第六章 6.4.1 平面几何中的向量方法 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第六章
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.会用向量知识解决简单的向量问题，并掌握基本方法. 1.数学抽象素养、数学建模素养.
2.体会向量在解决数学问题中的作用. 2.逻辑推理素养、数学抽象素养.
温故知新
1.平面向量的数量积
2.平面向量的长度（模）
,.
设的夹角为θ.
.
4.平面向量垂直
，为非零向量.
5.平面向量的夹角
3.平面向量平行、共线
.
新知探究
前面我们学面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算化归为实数的运算.本节我们将学习运用向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用.同时我们还将借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题.
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.
下面通过具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用.
新知探究
【例1】如图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：DE∥BC,DE=BC.
证明：
从而 .
又∵.
如图，∵DE是△ABC的中位线，
∴.
∴.
分析：选取{}为基底,用表示,证明即可.
则DE∥BC,DE=BC.
新知探究
平面几何经常涉及距离(线段长度)和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题. 用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
⑴ 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
⑵ 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
⑶ 把运算结果“翻译”成几何关系.
用基底表示
向量运算
翻译几何结果
新知探究
【例2】如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
解：
如图，取{}为基底，设,则
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系:
.
.
.
A
B
C
D
分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系.
第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题:
上面两式相加，得.
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系:
.
初试身手
设， ，则
∴四边形DEBF也是平行四边形.
，
，
∴，且D，E，F，B四点不共线，
1.已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝ AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．
证明：
新知讲解
【例3】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明：
则,即AF⊥DE.
方法1： 设, 则
.
又∵,,
∴
=0
新知讲解
【例3】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明：
则,即AF⊥DE.
方法2： 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，
∴=(2,1),=(1,-2).
∴=2×1+1×(-2)=0.
初试身手
方法1：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝AB，
2.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝ AB，求证：AC⊥BC．
证明：
∴可设， ，,则.
∴ ，
.
∴0.
A
B
C
D
则,即AC⊥BC.
初试身手
方法2：如图，建立直角坐标系，
设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
2.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝ AB，求证：AC⊥BC．
证明：
∴ ＝(－1,1)， ＝(1,1)．
∴· ＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.
则,即AC⊥BC.
新知探究
⑴以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0, m)，B(n, 0)．
∴ ，，
∵D为AB的中点，∴D .
解：
∴，即CD＝AB.
【例4】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
⑴若D为斜边AB的中点，求证：CD＝ AB；
⑵若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示)．
新知探究
⑵∵E为CD的中点，∴E，
∵A，E，F三点共线，∴ ＝λ，
设F(x,0)，则＝ ， ＝(x,－m)．
解：
∴,即AF=.
【例4】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
⑴若D为斜边AB的中点，求证：CD＝ AB；
⑵若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示)．
即(x,－m)＝λ.
∴,
解得λ=，,则.
初试身手
设， ，则， ，
=2，
而
解：
∴,即AC=.
3.如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
∴,则.
又∵=6.
新知探究
方法一：在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC边的中点，BC=4，AC=6，则CD=2，CE=3，
∴|AD|= ,|BE|==5.
设与的夹角为θ，则
解：
【例5】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=6，则两条直角边的中线所夹的锐角的余弦值为________.
而.
∴cosθ=.
=6×3+0+0+2×4=26.
新知探究
方法二：如图，建立平面直角坐标系.D，E分别为BC，AC的中点，
∴A(0，6)，B(4，0)，D(2，0)，E(0，3)，
则=(2，-6)，=(4，-3).
设与的夹角为θ，则
解：
【例5】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=6，则两条直角边的中线所夹的锐角的余弦值为________.
∴·=2×4+(-6)×(-3)=26，
∴cosθ=.
y
x
，5.
初试身手
如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则
A(0，0)，F，D，E.
则∠EMF的余弦值为.
解：
4.如图示，正方形ABCD的边长为，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求∠EMF的余弦值.
，
∴.
∴.
x
y
新知讲解
用向量求解平面几何问题的两种基本思路
⑴向量的线性运算法的四个步骤
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；
④把几何问题向量化．
⑵向量的坐标运算法的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找相应关系；
④把几何问题向量化．
课堂小结
1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
几何元素向量化 向量运算关系化 结果翻译几何化
2.平面几何中具体的向量方法:
①证明线段相等,转化为证明向量的长度相等;求线段的长,转化为求向量的模.
②证明线段、直线平行,转化为证明向量平行.
③证明线段、直线垂直,转化为证明向量垂直.
④几何中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题.
⑤对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题,通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系,通过向量的坐标运算解决平面几何问题.
作业布置
作业： P52-53 习题6.4 第1，2，3，12题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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