2023-2024学年广东省江门市高二上学期调研测试数学试题（一）(含解析）

2023-2024学年广东省江门市高二上学期调研测试数学试题（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点与平行的直线方程是( )
A. B. C. D.
2.方程表示一个圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列，，，的前项和为，则的值为( )
A. B. C. D.
5.两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的，两点，当直线经过抛物线的焦点时，则为( )
A. B. C. D.
6.阿基米德公元前年公元前年不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆的对称轴为坐标轴，面积为，且两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则椭圆的标准方程为( )
A. B. ，或
C. D. ，或
7.设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知为正方形的中心，，分别为，的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，已知点，，，，则( )
A. 直线的倾斜角不存在 B. 直线与直线的倾斜角相等
C. 直线与直线的斜率之和为 D. 点到直线的距离为
10.如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点，是和的交点，为空间中任意一点，则( )
A. ，，，四点共面 B.
C. 为直线的方向向量 D.
11.已知等差数列的前项和为，公差为，，，则( )
A. B. 为递减数列
C. 若，则，且 D. 当或时，取得最大值
12.已知抛物线的焦点为，直线，过的直线交抛物线于，两点，交直线于点，，，则( )
A. 的面积的最大值为 B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线被圆截得的弦长为 ．
14.写出一个与双曲线有相同渐近线，且焦点在轴上的双曲线方程为 ．
15.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在梦溪笔谈中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题现有一货物堆，从上向下查，第一层有个货物，第二层比第一层多个，第三层比第二层多个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前项和 ．
16.如图，已知正三棱柱的所有棱长均为，动点在线段上，则面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等差数列和等比数列满足，，，，设数列的公比为．
求数列，的通项公式
若，为数列的前项和，求．
18.本小题分
如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，．
求证：
若，求异面直线与所成角的余弦值．
19.本小题分
已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程
若直线与曲线有且只有一个公共点，求的值．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，底面是菱形，是正三角形，，是的中点．
证明：
求平面与平面夹角的余弦值．
21.本小题分
已知等比数列的前项和为，且
求数列的通项公式
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和．
22.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆相交于，异于，两点．
若直线的斜率为，求
若直线与直线相交于点，求证：，，三点共线．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的方程，属于简单题．
由题得到直线的斜率，再代入点坐标，即可求解．
【解答】
解：直线的斜率为，则所求直线斜率为
则，即
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．
根据所给的圆的一般方程中，解不等式即可．
【解答】
解：若方程 表示一个圆，
则，解得 ，
故选 D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的运算以及数量积，属于基础题．
根据题意，分别求 和，利用数量积计算即可．
【解答】
解：由，，
得，，
所以．
4.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查等差数列前项和公式，属于基础题．
求出公差，代入可得．
【解答】解：设等差数列公差为，则，
由题意，
解得．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查抛物线的性质，属于一般题．
由对称性判断出轴，利用即可求解．
【解答】
解：由题意可知，直线和关于轴对称
抛物线关于轴对称，焦点坐标，如下图所示：
因为直线经过抛物线的焦点，
则轴，且
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求椭圆方程，属于基础题．
根据条件得方程组，求出，即可得椭圆方程．
【解答】
解：由题意，得
故椭圆方程为或
7.【答案】
【解析】【分析】本题考查双曲线的性质，属于基础题．
由已知求出，进而可求离心率的范围．
【解答】解：双曲线渐近线斜率，
根据双曲线渐近线的斜率的绝对值小于得到，
双曲线离心率．
故选B
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二面角，空间向量的数量积运算，属于中档题．
根据条件可得，，利用空间向量的线性运算得到，再由空间向量的数量积运算求解即可．
【解答】
解：如图所示，易知，，所以结
合已知有，，，，，，
易知，，
设正方形边长为，所以，，
，
．
9.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查直线倾斜角、斜率，点到直线距离，属于基础题．
利用直线倾斜角、斜率判断，，，利用点到直线距离公式判断．
【解答】解：对于，直线的倾斜角为，故A错误；
对于，，斜率为，斜率为，所以，直线与直线的倾斜角不相等，直线与直线的斜率之和为，故B错误，C正确；
对于，直线方程为，故点到直线的距离为，故D正确．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积与空间向量的垂直关系，空间向量的线性运算，直线的方向向量，考查运算求解能力，属于中档题．
由题意可得可判断；由题意可得四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质判断；利用直线的方向向量的定义判断；利用根据，，，分别是，，，的中点，分析可得四边形为平行四边形，进而可得为的中点，由向量加法的运算法则判断．
【解答】
解：对于，，，，分别是，，，的中点，，，，又，，，四点不共线，所以，，，四点共面，故A正确；
对于，，，，分别是，，，的中点， ， ，
四边形是平行四边形，与不一定垂直， 不一定等于，故B错误；
对于，，为直线的方向向量，故C正确；
对于，可知是和的交点，则对空间任意一点，
根据题意，，，，分别是，，，的中点，
则，，故EH，
同理：，
则四边形为平行四边形，
又由，则为的中点，
则有，，，
故有，
，故D错误．
11.【答案】
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于基础题；
根据已知条件结合等差数列的性质以及等差数列通项公式、等差数列的前项和公式依此求出首项和公差求解即可．
【解答】解：因为，即，所以，B正确；
又因为，所以，A正确；
因为
所以，C错误；
根据可得公式为一元二次函数，，当或时取得最大值， D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
根据题干设出直线，然后联立得到关于的一元二次方程，然后利用韦达定理即可求解，同时也要考虑向量计算．
【解答】设直线，由得：
选项A
应是最小值为，故A错误；
选项B，故B正确；
选项C，，则，故C正确；
选项D由，，
得：，
．，故D正确
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，属于基础题．
根据圆的方程可得圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求得弦心距，利用垂径定理求得弦长．
【解答】
解：圆的半径为，圆心到直线的距离，
故弦长为，
故答案为：．
14.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】
本题考查双曲线的标准方程，属于简单题．
设所求双曲线方程为 ，利用焦点在轴上即可求解．
【解答】
解：由题意可设所求双曲线方程为 ，即 ，
因为焦点在轴上，
可取，
则双曲线方程可以为
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的递推关系式、等差数列求和公式以及裂项相消法求和，考查学生的推理能力、计算能力，属于中档题．
由题意，，，，利用累加法求出，化简数列，再求和即可．
【解答】解：由题意，，
，
，
，
将上述式子累加得
，
所以
，
所以
．
故答案为 ．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了点到直线的距离，正三棱柱的结构特征，考查了空间想象能力，属于中档题．
在平面内过作，以点为原点，射线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出，，点到直线的距离，结合二次函数的性质即可得，再列出三角形面积表达式，即可得解．
【解答】
解：在正三棱柱中，在平面内过作，显
然射线，，两两垂直，以点为原点，射线，，分别为，，轴建立空间直角
坐标系，如图，因正三棱柱的所有棱长均为，
则，，，，
所以，，
因动点在线段上，则令，，
即有点，所以，则，
从而，因此点到直线的距离
，当且仅当时取等号，
所以线段上的动点到直线的距离的最小值为，又因为，
所以，则面积的最小值．
17.【答案】解：设的公差为，
由，得，
又，得，
联立解得，或，
因为，
故舍去，
所以，
．
由有，
因为，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列，
．
【解析】本题主要考查等差数列及等比数列的通项公式，以及等比数列求和公式，属于中档题．
先根据条件求出公差及公比，由此可得数列，的通项公式；
根据的结论易得数列的通项公式，再利用等比数列求和公式，便可求得．
18.【答案】解：由题意知平面，又因为平面，
所以
由已知有，且和为平面内两相交直线，
所以平面
又因为平面
所以．
由题意知面，，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
令，，
则，，，，
故，，
设异面直线与所成角为，
故异面直线与所成夹角的余弦值为．

【解析】本题考查线面垂直的性质，异面直线所成角，属于基础题．
推得平面，再根据线面垂直的性质即可证得；
建立空间直角坐标系，分别求得，，利用向量法得解．
19.【答案】解：设动点，
由题意有，
即，
同时平方，有，
整理得：，
所以曲线的方程为；
联立方程，
消去得，
当即时，方程有个根，符合题意；
当即且时，
因为直线与曲线有个公共点，
故，
解得：，
综上所述，当或时，直线与曲线有且只有一个公共点．
【解析】本题考查与双曲线有关的轨迹问题，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
设出点坐标，由题意得，化简得到答案；
将直线与双曲线方程联立，再分当，两种情况讨论即可．
20.【答案】解：证明：取的中点，连接，，，因为是正三角形，所以．
又平面平面，平面，平面平面，所以平面．
因为平面，所以．
因为是的中点，所以又底面是菱形，所以，从而．
因为，，平面，
所以平面．
因为平面，
所以．
连接，因为，
所以是正三角形，
所以．
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
令，则，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则
令，则，，得．
设平面的法向量为，则，
令，则，，得．
设面与面夹角为，
则，
所以面与面夹角的余弦值为．
【解析】本题主要考查空间线面关系，二面角平面角等知识点，考查数形结合及化归与转化的数学思想方法，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力等，属于中档题．
取的中点，连接，，，由面面垂直的性质定理可证平面，由线面垂直证平面，由性质定理可得结论；
先建立空间直角坐标系，设求各点坐标，分别求出面与面的法向量，利用向量夹角公式求解即可．
21.【答案】解：设等比数列 的公比为 ，
，
时， ， 时， ，
，
，
；
解法二：，
，
两式相减得：，
即
为等比数列，设公比为，则，
，
时，，即，
，
；
由得，由题得，
，
，
，
两式相减得
，
所以．

【解析】本题考查利用数列递推公式求通项公式，以及利用错位相减法求和，属于中档题．
方法一，由求出求出等比数列的通项；
方法二，利用数列递推公式可得，两式相减结合等比数列通项公式求出结果；
利用错位相减求和．
22.【答案】解：，直线的斜率为，
直线的方程为：，
代入椭圆方程得：化简得：，
设，，则有，，
，
所以．
由题意知，直线不与轴重合，
故可设直线的方程为：，设，，
由方程组，消去整理得，
，，
直线，令得：，
，
又直线与直线有公共点，
所以，，三点共线．
【解析】本题考查直线与椭圆位置关系的综合运用，属于较难题．
根据已知设出直线的方程为：，与椭圆联立得到一元二次方程，利用韦达定理化简求值即可；
设直线的方程为：与椭圆联立消去整理得到一元二次方程，利用韦达定理然后根据化简求解即可．
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