2023-2024学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
2.已知数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
3.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成个圆环，将圆环套装在横板或各式框架上，并贯以环柄玩时，按照一定的程序反复操作，可使个圆环分别解开，或合二为一在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下个圆环所需的最少移动次数为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，，则下列结论中错误的是( )
A. 的标准方程为
B. 的离心率等于
C. 与双曲线的渐近线不相同
D. 直线与有且仅有一个公共点
6.已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，设直线，的斜率分别为，，则( )
A. B. C. D.
8.设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.椭圆的离心率为，若直线与椭圆的一个交点的横坐标，则的值可以为( )
A. B. C. D.
10.已知等比数列的公比为，前项积为，若，，则( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线如图，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线和圆于，，，四点，则( )
A.
B.
C. 当直线的斜率为时，
D.
12.已知数列，满足，，，，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. 为递增数列 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列前项的和为，则 ______．
14.已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为______．
15.已知数列满足，，记数列的前项和为，则 ______．
16.已知椭圆：的左焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，点在第二象限，且如图，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等差数列满足，．
求的通项公式；
设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值．
18.本小题分
已知双曲线：的离心率为，焦点到渐近线的距离为．
求双曲线的标准方程；
若为坐标原点，直线：交双曲线于，两点，求的面积．
19.本小题分
为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．
如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围．
20.本小题分
已知等比数列前四项和为，且．
求数列的通项公式；
在和之间插入个数，使、、成等差数列；在和之间插入个数、，使、、、成等差数列；；在和之间插入个数、、、，使、、、、、成等差数列．
若，求；
若，求．
21.本小题分
如图，已知点是焦点为的抛物线：上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．
求证：直线的斜率为定值；
设焦点到直线的距离为，求的取值范围．
22.本小题分
已知椭圆：的离心率为直线经过点和椭圆的上顶点，其斜率为．
求椭圆的标准方程；
若直线：与椭圆交于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为求证：当变化时，直线过定点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：抛物线，可知抛物线的开口向下，，
所以抛物线的准线方程是：．
故选：．
利用抛物线方程直接求解准线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意，可得，
则
．
故选：．
先将数列的通项公式进行转化，再运用裂项相消法即可计算出数列的前项和为的值．
本题主要考查数列求和问题．考查了转化与化归思想，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
3.【答案】
【解析】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，
，
，
实数的取值范围是．
故选：．
根据椭圆的几何性质建立不等式，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，不等式思想，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，可得，
，，，
所求最少移动次数为．
故选：．
表示解下个圆环所需的最少移动次数，代入关系式即可得．
本题考查递推数列的应用，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：设双曲线方程为，
由已知可得，解得，
故双曲线的标准方程为，故A正确；
对于，，，，离心率，故B正确；
对于，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，故C错误；
对于，联立，消去整理得，
判别式，直线与有且仅有一个公共点，故D正确．
故选：．
设双曲线方程为，由已知可得关于，的方程组，求得与的值，可得双曲线方程，然后逐一分析四个选项即可得结论．
本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线位置关系的应用，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：当时，由，得，两式相减得，
所以，
当时，，解得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
因为数列是递增数列，
所以对于任意的恒成立，即，
即恒成立，
因为时，取得最小值，
故，即的取值范围是．
故选：．
由数列的通项与前项和的关系，以及等比数列的定义和通项公式，推得，再由递增数列的定义，结合参数分离和恒成立思想，可得所求取值范围．
本题考查数列的通项与前项和的关系，以及等比数列的定义和通项公式、数列的单调性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点为，
设，，，，
所以的方程为，
设，则：，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，所以，
所以，同理可得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，即．
故选：．
设出点的坐标，结合条件可得直线的方程，联立直线方程与抛物线方程，求出、的坐标，进而可求得相应的斜率表达式，最后求解两斜率的比值即可．
本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了斜率公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由，解得，
由，解得
的中点坐标为，
点满足，
，即，
整理得：，即，
故该双曲线的渐近线方程为：．
故选：．
分别联立已知直线方程与双曲线的两条渐近线方程，求得与的坐标，利用中点坐标公式求出的中点坐标，再由，可得，由斜率之积等于列式求得，进而求解结论．
本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：，
，
椭圆方程可化为，
将代入椭圆方程中，解得，
直线与椭圆的一个交点坐标为，
．
故选：．
根据椭圆求出直线与椭圆的一个交点的坐标，再利用斜率公式，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为等比数列的公比为，前项积为，
若，，则，
所以，A正确，B错误；
，，C正确，D错误．
故选：．
由已知结合等比数列的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：抛物线得焦点，
设直线的方程为，，，
由，得，
，，
对于，，故A正确；
对于，圆的圆心为抛物线的焦点，
所以
，故B正确；
对于，当直线的斜率为时，，所以，
解得，或，所以，，
所以，，所以，故C错误；
对于，，
当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：．
设过点的直线方程，联立直线与抛物线的方程，消元，利用韦达定理即可判断；把转化为，利用抛物线的定义和韦达定理可判断；利用韦达定理可求出的坐标，利用抛物线的定义求出，，即可判断；利用抛物线定义求出，利用基本不等式求最小值，即可判断．
本题考查抛物线的定义，方程和性质，直线和抛物线的位置关系，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：，，，，
，，，
，，，
，故A正确；
，
，
，
，
又，，
，故B正确；
，
为递增数列，故C正确；
，
D错误．
故选：．
对于，直接代入数据计算即可判断；对于，化简可得，由此可判断；对于，，由此可判断；对于，，可判断．
点评本题考查数列与不等式的综合运用，对化简变形以及运算求解能力要求较高，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，
所以，即，
则．
故答案为：．
由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意知，，，．
设双曲线的右焦点为，
由是双曲线右支上的点，则，
则，
当且仅当，，三点共线时，等号成立．
又，，则．
所以，的最小值为．
故答案为：．
利用双曲线定义将转化，用到右焦点的距离表示，由点与右焦点位于双曲线右支异侧，利用两点之间线段最短可得最小值．
本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，可知当为偶数时，为奇数，
此时，
则
．
故答案为：．
先根据题干递推公式可得到当为偶数时，有，再运用分组求和法，等差数列的求和公式即可计算出前项和为的值．
本题主要考查数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列的求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：设，，，则，且，
设椭圆的焦距为，则，
所以，
，
因为，所以，
整理得，
所以，即，即，
解得或舍，
所以，即，
因为点在椭圆上，所以，
又，
所以，解得，
所以离心率．
故答案为：．
设，，，椭圆的焦距为，由，结合两角和的正切公式，直线的斜率与倾斜角的关系，可得点的坐标，将其代入椭圆方程，根据椭圆离心率的计算方法求解即可．
本题考查椭圆离心率的求法，熟练掌握椭圆的方程与几何性质，直线的斜率与倾斜角的关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，由，，
可得，解得，，
则；
由，
可得数列是首项为，公差为的等差数列，
前项和为，
若，即，解得，或舍去，
由为正整数，可得的最小值为．
【解析】由等差数列的通项公式解方程可得首项与公差，可得所求；
求得，再由等差数列的求和公式，解不等式可得所求最小值．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：由题意得，
从而，，
所以，
所以双曲线的标准方程为；
设，联立方程组，消去整理得，
则，，，
所以，
原点到直线的距离，
所以．
【解析】由已知结合双曲线的性质可求，，进而可求双曲线方程；
联立直线与双曲线方程，结合弦长公式及点到直线的距离公式，三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了双曲线性质的应用，还考查了直线与双曲线位置关系的应用，属于中档题．
19.【答案】解：根据已知条件设且，，
由有，即，
，，
整理有，
是以为圆心，为半径的圆，
所以曲线的方程为：．
，，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，
所以直线截距式方程为，
化为一般式方程为，
根据题意，且，解得，
所以的取值范围为．
【解析】由题意，设且，，结合题目所给信息列出等式，进而即可求解；
先得到直线的方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可．
本题考查轨迹方程以及直线与圆的位置关系，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：等比数列的公比为，由，，
可得，，，
则；
在和之间插入个数、、、，
使、、、、、成等差数列，可设其公差为，
其首项为，末项为，则，，
则；
，
，
上面两式相减可得
，
则．
【解析】由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得所求；
由等差数列的求和公式可得所求和；
由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查等比数列和等差数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】证明：将点代入抛物线方程可得：，所以抛物线：；分
直线的斜率是定值，理由如下：
设：，
与抛物线方程联立可得：，
，
直线，的倾斜角互补，用代可得：，
因此，
即分
解：由可知，，，，
因此：，
到直线的距离，分
由，得，
故分
【解析】将点代入抛物线方程求出，从而可得抛物线方法，设出直线方程，联立后得到点纵坐标，同理得到点纵坐标，从而求出直线的斜率为定值；
求出直线的方程，利用点到直线的距离公式结合的取值范围即可得解．
本题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：由题意得，解得，，分
所以椭圆的标准方程为分
证明：设，，直线，与椭圆联立，
化简整理得，
从而，，同理：，，分
设所在的直线方程为：，
则，分
故，过定点分
【解析】由椭圆的性质可得关于，，的方程组，求解即可；
设，，直线，与椭圆方程联立，可得点的横纵坐标，同理可得点的横纵坐标，设所在的直线方程为：，由两点的斜率公式结合的斜率为可得与的关系，从而可得所过定点坐标，从而可得结论．
本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
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