2023-2024学年山东省青岛市高二上学期期末学业水平检测数学试题(含解析）

2023-2024学年山东省青岛市高二上学期期末学业水平检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且与互相垂直，则实数等于
( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
3.已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
4.正四面体各棱长均为，，，分别是的中点，则( )
A. B. C. D.
5.点在椭圆上，，点到直线的距离为，则( )
A. 与无关 B. C. D.
6.过三点，，的圆交轴于，两点，则( )
A. B. C. D.
7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，七七数之剩二除以余，问物几何现有这样一个相关的问题：已知正整数满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是( )
A. 准线的方程是 B. 以为直径的圆与轴相切
C. 的最小值为 D. 的面积最小值为
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为调研某地空气质量，连续天测得该地是衡量空气质量的重要指标，单位：的日均值，依次为，，，，，，，，，，则( )
A. 这组数据的极差为 B. 这组数据的众数为
C. 这组数据的中位数为或 D. 这组数据的第百分位数为
10.下列有关直线与圆的结论正确的是( )
A. 方程表示的直线必过点
B. 过点且在，轴上的截距相等的直线方程为
C. 圆和圆的公共弦所在的直线方程为
D. 若圆上恰有个点到直线的距离等于，则
11.在等比数列中，，，则( )
A. 的公比为 B. 的前项和为
C. 的前项积为 D.
12.已知双曲线，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则( )
A. 双曲线的离心率为
B. 存在点，使得四边形为正方形
C. 四边形的面积为
D. 四边形的周长最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一排有个座位，如果每个座位只能坐人，现安排四人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有 种用数字作答．
14.已知抛物线的准线与圆相切，请写出一个抛物线的标准方程为 ．
15.已知是圆上任意一点，则的取值范围为 ．
16.已知数列的通项公式，记为在区间内项的个数，则 使得不等式成立的的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知点，，中恰有两个点在抛物线上．
求的标准方程
若点，在上，且，证明：直线过定点．
18.本小题分
已知数列的前项和为，，．
求数列的通项公式
设，记数列的前项和为，证明．
19.本小题分
已知点，，动点满足．
求动点的轨迹方程
一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程．
20.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，是的中点．
求证：平面平面；
若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
在通信技术中由和组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个序列的长度如是一个长度为的序列长为的序列中任何两个不相邻的序列个数设为，长度为的序列为：，，都满足数列，长度为且满足数列的序列为：，，，．
求，
求数列中，，的递推关系
记是数列的前项和，证明：为定值．
22.本小题分
已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，．
求的标准方程
设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的方向向量和直线的倾斜角与斜率，属于基础题．
设直线的倾斜角为，由题意得，可得倾斜角．
【解答】解：设直线的倾斜角为，，
由直线的一方向向量为
得，
则，
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标表示，考查空间向量的数量积运算，是基础题．
根据的坐标分别求出与的坐标表示，由与互相垂直，得与的数量积为零即可求解．
【解答】
解：，
，
与互相垂直，
，解得或．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题．
由题意可得，，由，解得，，可得，求出渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．
【解答】
解：由题意可得，，
则，解得，，又，
则双曲线的渐近线方程为，
则焦点到渐近线的距离为．
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积运算，空间向量的线性运算，属于一般题．
用 表示出 ，再求数量积即可求解．
【解答】
解：因为，，分别是 的中点，四面体 是正四面体，且棱长 ，
所以
．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程，考查两点间的距离公式，属于中档题．
根据椭圆的标准方程和两点间的距离公式即可求解．
【解答】
解：设点，，
因为动点在椭圆上，则，
因为点到直线的距离为，
所以，
又，
所以
．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的一般方程，考查两点间的距离，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键，属于基础题．
设圆的方程为，代入点的坐标，求出，，，则圆的方程可得，令，即可得出结论．
【解答】解：设圆的方程为 ，
则
，，，
，
令，可得 ，
，
．
故选D．
7.【答案】
【解析】【分析】本题考查等差数列的判定或证明，等差数列的前项和公式，“对勾”函数的图象与性质，属于中档题．
由题意可分析出数列是首项为，公差为的等差数列，利用等差数列的前项和公式化简，结合对勾函数的单调性可知最小值．
【解答】解：被除余的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列
是一个首项为，公差为的等差数列，
所以
，
由对勾函数的性质可得：
函数在上单调递减，在上单调递增，又为正整数，所以最小值为
8.【答案】
【解析】【分析】
解：对于：由抛物线的方程可知其焦点为，故准线的方程为：，故A错误．
对于：当直线的斜率不存在时，即直线方程：，易得，则以为直径的圆半径为，
此时不与轴相切，故B错误．
对于：当直线的斜率不存在时，易得，，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
由得，
，，，
，
易知直线的方程为，由
，得，
，，
综上所得，的最小值为，故C正确．
对于：当直线的斜率不存在时，易得，，
，
当直线的斜率存在时，，
故当时，取得最小值，且此时最小值为，故D错误．
故选：．
【解答】
本题考查抛物线性质，直线与抛物线关系的应用，考查转化思想，考查运算求解能力，属中档题．
对于：根据抛物线方程结合准线定义即可判断；
对于：当直线斜率不存在时，计算可得此时以为直径的圆不与轴相切，即可判断；
对于、：分直线斜率存在以及不存在两种情况分别讨论，即可求解．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查样本的数字特征，属于基础题．
对于，根据极差的概念通过计算即可判断；对于，对这组数据重新排序，再根据众数的概念计算即可判断；对于，对这组数据重新排序，再根据中位数的概念计算即可判断；对于，求出这组数据的第百分位数即可判断．
【解答】解：对于，极差为，所以A正确；
对于，这组数据从小到大依次是：，，，，，，，，，，所以众数为，故B正确；
对于，这组数据从小到大依次是：，，，，，，，，，，
所以中位数为，C错误；
对于，因为，所以这组数据的第百分位数为，所以D正确．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线过定点问题，考查直线的截距式方程，考查直线与圆、圆与圆的位置关系，属于一般题．
对于，将直线方程化为即可判断；对于，当截距为时即可判断；对于，由圆的方程可得圆与圆相交，再将两圆的方程作差即可判断；对于，由题意可得圆心到直线的距离等于，根据点到直线的距离公式即可判断．
【解答】
解：对于，方程可化为，
直线过定点，故A正确；
对于，当截距为时，直线方程为，故B错误；
对于，圆的一般方程化为标准方程得，圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为，所以圆与圆相交．
圆的标准方程化为一般方程得，
与圆的一般方程作差，可得，即，
所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为，故C正确；
对于，若圆上恰有个点到直线的距离等于，
则圆心到直线的距离等于，
即，解得，故D正确．
11.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查等比数列的通项公式、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式，属于中档题．
根据等比数列的通项公式、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式，逐项判断即可．
【解答】解：设等比数列的公比为，
则，得，
所以，
所以，
所以，
所以数列的公比为，故A正确
因为，
所以的前项和为
，故B正确
的前项积为，故C错误
因为，
所以的前项和为，故D错误．
故选AB．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的几何性质，考查基本不等式，属于较难题．
由双曲线的离心率公式可判断；当为双曲线右顶点时，四边形为正方形，从而可判断；设 ，则，根据点到直线的距离公式可得，从而可判断；利用基本不等式求出的最小值，从而可判断．
【解答】
解：由双曲线的方程可得渐近线方程为 ，离心率为 ，故A错误；
若四边形为正方形，则到两条渐近线的距离相等，
所以当为双曲线右顶点时，四边形为正方形，故B正确；
设，则 ，
因为渐近线方程为 ，
所以，
所以，
则四边形的面积为，故C正确；
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
四边形的周长为，故D错误．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了排列组合的综合应用，以及分步计数原理的应用．
根据题意，分步进行分析：将人全排列，安排在个座位上，排好后，有个空档可用；安排空座位到空中，相邻的两个空座位捆在一起，看作一个元素，有种坐法，然后再从剩余的个空中选择两个将空座位安上，因为空座位相同，所以只需要选出两个空位即可，有种坐法，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：可看成个坐着人的座位和个空座位排队，
因为恰有两个空座位相邻，故和另外两个空座位均不相邻，
先安排个坐着人的座位，共有种坐法，
产生个空，然后安排空座位到空中，相邻的两个空座位捆在一起，看作一个元素，有种坐法，
然后再从剩余的个空中选择两个将空座位安上，因为空座位相同，所以只需要选出两个空位即可，有种坐法，
所以共有种坐法．
故答案为．
14.【答案】任意一个均可以
【解析】【分析】
本题考查圆的切线方程，抛物线的标准方程，属于基础题
解题时写出切线方程，在求出抛物线方程即可．
【解答】
解：与圆相切且与坐标轴平行或垂直的直线有
对应的抛物线方程有：
15.【答案】
【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
设，变形可得，利用的几何意义转化为直线与圆的位置关系即可求解．
【解答】
解：设，变形可得，
则的几何意义为直线的斜率，
是圆上任意一点，圆心，半径为
则，解得 ，
即的取值范围为
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的最大小项问题、利用指数函数的单调性解不等式，属于较难题．
根据题意可令，得到关于的取值范围，于是对分奇偶数进行讨论，可计算得出的值；考虑为奇数时，根据题设不等式可得出，可求得的最小值，考虑为偶数时，得到，可求得的最小值，综合两种情况即可得到的最小值．
【解答】
解：由题意，令，得，
当为奇数时，可以被整除，
于是，
当为偶数时，不能被整除，
所以，
所以；
当为奇数时，为偶数，
，
即，因为，所以，即，
因为为奇数，所以的最小值为，
当为偶数时，为奇数，
，
因为，所以，即，
所以的最小值为，
综上所述，的最小值为．
故答案为；．
17.【答案】解：因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称，
所以点，在上，
将点代入抛物线得，，，
所以抛物线的方程为：
由题，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为，
由消得：，
由韦达定理得，所以，
所以直线恒过定点．
【解析】本题考查抛物线的标准方程以及直线与抛物线相交的定点定值问题，属于中档题．
根据点的坐标可得抛物线也关于轴对称，将点代入抛物线方程即可求解；
设直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得，即可求定点坐标．
18.【答案】解：由
当时，，于是，
则，即，
当时，，则，
所以是首项为，公比为的等比数列
所以通项公式为
由知，，
则，
得．
即．
【解析】本题考查了数列的递推式和裂项相消法求和，属于中档题．
依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式；
由可得，利用裂项相消法求和，即可证明．
19.【答案】解：设，由得，
化简得，动点的轨迹方程为：，
点关于轴的对称点
由题意知反射光线所在的直线经过点，且其斜率一定存在，
设其方程为，即为，
设圆心到反射直线的距离设为，则
所以，解得舍去或．
所以反射光线所在直线的方程为．
【解析】本题考查与圆有关的轨迹问题和直线与圆的位置关系，属于一般题．
设点，由得方程，化简整理即可
求出圆心到直线的距离，对直线的斜率存在讨论即可求解．
20.【答案】证明：平面，平面，
，
，，
，
，，
又，，平面
平面，
平面，
平面平面
解：如图，以为原点，取中点，、、分别为轴、轴、轴正向，建立空间直角坐标系，
则，，．
设，则，
，，，
取，则，为面的法向量．
设为面的法向量，则，
即取，，，则，
依题意，，，
则．
于是，．
设直线与平面所成角为，
则，，
即直线与平面所成角的正弦值为．

【解析】本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究线面角，属于中档题．
证明平面平面，只需证明平面，即证，；
根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值为，可求的值，从而可求，，即可求得直线与平面所成角的正弦值．
21.【答案】解：由题意知：，
设长为的序列中任何两个不相邻的序列有个，考虑最后一个数：
若最后一位是，则只要前位任何两个不相邻，则满足要求的序列有个
若最后一位是，则倒数第二位是，只要前位任何两个不相邻即可，满足要求的序列有个，
所以
考虑长度为的序列最后一个数：如果最后一位是，则只要前位任何两个不相邻，则满足要求的序列有个
若最后一位是，则倒数第二位是，于是只要前位任何两个不相邻即可，则满足要求的序列有个，
所以
因为，
所以
所以数列是常数列，
所以为定值
【解析】本题考查数列的递推公式，数列的实际应用，属于较难题．
根据已知得到，然后利用分类讨论最后一个数求解即可
考虑长度为的序列最后一个数，观察即可求得递推关系；
根据前两问求得证明数列是常数列即可．
22.【答案】解：由题意知：，所以，
又因为，所以，
则椭圆的标准方程为
设，，，显然，，，
由椭圆定义知：，的周长均为，
所以，同理，
所以，
设直线，，
将直线方程代入椭圆的方程得：，
所以，
即，同理，
所以，
当且仅当，时等号成立．
所以的最大值为．
【解析】本题考查求椭圆的标准方程及几何意义，考查直线与椭圆的位置关系，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题．
由题意知：求得，进而可得，可求椭圆的方程；
设，，，由题意知，设直线，，
将直线方程代入椭圆的方程得：，结合韦达定理运算可求的最大值．
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