2023-2024学年陕西省西安市鄠邑区高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市鄠邑区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线经过，两点，则的斜率为( )
A. B. C. D.
2.已知数列的前项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为( )
A. B.
C. D.
3.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
5.抛物线的焦点为( )
A. B. C. D.
6.若数列满足，，则( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左焦点为，且椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线：，：，：，则( )
A. B. C. D.
10.等差数列的前项和为，若，，则( )
A. 的公差为 B. 的公差为 C. D.
11.已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是( )
A. B.
C. D.
12.已知抛物线：，点在上，过点的直线与相交于，两点，直线，的斜率分别为，，则( )
A. B.
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线：被圆：截得的弦长为______．
14.已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的焦距为______．
15.在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
16.已知数列满足，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线．
求的方程；
若直线与交于，两点，且线段的中点坐标为，求的方程．
19.本小题分
已知圆过点和，且圆心在直线上．
求圆的标准方程；
经过点的直线与圆相切，求的方程．
20.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，是的中点，且．
求的长；
求二面角的正弦值．
21.本小题分
已知正项数列满足，数列的前项和为，且，．
求，的通项公式；
证明．
22.本小题分
已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
求椭圆和双曲线的离心率；
设双曲线的右焦点为，过作轴交双曲线于点在第一象限，，分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点，为坐标原点，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由斜率公式得，的斜率为．
故选：．
根据斜率公式直接计算即可．
本题主要考查的斜率公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：数列的前项分别为，，，，
故该数列的一个通项公式可以为．
故选：．
根据已知条件，结合数列的规律，即可求解．
本题主要考查数列的概念，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为双曲线的离心率为，
所以离心率，解得，
则，故双曲线的渐近线方程为．
故选：．
由双曲线的离心率建立方程，求得的值，进而渐近线方程可求．
本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的离心率和渐近线方程，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：等比数列的前项和为，
则，
，
故，即．
故选：．
根据已知条件，结合等比数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查等比数列的前项和公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：将抛物线的方程整理为标准形式，
得，，
该抛物线的焦点在轴负半轴上，坐标为．
故选：．
把抛物线的方程转化为标准形式，进而求解结论．
本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为数列满足，，
所以，则．
同理可得，，则
故选：．
直接把，代入递推关系式即可求解．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为椭圆的左焦点为，所以．
因为椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，
所以．
结合，可得，，
故椭圆的方程为．
故选：．
根据已知条件求出，，，进而求解结论．
本题主要考查椭圆方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：易知，，两两垂直，以为坐标原点，
的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，
设平面的法向量为，则，，
则有，即，取，得，
设直线与平面所成的角为，
则有．
故选：．
据题意建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量，由向量夹角公式求得线面角的正弦值．
本题考查空间直线与平面所成角的求法，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，．
故选：．
由直线的方程可得斜率的关系，进而判断出它们的位置关系．
本题考查直线的平行或垂直的判断，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设的公差为，
，，
则解得
故，．
故选：．
根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，以及等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，所以曲线与直线可化为曲线与直线．
当时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等．不正确．
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小．不正确．
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大．C正确．
当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负．D正确．
故选：．
先将方程转化为标准方程，结合直线截距，斜率以及椭圆双曲线中，的符号，判断是否对应即可．
本题主要考查图象的识别和判断，结合圆锥曲线中，，的符号以及直线斜率和截距的关系是否对应是解决本题的关键．是中档题．
12.【答案】
【解析】解：抛物线：，点在上，
将代入，得．
过点的直线与相交于，两点，
设，，直线的方程为，
联立方程组消去得由，得或，
所以，，因为，且或，
所以，
．
因为，，所以．
故选：．
根据已知求得，设直线的方程为，联立方程组求得，，表示出斜率即可求解结论．
本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力和转化思想的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：圆：，圆心为，半径为，
因为圆心到直线：的距离，
所以直线被圆截得的弦长为．
故答案为：．
利用点到直线的距离公式，算出点到直线的距离，由垂径定理加以计算，可得直线被圆截得的弦长．
本题考查直线与圆的位置关系问题，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意知，双曲线的焦点在轴上，
所以渐近线方程为，
因为双曲线的一条渐近线方程为，即，
所以，解得，
所以的焦距为．
故答案为：．
根据双曲线的渐近线方程求出的值，再计算焦距即可．
本题考查双曲线的几何性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：以为坐标原点，、、的方向分别为轴、轴，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
可得，，
，，，
设异面直线与所成的角为，则．
故答案为：．
根据题意，建立空间直角坐标系，算出向量的坐标，从而利用空间向量的夹角公式算出答案．
本题主要考查长方体的结构特征、利用空间坐标系求异面直线所成角等知识，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
即；
因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以．
故．
故答案为：．
根据已知的递推关系式得到是首项为，公差为的等差数列，进而求解数列的通项公式，即可求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：当时，．
当时，，符合，
所以的通项公式为．
由可得，
，
则．
【解析】由时，，时，，求得；
由数列的裂项相消求和，可得所求和．
本题考查数列的通项与求和的关系，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：依题意，该动圆的圆心到点与到直线的距离相等，
又点不在直线上，
根据抛物线的定义可知，该动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为．
设，，
则，，
两式相减得，即，
因为线段的中点坐标为，
所以，则，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即．
【解析】根据抛物线的定义，即可得出答案．
设，，则，，两式相减得，又线段的中点坐标为，解得直线的斜率，即可得出答案．
本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：的中点，，
所以的中垂线方程为：，
由，得，即圆心，半径，
所以圆的标准方程为：．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线与圆相切，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，
所以，解得，
所以直线的方程为：．
综上，直线的方程为：或．
【解析】根据圆过点，，求出线段的垂直平分线的方程，与直线联立，求出圆心坐标，根据两点间距离公式求出半径，写出圆的方程即可；
分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线的斜率不存在时，易得直线的方程，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程，解方程，即可求出直线的方程．
本题考查直线与圆的位置关系，属中档题．
20.【答案】解：因为平面，，过作平行于的直线，
所以以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，由，得，，，．
因为是的中点，所以，
所以，，
又因为，所以，
解得，所以；
由可知，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即
解得，令，得，所以．
设平面的法向量为，
则，即
令，得，，所以．
因为，
所以二面角的正弦值为．
【解析】建立空间直角坐标系，设，由建立方程，求解即可；
求出平面和平面的法向量，由向量的夹角公式计算即可．
本题考查二面角的求法，属于中档题．
21.【答案】解：因为，且，所以，
所以，即，
所以，
当时，，
所以，
因为，所以，
所以，即，
显然也符合上式，
所以；
当时，，
因为，所以当时，，
两式相减得，，即，
所以当时，数列是以为首项的常数列，
即，所以，
所以；
证明：因为，
所以，
两式相减得，
所以．
【解析】因为，两边同时取对数可得，再利用累乘法即可求出，利用公式可得是以为首项的常数列，进而求出；
利用错位相减法证明即可．
本题主要考查了数列的递推式，考查了累乘法求数列的通项公式，以及错位相减法求和，属于中档题．
22.【答案】解：易知椭圆的焦距，双曲线的焦距，
因为椭圆与双曲线的焦距之比为，
所以，
整理得，
此时，，
则椭圆的离心率，双曲线的离心率，
证明：由知，
因为，
此时直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
解得，
则，
因为，，，
所以，，
故．
【解析】由题意，根据题目所给信息以及椭圆和双曲线的性质，列出等式进行求解即可；
结合中信息得到点的坐标，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出点的坐标，根据斜率公式再进行求证即可．
本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
第1页，共1页