2023-2024学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则的子集个数是( )
A. B. C. D.
2.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的零点所在的一个区间是( )
A. B. C. D.
4.函数的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.在当今这个时代，的研究方兴未艾有消息称，未来通讯的速率有望达到，香农公式是通信理论中的重要公式，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率和信道内部的高斯噪声功率的的大小其中叫做信噪比若不改变带宽，而将信噪比从提升到，则最大信息传递率大约会提升到原来的参考数据，( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
8.若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若集合，，则( )
A. B. C. D.
10.已知定义域为的函数，，使，则下列函数中符合条件的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：在水面下则为负数，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：之间的关系为，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
12.已知函数，，则( )
A. B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线对称 D. 的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题：“，”的否定是______．
14.已知，，则 ______．
15.函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，则函数的值域是______．
16.如图，要在一块半径为，圆心角为的扇形铁皮中截取两块矩形铁皮和，使点在弧上，点在半径上，边与边在半径上，且点为线段的中点设，两块矩形铁皮的面积之和为，则的最大值为______，此时 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求函数的最大值；
求不等式的解集．
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
若，求的值．
19.本小题分
已知函数．
判断函数的奇偶性，并说明理由；
讨论函数在上的单调性，并加以证明．
20.本小题分
已知函数，．
求函数的单调递减区间；
把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值．
21.本小题分
某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第年参观人数为万人，第年参观人数为万人某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：该文化馆每年的参观人数会逐年增加；该文化馆每年参观人数都不超过万人该兴趣小组想找一个函数来拟合该文化馆对外开放后第年与当年参观人数单位：万人之间的关系．
若选函数，试确定，的值，并判断该函数是否符合预测与预测；
若选函数，要使得该函数同时符合预测与预测，试确定的取值范围．
22.本小题分
已知函数的定义域为，，，，且在区间上单调递减．
求证：；
求的值；
当时，求不等式的解集．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：令，解得或，故A，
则的子集个数是个．
故选：．
求出，利用子集的个数公式求解即可．
本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由函数在上为增函数，故当时，．
当时，可得．
故“”是“”的充要条件．
故选：．
由题意，利用指数函数的单调性、充要条件的定义，即可得出结论．
本题主要考查充要条件的定义，指数函数的单调性，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意，，函数在定义域上单调递增，
，，
，，
零点所在的一个区间是．
故选：．
根据函数表达式，结合零点定理即可得出零点所在的一个区间．
本题考查了函数的单调性，考查了函数的零点问题，是一道基础题．
4.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
且，故为偶函数，排除选项BD；
因为恒成立，且根据指数函数的增长速度可知，当时，，排除选项C．
故选：．
根据函数的性质，利用排除法即可得解．
本题主要考查函数图象的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
，
故点在第三象限，
故，，AB错误；
，
因为在上单调递减，
所以，
故，，
所以，C错误，D正确．
故选：．
利用诱导公式得到，，求出点在第三象限，得到AB错误；并结合诱导公式和二倍角公式得到，由余弦函数单调性得到．
本题主要考查了诱导公式，二倍角公式以及余弦函数单调性，考查了函数思想，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：因为，
即，
即，
故或，
由，
故需舍去，即，
又，
故，
则．
故选：．
由题意结合二倍角公式化简后，解方程可得，由同角三角函数与角所在象限计算即可得．
本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
则．
故选：．
将及代入计算对应的，再计算比例即可得．
本题考查了函数的实际应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
即，
即，，
所以．
故选：．
根据对数运算法则及性质得出结果．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：解一元二次不等式，得，
所以；，
由于，结合补集的定义，
，选项A不正确；
同时可得，选项B正确；
由于，且，可得，选项C正确；
由于，且，可得，选项D正确．
故选：．
解一元二次不等式得集合，根据补集的概念可得与，根据集合间的关系以及集合的运算法则，依次判断每个选项即可．
本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：，故A正确；
对于：，当，即时等号成立，故B错误；
对于：，故C正确；
对于：由题意得，故D错误．
故选：．
根据特值以及基本不等式判断，即可得出答案．
本题考查函数的性质，解题中注意转化思想的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为筒车按逆时针方向每分钟转圈，
所以，
所以，选项B正确；
振幅为筒车的半径，即，所以选项A正确；
由题意，时，，即，，即，选项C正确、选项D错误．
故选：．
由题意可得、、和、的值，即可判断选项中的命题是否正确．
本题考查了三角函数模型的应用问题，重点考查了的图象与性质，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：函数，
对于，，故A不正确；
对于，，结合图象，的最小正周期为，故B正确；
对于，，的图象关于直线对称，故C正确；
对于，函数在区间，和，上单调递减，
在区间，和，上单调递增，
，，，，
的最大值为，选项D不正确．
故选：．
将函数表示为分段函数，结合函数的图像，利用三角函数的性质逐项分析即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
13.【答案】，使得
【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题，得；
命题：“，”的“的否定是：
“，使得”．
故答案为：，使得．
根据全称命题的否定是特称命题，直接写出该命题的否定即可．
本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应熟记全称命题与特称命题的关系是什么，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，，，
，．
故答案为：．
化简式子，结合已知条件即可求出的值．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数式与指数式的互化，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由函数的函数值表示不超过的最大整数，
当时，可得，则，
可得，
因为，可得，所以函数的值域是．
故答案为：．
根据题意，当时，得到，结合不等式的性质，即可求解函数的值域，得到答案．
本题以新定义为载体，主要考查了函数值域的求解，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，中，，，
中，，故CD，
所以矩形的面积，
由为中点，可得矩形中，，
所以矩形的面积，
可得，
因为，其中，．
当时，有最大值，此时有最大值，
由，得，解得不符合题意，舍去或．
综上所述，的最大值为，此时．
故答案为：，．
根据矩形与等腰三角形的性质，建立关于角的函数关系式，利用三角恒等变换化简，并结合正弦函数的最值，求出的最大值，进而求出最大时的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、三角函数的最值及其应用，属于中档题．
17.【答案】解：，
当且仅当，即时，等号成立，
故函数的最大值为；
，，
即，解得或，又，故或，
即不等式的解集为或．
【解析】由已知借助基本不等式即可得；
先化简已知不等式，然后解一元二次不等式即可得．
本题主要考查了基本不等式求解最值，还考查了二次不等式的求解，属于基础题．
18.【答案】解：，
则，即函数的最小正周期为；
，
故，又，故，
．
【解析】由辅助角公式化简后结合正弦型函数的性质即可得；
由题意结合象限可得、，借助二倍角公式即可得的值．
本题考查两角和与差的三角函数，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：根据题意，为奇函数，
理由如下：的定义域为，
又，
故为奇函数；
根据题意，当时，单调递减，
当时，单调递增，
证明：设，，且，
则
，
因为，，且，所以，，
当时，，即，
故单调递减，
当时，，即，
故单调递增，
【解析】求出定义域，计算出，得到答案；
利用定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论．
本题考查函数奇偶性、单调性的判断，注意作差法的应用，属于基础题．
20.【答案】解：
，
令，
则，
故函数的单调递减区间为；
将函数的图象向左平移个单位长度，
则，
当时，，
则当时，即时，
有最小值，且最小值为．
即在区间上的最小值为．
【解析】借助三角恒等变换公式将化简为正弦型函数后结合正弦型函数的单调性计算即可得；
平移后得到的解析式，结合正弦型函数的性质计算即可得．
本题主要考查了同角平方关系，二倍角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
21.【答案】解：由于函数，
第年参观人数为万人，即，
第年参观人数为万人，即，
联立可得：，，
所以，
设，，
且，得，，所以，即，
所以在区间上单调递增，符合预测，
同时，，符合预测；
由于函数，
第年参观人数为万人，即，
第年参观人数为万人，即，
联立可得：，
由指数函数的性质可知：
当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，
若符合预测，则或，
当时，，符合预测，
此时，，，，
再符合预测，只需即可，由，且，得：；
当时，，符合预测，
此时函数在区间上单调递增，
同时，，
解方程，可得，
其中，，，
即当时，，不符合预测，
综上所述，的取值范围是：．
【解析】分别将“第年参观人数为万人，第年参观人数为万人”代入解析式，可求得，的值，进而判断函数是否符合预测与预测即可；
同样把“第年参观人数为万人，第年参观人数为万人”代入解析式，可求得，再结合对数函数的性质分，两种情况判断函数是否符合预测与预测，进而求得的取值范围．
本题考查了函数在实际问题上的综合运用，属于中档题．
22.【答案】解：证明：令，则有，
由，故；
令，则有，
则，即，
故，即，
则，即，
故，即有，
故函数为周期为的周期函数，
令、，则有，即，
令、，则有，即，
由，故，
，，，
故；
令，则有，
即，
则，
即可化为，
即解，即，
即，
由、，且在区间上单调递减，
故是该不等式的解，
又，即，
故在区间上单调递增，
又、，故是该不等式的解，
又函数为周期为的周期函数，
故该不等式的解集为．
【解析】借助赋值法令即可得；
借助赋值法可得为周期为的周期函数、并可计算出、、、，结合周期性即可得；
借助赋值法令，可将原不等式转化为，解出可得的范围，结合函数性质即可得．
本题考查了用赋值求抽象函数的值，考查了抽象函数的单调性及周期性，考查了转化思想，属于中档题．
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