精品解析：云南省保山市2024届高三上学期1月期末数学试题 (原卷版+解析版)

保山市普通高中2023～2024学年上学期期末质量监测
高三数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列函数既是奇函数，又在上单调递增的函数是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知不等式的解集为，不等式的解集为，则是的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 将每个数均加上9，得到，则两组数数字特征不同的是（ ）
A. 平均数 B. 方差
C. 极差 D. 众数的个数
4. 已知抛物线：，是坐标原点，过点的直线交于，两点，则的值（ ）
A. 大于零 B. 等于零
C. 小于零 D. 随着直线的变化而变化
5. 如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
6. 已知直三棱柱，，，点为棱的中点，则四棱雉外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
8. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知，则下列正确的是（ ）
A. B. 在复平面内所对应的点在第二象限
C. D.
10. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种计算，经过有限步后，必进入循环.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.事实上“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，则的值可以是（ ）
A. 12 B. 13 C. 40 D. 80
11. 若，则下列正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 如图，在矩形中，，沿对角线向上翻折，得到，则下列说法正确是（ ）
A. 存在点使得
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 当时，直线与平面所成的线面角为
D. 当在平面投影在内部（含边界）时，的轨迹长度为
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者年龄，得到如图的样本数据的频率分布直方图，则这种疾病患者的平均年龄为________.
14. 已知（）在区间上单调递增，则的取值范围为________.
15. 已知，则的前25项的和为________.
16. 已知双曲线：，是坐标原点，，分别是左、右焦点，点是上任意一点，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为，则的长为________；过作角平分线的垂线，垂足为，则的长为________.
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．
（1）求角A；
（2）若点D是边上的一点，且，求的面积的最大值．
18. 已知为等比数列，且为数列的前项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）令，求证：.
19. 如图，在三棱锥中，，，.
（1）求证：；
（2）求二面角平面角的余弦值.
20. 现有甲、乙两名篮球运动员进行投篮练习，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为.
（1）为了增加投篮练习的趣味性，甲、乙两人约定进行如下游戏：甲、乙两人同时投一次篮为一局比赛，若甲投进且乙未投进，则认定甲此局获胜；若甲未投进乙投进，则认定乙此局获胜；其它情况认定为平局，获胜者此局得1分，其它情况均不得分，当一人得分比另一人得分多3分时，游戏结束，且得分多者取得游戏的胜利.求甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的概率.
（2）投篮练习规定如下规则：甲、乙两人轮流投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则对方投篮，第一次投篮由甲完成，设为第次投篮由甲完成的概率.
（i）求，，的值；
（ii）求与的关系式，并求出.
21. 已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围.
22. 已知椭圆：（），且椭圆的长轴长为4，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，现过点的直线分别交椭圆于，两点，且直线交线段于点，试判断与的大小，并说明理由.
答案
1-8：DCABB BDA
AC
ABD
ABC
BCD
47.9
①. ②.
17.（1）
由及正弦定理知：，即，
由余弦定理有，由，所以，
（2）由，所以，可得，即，
由，所以，当且仅当时等号成立，
所以，故所求的面积的最大值为．
18. （1）
由，所以，故数列的公比为3，
所以，故而，
所以.
（2）证明：由（1）知，，
当时，成立；
当时，且，
所以
，
综上，.
19. 如图，在三棱锥中，，，.
（1）取的中点，连接，，
由，所以，
由，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）由（1）知平面，又平面，所以平面平面，
由，，所以，
又，所以为正三角形，
取，的中点，则，平面平面，
平面，，则，两两垂直，
以为原点，，所在的直线分别为轴，
建立如图所示的空间坐标系；
则，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
所以即，
令，所以，，即；
设是平面的一个法向量，
所以即，
令，则，，即，
设二面角的平面角为，所以，
二面角平面角的余弦值为.
20. （1）
由题意可知，在一局比赛中，
甲获得1分的概率是，乙获得1分的概率是，
甲、乙均不得分的概率是，
甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的比分是3∶0或4∶1，
当比分是3∶0时，甲获胜的概率为；
当比分是4∶1时，甲获胜的概率为
所以甲恰在第五局结束后取得游戏胜利的概率为.
（2）（ⅰ）由题意知：，，.
（ⅱ）由题意知：当时，，
所以，又，
所以是以为公比，为首项的等比数列；
所以.
21. 已知函数，.
（1）
由题意知：，
所以，
①当时，若，则，若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，令得：或，且，
若，则，若，则，若，则，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，恒成立，所以在上单调递增；
④当时，令得：或，且，
若，则，若，则，若，则，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由恒成立，即，恒成立，
所以，，
令，，所以，
若，则，若，则，
在上单调递增，在上单调递减；
所以当时，有极大值也是最大值为，所以.
所以的取值范围为.
22. （1）.
（2）略
23. （1）
由题意可知：，所以，又由，所以，所以；
故椭圆的方程为.
（2）如图，令，，，，
由题知切线的斜率存在，且设过点的切线方程为，
联立方程得，解得：，
由于只有一个切点，所以，解得，
又因为，所以切线的方程为，
同理可得切线的方程为，
又点是切线，的公共点，
所以故而所在的直线为，
由题意可知，直线的斜率存在，不妨设为，则，
所以直线的方程为，
联立方程：解得：，
联立方程：消除得：，
所以，，
又有，，，
，
所以.