2023-2024学年安徽省合肥市普通高中联盟高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省合肥市普通高中联盟高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过，两点的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知，，则等于( )
A. B. C. D.
3.等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.如果直线与互相垂直，那么的值等于( )
A. B. C. D.
5.直线被圆截得的弦长为( )
A. B. C. D.
6.大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是，，，，，，，，，，，则该数列第项为( )
A. B. C. D.
7.如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.满足下列条件的数列是递增数列的为( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 直线必过定点
B. 直线在轴上的截距为
C. 过点且垂直于直线的直线方程为
D. 直线的倾斜角为
11.已知曲线：，则( )
A. 存在，使表示圆
B. 当时，则的渐近线方程为
C. 当表示双曲线时，则或
D. 当时，则的焦点是，
12.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，、分别为、的中点．则( )
A.
B.
C. 平面
D. 与平面所在的角为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，，若为坐标原点，则的坐标是______．
14.已知抛物线上一点到焦点的距离为，这点的坐标为______．
15.已知等差数列的公差，若，，成等比数列，则的值为 ．
16.光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列的前项和为，其中，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，是的中点，设，，．
试用，，表示向量；
求的长．
19.本小题分
已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线过点．
求双曲线的方程；
若直线：与双曲线只有一个公共点，求实数的值．
20.本小题分
如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，，．
求证：平面；
求点到平面的距离．
21.本小题分
已知数列满足，
证明是等比数列，并求的通项公式
若，求数列的前项和．
22.本小题分
已知椭圆的离心率，椭圆过点．
求椭圆的方程；
直线的斜率为，直线与椭圆交于，两点，已知，求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
则，
因为直线的倾斜角范围为，
所以直线的倾斜角为．
故选：．
根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要考查直线的斜率公式，以及直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的线性运算与坐标表示的应用问题，是基础题目．
根据空间向量的线性运算，求出向量的坐标即可．
【解答】
解：，，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，，，，．
解得，．
则．
故选：．
利用等差数列的通项公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：因为两条直线垂直，所以，解得．
故选：．
写出两条直线垂直的充要条件，进而求出的值．
本题考查两条直线垂直的性质的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
求出圆心到直线的距离，利用几何法求出弦长即可．
考查直线与圆的位置关系，弦长的计算，中档题．
【解答】
解：圆的圆心到直线的距离，
半径，
所以弦长为，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查归纳推理的应用，根据数列寻找偶数项的规律是解决本题的关键．
根据数列寻找偶数项对应的规律，结合数列的通项公式进行计算即可．
【解答】
解：偶数项分别为，，，，，
即，，，，，
即偶数项对应的通项公式为，
则数列的第项为第个偶数，
即，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了线面角的求解，属于中档题．
连结交于点，连结，利用线面垂直的判定定理证明平面，结合线面角的定义得到为与平面所成的角，然后在中利用边角关系求解即可．
【解答】
解：连结交于点，连结，
因为在长方体中，
因为，所以，
又平面，且平面，
所以，又，且，平面，
所以平面，
所以为与平面所成的角，
因为，，
所以．
故选A．
8.【答案】
【解析】解：根据双曲线的定义，可得，
是等边三角形，即，
，即
又，
，
中，，，，
，
即，解之得，
由此可得双曲线的离心率．
故选：．
根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线的离心率．
本题考查双曲线的简单性质的应用，经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦与右焦点构成等边三角形，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的函数特性，涉及数列的通项公式，属于基础题．
根据题意，依次分析选项中数列是否是递增数列，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，，，，不是递增数列，不符合题意，
对于，，，是递增数列，符合题意，
对于，，，不是递增数列，不符合题意，
对于，，函数为递增函数，则是递增数列，符合题意，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对于，由直线方程，整理可得，当时，，故A正确；
对于，将代入直线方程，可得，解得，故B错误；
对于，由直线方程，则其垂线的方程可设为，将点代入上式，可得，解得，
则方程为，故C正确；
对于，由直线方程，可得其斜率为，
设其倾斜角为，则，解得，故D错误．
故选：．
对于，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；
对于，将代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；
对于，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；
对于，根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案．
本题主要考查恒过定点的直线，以及直线的倾斜角，直线垂直的性质，即可求解．
11.【答案】
【解析】解：选项，当，即时，，表示圆，A正确；
选项，当时，曲线：，是焦点在轴上的双曲线，则的渐近线为，B错误；
选项，当表示双曲线时，要满足：，解得：或，C正确；
选项，当时，曲线：，是焦点在轴上的椭圆，且，所以交点坐标为，，D错误．
故选：．
选项，求出曲线表示圆时的值；
选项，代入的值，分别得出是什么类型的曲线，进而作出判断；
选项，要想使曲线表示双曲线要满足，即可求解．
本题考查双曲线的性质，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：显然错误；
若，由，则平面，则，显然不成立；
C、，又，可得到成立；
D、连接，因为平面，
所以是与平面所成的角在中，
所以，
所以与平面所成的角为成立；
故选：．
根据线面垂直的判定定理与性质定理，结合反证法判断即可．
考查线面垂直的判定定理与性质定理，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，设点的坐标为，则，
，，则，
又由，则，
则有，故点的坐标为
故答案为：
根据题意，设点的坐标为，求出的坐标，分析可得，求出、、的值，即可得答案．
本题考查空间向量的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：抛物线方程为，
焦点为，准线为：
设所求点坐标为
作于
根据抛物线定义可知到准线的距离等于、的距离
即，解之得，
代入抛物线方程求得
故点坐标为：
故答案为：或．
先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得的值，代入抛物线方程求得值，即可得到所求点的坐标．
本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．
15.【答案】
【解析】解：由题意，可知，
，
即
化简得．
．
故答案为：．
本题根据等比中项有，然后根据等差数列通项公式代入化简，可得与的关系式，即可得到的值．
本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识，考查了方程思想的应用和数学运算能力．本题属中档题．
16.【答案】
【解析】【分析】
先求出入射光线与反射轴的交点为，在入射光线上再取一点，由点关于反射轴的对称点在反射光线上，求出的坐标，用两点式求得反射光线的方程．
本题考查求一条直线关于另一直线的对称直线方程的求法，用两点式求直线的方程，求出、两点的坐标，是解题的关键，是基础题．
【解答】
解：由，得，
故入射光线与反射轴的交点为，在入射光线上再取一点，
则点关于反射轴的对称点在反射光线上，
，解得，，
根据、两点的坐标，用两点式求得反射光线的方程为：，即．
故答案为：．
17.【答案】解：当，时，有，
当，时，有，
两式相减，得，
当时，由，适合，
，；
，；
，
因此．
【解析】利用，之间的关系进行求解即可；
利用裂项相消法进行求解即可．
本题考查了数列递推关系、裂项相消法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：是的中点，．
，，，
又，，，
；
，，，，
又，，
由知
，
，
即的长等于．
【解析】根据空间向量基本定理，向量的线性运算即可求解；
根据向量的数量积的定义与性质即可求解．
本题考查空间向量基本定理，向量的线性运算，向量的数量积的定义与性质，属基础题．
19.【答案】解：由题意得，解得，
双曲线方程为-----------分
由，得．
由题意得，-----------分
当即时，直线与双曲线的渐近线平行，
直线与双曲线只有一个公共点，-----------分
或．
【解析】利用已知条件列出方程组，求解，，得到椭圆方程．
由，结合判别式为，求解，解得渐近线方程的斜率，推出的值即可．
本题考查双曲线方程的求法，直线与双曲线的位置关系的综合应用，是中档题．
20.【答案】证明：，平面，平面，
平面，
由矩形，知，
又平面，平面，
平面，
，平面，平面，
平面平面，
平面，
平面．
解：如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
，
，
又，
∽，且，
，即，
，，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
点到平面的距离为．
【解析】先证明平面平面，再由面面平行的性质定理，即可得证；
以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离，即可得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握面面平行的判定定理与性质定理，利用向量法求点到面的距离是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】证明：数列满足，，
，
又，
是首项为，公比为的等比数列．
，
的通项公式．
．
数列的前项和：
，
，
，得：
，
．
【解析】由已知得，，从而能证明是首项为，公比为的等比数列．并能求出的通项公式．
由利用错位相减法能求出数列的前项．
本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式及前项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
22.【答案】解：，
，
又椭圆：过点，
，
，．
故所求椭圆方程为；
设的方程为，点，，
联立，整理得．
，，
．
点到直线的距离．
因此，
当且仅当，即时取得最大，
故面积的最大值为．
【解析】由椭圆的离心率得到，的关系，再由椭圆过定点得另一关系式，联立后求得，的值，则椭圆方程可求；
设出直线的斜截式方程，和椭圆方程联立后化为关于的一元二次方程，利用根与系数关系及弦长公式求得弦长，由点到直线的距离公式求出边上的高，代入面积公式后利用基本不等式求最值．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，这是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是高考试卷中的压轴题．
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