补集，集合的关系求参数的取值范围，属于基础题．
先求得集合，在根据补集运算求得；Ⅱ ，得，可得关于的不等式，求解即可．
18.【答案】解：Ⅰ因为的图象过坐标原点，
所以，
解得．
Ⅱ若，则在上单调递减，
所以，，所以，即，
解得舍去．
若，则在上单调递增，
所以，，所以，即，
解得舍去．
综上，的值为或．
【解析】本题考查指数函数的性质，是基础题．
将点的坐标代入求出的值；
分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求的值．
19.【答案】解：Ⅰ因为，，
所以，
所以，
所以．
Ⅱ，
所以．
【解析】本题考查二倍角正弦公式、两角和与差的正切公式、利用同角三角函数基本关系化简，属于基础题．Ⅰ先由题意结合同角三角函数基本关系求出的值，再求，根据可得；
Ⅱ利用结合两角差的正切公式可求出的值，再根据可得．
20.【答案】解：易知是上的奇函数，从而，
因为，所以，得，
所以
Ⅱ若，则在上单调递增，
因为在时恒成立，所以，解得，所以
若，由可得，当且仅当，即时等号成立，
则在上单调递减，在上单调递增．
若，则，解得，与矛盾
若，则，解得，所以．
综上所述，的取值范围是
【解析】本题考查对勾函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．
Ⅰ利用是上的奇函数，进行求解即可；
Ⅱ时，，解得；，由时，得到函数的单调性，再分，，两种情况讨论．
21.【答案】解：．
由条件知的最小正周期为，所以，解得，
所以．
由，
得．
所以的单调递增区间是．
Ⅱ的实数根，即的图象与直线的交点横坐标．
当时，，由，得，由，得，
作出在上的图象与直线，大致如图：
由图可知，的图象与直线在上有个交点其中两个关于直线对称，另外两个关于直线对称，
所以个交点的横坐标之和为，即所求的实数根之和为
【解析】本题主要考查了辅助角公式，三角函数图象及其性质运用，函数零点与方程根的关系，考查了分析和运用能力，属于中档题．
Ⅰ运用辅助角公式，化简得到，再根据的最小正周期为，即可求出，进而得到函数的解析式为 ，然后求的单调递增区间；
Ⅱ作出函数图像，即求的图象和直线在区间上有交点横坐标的和，即可求解．
22.【答案】解：Ⅰ由题意知，所以，．
，
不等式即，所以，
得，即，
所以原不等式的解集为
Ⅱ当，时，，，又在上单调递增，
所以当时，不等式恒成立，等价于恒成立，
即恒成立．
当时，，得．
设函数，其图象开口向上，对称轴方程为，
因为，所以，
而对任意恒成立，所以，
所以在上的最小值为．
原问题转化为：存在，使得，即，
因为，所以，要使成立，只需，
解得舍去，
又，所以的最小值为．
【解析】本题主要考查对数函数与二次函数的综合问题，属于较难题．
Ⅰ利用对数运算及对数函数单调性解得不等式；
Ⅱ由在上单调递增，将问题转化为恒成立，根据二次函数性质可得的最小值．
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