2023-2024学年第一学期高二年级期末教学检查
数学
满分：100分 时间：120分钟
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试用时120分钟，注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂，
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．回答第II卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第I卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题所给四个选项中，只一项符合题目要求．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 方程表示圆，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于两点，若两点的横坐标之和为3，则（ ）
A. 5 B. C. D. 4
4. 已知椭圆的右焦点为，点和所连线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A. 36 B. 42 C. 45 D. 54
6. 已知A，B为某随机试验的两个事件，为事件A的对立事件．若，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为（参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
8. 设为抛物线焦点，为该抛物线上不同的三点，且为坐标原点，若、、的面积分别为、、，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分．
9. 若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（ ）
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
…… ……
A. 第9行中从左到右第6个数126 B.
C. D.
11. 我国发射的“神舟十二号”载人飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，地球是一个半径为的球体，为地球表面任意一点，飞船运行轨道近地点A与点的最远距离为千米，远地点与点的最远距离为千米，则下列结论正确的是（ ）
A. 飞船运行轨道的长轴长为千米
B. 飞船运行轨道的焦距为千米
C. 飞船运行轨道的短轴长为千米
D. 飞船运行轨道的离心率为
12. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，则（ ）
A. 当时，延长交直线于点，则、、三点共线
B 当时，若平分，则
C. 的大小为定值
D. 设该抛物线的准线与轴交于点，则
第II卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．
13. 的展开式中，含项的系数是______.（用数字作答）
14. 随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下：
0 1
则的值为______．
15. 现有甲、乙、丙、丁、戊等共7人排成一列，位置排列要求甲要站在首位或者末位，乙和丙要站在一起，丁和戊不能相邻，共有______种排法．
16. 已知双曲线的左、右焦点分别是，点A是圆上的一个动点，且线段的中点B在E的一条渐近线上．若E的焦距为4，则E的离心率的最小值是__________．
四、解答题：本大题共6小题，满分52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，
17. 现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．
（1）求；
（2）求．
18. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.求：
（1）的分布；
（2）的期望与方差.
19. 为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.
（1）根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数
（2）若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列.
20. 已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面，，，是棱上一点.
（1）证明：平面；
（2）当平面时，求与平面所成角的正弦值.
21. 已知直线与双曲线相交于、两点，且的中点为．
（1）求双曲线的离心率；
（2）设双曲线的右顶点为，右焦点为，，试判断是否为直角三角形，并说明理由．
22. 已知，圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过作一条不平行于坐标轴的直线交曲线于两点，过点作轴的垂线交于点，求面积的最大值．2023-2024学年第一学期高二年级期末教学检查
数学
满分：100分 时间：120分钟
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试用时120分钟，注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂，
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．回答第II卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第I卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题所给四个选项中，只一项符合题目要求．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据方程可得斜率，进而可得倾斜角.
【详解】由直线，可得，
即其斜率，
设直线的倾斜角为，
则，，
故选：D.
2. 方程表示圆，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程表示圆，应当满足求解即可.
【详解】因为方程表示圆，
所以，解得：.
故选：B.
3. 过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于两点，若两点的横坐标之和为3，则（ ）
A. 5 B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线定义即可求出.
【详解】根据题意，设的坐标为，的坐标为，
抛物线的准线方程为，
又由在抛物线上，则，，
∴.
故选：A.
4. 已知椭圆的右焦点为，点和所连线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设椭圆的右焦点为，利用中点坐标公式求出的中点坐标，代入椭圆方程得到，方程两边同除以即可求得椭圆离心率.
【详解】由题意，设椭圆的右焦点为，
则的中点为，
代入椭圆方程得，
整理得，
方程两边同除以得，，解得，
因为，故.
故选：B
5. 从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A. 36 B. 42 C. 45 D. 54
【答案】B
【解析】
【分析】分选2个偶数中含有0和不选0两种情况，结合排列组合知识进行求解.
【详解】当任选2个偶数中含有0时，0可以放在个位或十位，共2种情况，
再从3个奇数中选一个，2个偶数中选一个，放在剩余的数位上，共种选择，
此时共种情况，
当任选2个偶数中不含有0时，从3个奇数中选一个，并和2,4进行全排列，共种情况，
综上，组成没有重复数字的三位数个数为.
故选：B
6. 已知A，B为某随机试验的两个事件，为事件A的对立事件．若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知可求得，，然后根据条件概率，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，
根据条件概率可知，.
故选：A.
7. 泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为（参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用给定的信息，求出，再利用概率公式计算即得..
【详解】依题意， ，，泊松分布可作为二项分布的近似，
此时，则，
于是, ,，
所以次品率小于的概率约为.
故选：C
8. 设为抛物线的焦点，为该抛物线上不同的三点，且为坐标原点，若、、的面积分别为、、，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】设点的坐标，再表示出的面积，借助向量等式即可求得答案.
【详解】设点坐标分别为，而抛物线的焦点，，
，由，得，
于是，
所以
故选：A
【点睛】关键点睛：设出点的坐标，由向量运算得到坐标之间的关系是解题的关键.
二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分．
9. 若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据随机分布的定义和随机分布的期望方差计算进行求解即可.
【详解】对于选项A：随机变量X服从两点分布，因为
故，故选项A正确；
对于选项B：，故选项B错误；
对于选项C：，故选项C正确；
对于选项D：，故D正确.
故选：ACD
10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（ ）
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
…… ……
A. 第9行中从左到右第6个数是126 B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据杨辉三角，利用组合数的计算判断ABD，利用二项式系数的性质判断C.
【详解】对于A，第9行中从左到右第6个数是，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，由二项式系数的性质，得，C错误；
对于D，
，D正确.
故选：ABD
11. 我国发射的“神舟十二号”载人飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，地球是一个半径为的球体，为地球表面任意一点，飞船运行轨道近地点A与点的最远距离为千米，远地点与点的最远距离为千米，则下列结论正确的是（ ）
A. 飞船运行轨道的长轴长为千米
B. 飞船运行轨道的焦距为千米
C. 飞船运行轨道的短轴长为千米
D. 飞船运行轨道的离心率为
【答案】BD
【解析】
【分析】设飞船运行椭圆轨道的长轴长为千米，短轴长为千米，焦距为千米，由椭圆性质得近地点、远地点与地面上点的最远距离，从而求得，然后由椭圆性质计算判断．
【详解】设飞船运行椭圆轨道的长轴长为千米，短轴长为千米，焦距为千米，
由题，
解得，
所以飞船运行轨道的长轴长为千米，故A错误；
焦距为千米，故B正确；
短轴长为千米，故C错误；
离心率，所以D正确.
故选：BD.
12. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，则（ ）
A. 当时，延长交直线于点，则、、三点共线
B. 当时，若平分，则
C. 的大小为定值
D. 设该抛物线的准线与轴交于点，则
【答案】AD
【解析】
【分析】对AB，可代入条件求出抛物线方程后计算出相应的点的坐标，A选项验证三点纵坐标可得，B选项中结合条件得到计算即可得；对CD，设出直线方程，联立后得出两点横纵坐标关系后，结合斜率与倾斜角的关系即可得.
【详解】设，如图所示：
对AB选项：直线平行于轴，当，时，抛物线的方程为，
过点，即有，则，即，直线经过焦点，
直线的方程为，即，
由消去x得，由，得，于是，
显然直线的方程为，直线交直线于点，
显然直线轴，由光学性质知，轴，因此、、三点共线，A正确；
由光学性质知轴，而轴，则，有，
又平分，即，则，
于是，即，解得，B错误；
对CD选项： 设直线的方程为，
由消去得：， 显然，
则，，，
设，由斜率坐标公式得，，
于是，即，
而不是定值，因此不是定值，C错误；
点，直线斜率，直线斜率
，
即，因此，D正确.
故选：AD
【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
第II卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．
13. 的展开式中，含项的系数是______.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式，求出系数.
【详解】展开式的通项．
令，得，
则．
故答案为：
14. 随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下：
0 1
则的值为______．
【答案】##0.1875
【解析】
【分析】根据给定表格，求出的分布列，再利用方差的定义计算即得.
【详解】依题意，的取值为0，1，且，，
则的期望，
所以的方差.
故答案：
15. 现有甲、乙、丙、丁、戊等共7人排成一列，位置排列要求甲要站在首位或者末位，乙和丙要站在一起，丁和戊不能相邻，共有______种排法．
【答案】288
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理，结合相邻问题、不相邻问题及特殊元素站位列式计算即得.
【详解】先把乙丙捆绑在一起与除甲丁戊外的另两人作全排列，并把乙丙排列，有种，
再把丁戊插入前面排列形成的4个空隙（除乙丙间的外）中，有种，
最后让甲站首末两位之一有种，
由分步乘法计数原理得不同排法种数是.
故答案为：288
16. 已知双曲线的左、右焦点分别是，点A是圆上的一个动点，且线段的中点B在E的一条渐近线上．若E的焦距为4，则E的离心率的最小值是__________．
【答案】2
【解析】
【分析】设，，由条件出点的轨迹，根据所求曲线与双曲线渐近线有公共点，求出临界状态下渐近线的斜率，数形结合求出有公共点时渐近线斜率的范围，从而求出离心率的范围.
【详解】设，且E的焦距为4，则，
因为点A是圆上的一个动点，
所以．
因为B是的中点，
所以，即，
所以，
所以B点在圆上，同时B在E的一条渐近线上．
设E的渐近线：，所以直线与圆有公共点，
即，
又．
故答案为：2．
四、解答题：本大题共6小题，满分52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，
17. 现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）；
（2）0.81.
【解析】
分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式计算即得.
（2）由（1）的结论，利用全概率公式列式计算即得.
【小问1详解】
依题意，.
【小问2详解】
依题意，，
由（1）知，
由全概率公式得
.
18. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.求：
（1）的分布；
（2）的期望与方差.
【答案】（1）答案见解析.
（2），
【解析】
【分析】（1）由题，根据超几何分布求解即可；
（2）根据期望与方差公式求解即可.
【小问1详解】
解：所选女生人数的所有可能取值为，
；
；
.
所以，选3个人中女生人数的概率分布为：
0 1 2
【小问2详解】解：由（1）知，
19. 为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.
（1）根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数
（2）若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列.
【答案】（1）频率为；中位数为
（2）分布列见解析
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质计算各组频率，在根据中位数的求法计算即可；
（2）利用二项分布求概率及分布列即可.
【小问1详解】
由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为,
所以数学成绩落在区间内的频率为，
因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，
所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为，
数学成绩落在区间[70，100）的频率为，
所以中位数落在区间内，
设中位数为，则，解得，
所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为.
【小问2详解】
由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，
由题意可知，，的所有可能取值为，
，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
20. 已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面，，，是棱上一点.
（1）证明：平面；
（2）当平面时，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）先证平面ADE平面BCF，再证明平面即可；
（2）设出的坐标，求出平面的法向量，由平面的向量关系求出点坐标，再用向量法求线面角即可.
【小问1详解】
因为底面为矩形，所以；
平面，平面，所以平面，
又四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，
所以平面，因为，且平面ADE，平面ADE，
所以平面ADE平面BCF，因为平面ADE，所以平面；
【小问2详解】
如图，连接AF，EG，取的中点，的中点，
因为是等边三角形，所以，又平面平面，
平面FBC，平面平面，
所以平面ABCD，又底面为矩形，所以，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，，
则，设，则，
可知，
由底面是平行四边形，得，
设平面的法向量为，
则，取，得，
则平面的法向量为，
由题意平面AEF，则，解得，
所以，即是中点，
因为，所以，所以，
设平面的法向量为，则，
取，得，所以平面的法向量为，
，设直线与平面所成的角为，
则.
所以BG与平面DEG所成角的正弦值为.
21. 已知直线与双曲线相交于、两点，且的中点为．
（1）求双曲线的离心率；
（2）设双曲线的右顶点为，右焦点为，，试判断是否为直角三角形，并说明理由．
【答案】（1）；（2）直角三角形．
【解析】
【分析】（1）直线和双曲线联立方程，利用中点公式，求出双曲线离心率．
（2）利用（1）问关系列出、的关系式，进而解出的值，然后利用圆的直径所对的圆周角为直角得出结论．
【详解】解：（1）由题设知，的方程为：，
代入的方程，并化简得，
设，，
则，①，
由为的中点知，
故，即②，
故，所以双曲线的离心率．
（2）由①、②知，设双曲线的方程为：，
，，，，
故不妨设，，
，
，
，
又，
故，解得或（舍去），
故，
连接，则由，知，
从而，
且轴，因此以为圆心，为半径的圆经过、、三点，且在点处与轴相切．
所以过、、三点的圆与轴相切．为直角三角形．
22. 已知，圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过作一条不平行于坐标轴的直线交曲线于两点，过点作轴的垂线交于点，求面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合对称的性质可得，再利用椭圆的定义求解即得.
（2）设出直线的方程，与曲线的方程联立，结合韦达定理及三角形面积公式求出面积的函数关系，并求出最大值即得.
【小问1详解】
连接，由线段的垂直平分线和半径相交于点，得，而圆的半径为，
则，
因此曲线是以为左右焦点，长轴长的椭圆，显然焦距，则，
所以曲线的方程是.
【小问2详解】
设直线的方程为，，则，
由消去得，显然，则，
于是的面积
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
