湖南衡阳名校2024届高三高考复习2月第2周周练 数学试题（含解析）

2024年2月份第2周
数学
一、选择题
1．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2．设,则( )
A. B. C. D.
3．已知向量,,且,则向量与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4．今年10月份,自然资源部联合国家林业和草原局向社会公布贡嘎山等9座山峰高程数据,其中狮子王高程数据为4981.3m,夏诺多吉高程数据为5951.3m.已知大气压强p(单位:Pa)随高度h(单位:m)的变化满足关系式,是海平面大气压强,,则狮子王山峰峰顶的大气压强是夏诺多吉山峰峰顶的大气压强的( )
A.倍 B.倍 C. D.
5．已知,,则( )
A. B. C. D.
6．设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列为假命题的是( )
A.若,,则 B.若,,,则
C.若,,则 D.若,,,则
7．已知圆与圆交于A、B两点,且四边形OACB的面积为,则( )
A. B. C. D.
8．古代城池中的“瓮城”,又叫“曲池”,是加装在城门前面或里面的又一层门,若敌人攻入瓮城中,可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面,,,,E为弧的中点,则直线CE与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
9．若,,．则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
10．函数的图象是( )
A. B.
C. D.
11．等差数列的首项为1,公差不为0,若,,成等比数列,则前6项的和为( )
A.-24 B.-3 C.3 D.8
12．的展开式中的系数为( )
A.192 B.240 C.432 D.256
13．有很多立体图形都体现了数学的对称美,其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体因其最早由阿基米德研究发现,故也被称作阿基米德体.如图,这是一个棱数为24的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若E为线段BC的中点,且,则该半正多面体外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
14．有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从这20个零件中任取3个,那么至少有一个是一等品的概率是( )
A. B. C. D.
15．设复数z的共轭复数是,且,又复数对应的点为Z,与为定点,则函数取最大值时在复平面上以Z,A,B三点为顶点的图形是( )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
二、多项选择题
16．某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目,则( )
A.若不选择政治,选法总数为种
B.若物理和化学至少选一门,选法总数为种
C.若物理和历史不能同时选,选法总数为种
D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不同时选,选法总数为12种
17．已知,,,则( )
A. B. C. D.
18．已知奇函数的定义域为R,且在上单调递减,若,则下列命题中正确的是( )
A.有两个零点 B. C. D.
19．已知数列满足,,则的值可能为( )
A.1 B.-1 C. D.
20．已知函数(,)的最小正周期为,将该函数的图象向左平移个单位后,得到的图象对应的函数为偶函数,则下列说法正确的是( )
A.函数的图象关于直线对称
B.函数在区间上单调递增
C.
D.函数的图象关于点对称
21．已知抛物线的焦点为F,准线l与x轴交于点M,过M的直线l与抛物线C相交于,两点,点D是点A关于x轴的对称点,则下列说法正确的是( )
A. B.的最小值为10
C.B,F,D三点共线 D.
三、填空题
22．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若的面积为,则双曲线的离心率为______.
23．若直线与平行,则直线与之间的距离为____________．
24．已知函数,其中且.若存在两个极值点,,则实数a的取值范围为______________.
25．已知直线与圆交于A,B两点,若M是圆上的一动点,则面积的最大值是___________.
26．设、、…、是各项不为零的等差数列,,且公差,若将此数列删去某一项后,得到的数列（按原来顺序）是等比数列,则满足题意的所有数对为________________.
四、解答题
27．记的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为,,,已知,.
（1）求的面积;
（2）若,求b.
28．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用,将40只小鼠均分为两组,分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物).
（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X,求X的分布列和数学期望;
（2）测得40只小鼠体重如下(单位:g):(已按从小到大排好)
对照组:
17.3,18.4,20.1,20.4,21.5,23.2,24.6,24.8,25.0,25.4,
26.1,26.3,26.4,26.5,26.8,27.0,27.4,27.5,27.6,28.3
实验组:
5.4,6.6,6.8,6.9,7.8,8.2,9.4,10.0,10.4,11.2,
26.0,25.2,14.4,17.3,19.2,20.2,23.6,23.8,24.5,25.1,
(i)求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面2×2列联表:
对照组
实验组
(ii)根据2×2列联表,能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
参考数据:
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
29．已知椭圆的离心率为,以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为．
（1）求椭圆的方程;
（2）如图,斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F,且与椭圆交与A,B两点,以线段AB为直径的圆截直线所得的弦的长度为,求直线l的方程．
30．如图,C,D分别是以AB为直径的半圆O上的点,满足,为等边三角形,且与半圆O所成二面角的大小为90°,E为PA的中点.
（1）求证：平面PBC;
（2）求二面角的余弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：由,得,所以 ,
不等式 的解集为,
所以 ,
所以或,
所以.
故选：A.
2．答案：C
解析：设,则,则,
所以,,解得,因此,.
故选:C.
3．答案：C
解析：,,
,,
,
故选：C.
4．答案：A
解析：设夏诺多吉山峰峰顶的大气压强为,狮子王山峰峰顶的大气压强为,
则,两式相减得:,即.
由题意知:.
所以.
故选:A
5．答案：A
解析：,则,
.
故选:A
6．答案：C
解析：对于A,,存在直线,使得;又,,,A正确;
对于B,,存在直线,使得,又,,,B正确;
对于C,若,,则或,C错误;
对于D,,,,又,,D正确.
故选:C.
7．答案：C
解析：如下图
圆C的标准方程为,圆心为,半径为3,
由题意可如,,,,
所以,,所以,,设,则M为AB的中点,
故四边形OACB的而积为,
则,
故,所以,
,又因为,
所以,解得,
因此.
故选：C.
8．答案：D
解析：在半圆柱下底面半圆所在平面内过A作直线AB的垂线,由于垂直于半圆柱下底面半圆所在平面,
则以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
于是,,,,,,,,
又为的中点,则,,,,
设平面的法向量,则,令,得,
设直线CE与平面所成角为,则
,
所以直线CE与平面所成角的正弦值为.
故选:D
9．答案：B
解析：依题意,,,而,
所以.
故选：B.
10．答案：B
解析：由得:,定义域为,关于原点对称;
,为奇函数,图象关于原点对称,可排除AC;
当时,,,,可排除D.
故选:B.
11．答案：A
解析：设等差数列的公差,
等差数列的首项为1,,,成等比数列,
,
,且,,
解得,
前6项的和为.
故选：A.
12．答案：C
解析：原式即,化简得,展开式中项为,系数为432.
故选:C.
13．答案：C
解析：将半正多面体补成正方体,建立如图所示的空间直角坐标系.
令正方体的棱长为2a,则,,,,,
所以,,所以,解得,
则正方体的棱长为.令该半正多面体外接球的半径为r,即,,则外接球的表面积为.故C项正确.
故选:C.
14．答案：D
解析：依题意,从20个零件中任取3个的试验有个基本事件,它们等可能,
至少有一个是一等品的事件为A,其对立事件是没有一等品的事件,有个基本事件,
所以至少有一个是一等品的概率.
故选：D.
15．答案：D
解析：,设,
,
则,
当,即,时,,
则最大值为,
此时,则,
,
,,,
则,则对应三角形为等腰三角形.
故选：D.
16．答案：ACD
解析：对于A：原题意等价于六门课程中选三门不作选修科目,
已知不选择政治,则再从剩余的五门课程中选择两门不作为选修科目,
可得选法总数为种,故A正确;
对于B：六门课程中选三门,选法总数为种,
若物理和化学均不选,选法总数为种,
若物理和化学至少选一门,选法总数为种,
但,故B错误;
对于C：若物理和历史同时选,选法总数为种,
若物理和历史不能同时选,选法总数为种,故C正确;
对D：在物理和历史不同时选的前提下,排除物理和化学均不选,
结合选项B、C可知：选法总数为种,故D正确;
故选：ACD.
17．答案：CD
解析：A选项,由题可得,得,故A错误;
B选项,
,当且仅当,
即,时取等号.故B错误;
C选项,,
当且仅当,即,时取等号.
则,故C正确;
D选项,由B选项分析得,
则,故D正确.
故选:CD
18．答案：BD
解析:根据题意可得函数在上为减函数,上为减函数.,由可得.
对于A,由在上为减函数,且,,所以存在,,所以在上有一个零点,同理在上有一个零点,
又因为,所以有三个零点,故A错误;
对于B,因为函数在上为减函数.所以,故B正确;
对于C,因为函数在上为减函数,所以,故C错误;
对于D,,,所以,故D正确.
故选:BD.
19．答案：AD
解析：因为,所以,
所以,所以,
所以或,
当时,是首项为1公比为的等比数列,所以;
当时,可得,下面用数学归纳法证明：
当时,,成立,
当,假设成立,
当时,因为,所以,成立,
由上可知,成立,此时;
当,均在数列中出现时,由可得,B选项不可能;
当,,时,最大,
此时,,故C不可能.
故选：AD.
20．答案：BCD
解析：因为函数的最小正周期为,则,故,
将该函数的图象向左平移个单位后,得到的图象,
因为得到的图象对应的函数为偶函数,
所以,即,
因为,所以,故,
对于A,当时,则,故A错误;
对于B,令,,得,
当时,在区间上单调递增,故B正确;
对于C,,故C正确;
对于D,,故D正确.
故选:BCD.
21．答案：CD
解析：设直线,联立方程组
,,则,
选项A不正确;
,所以
当且仅当时等号成立,所以的最小值为9,选项B不正确;
,设,联立方程组,,
则,所以,
即直线BD过点F,选项B正确;
对于D选项,,,
,选项D正确.
正确答案是：CD.
22．答案：2
解析：因为双曲线的两条渐近线为,抛物线的准线为,所以,,因为的面积为,
所以,,,
故答案为:2
23．答案：
解析：因为,则 ,解得 ,
所以,直线的方程为,
即,直线的方程为, 即,
所以,直线与之间的距离为.
故答案为：.
24．答案：
解析：对函数求导得：,
因为存在两个极值点,所以有两个不同的变号零点.
令,有 ,令,,
所以与有两个交点;
当时,,,
设过原点的直线与的切点坐标为,
切线斜率为,
所以切线方程为：,
将原点坐标带入切线方程得.
此时切线的斜率为：,现在需要有两个交点,
即,因为,有,所以,所以;
同理知当时,,,即,所以.
综上知：a的取值范围为.
故答案为：.
25．答案：
解析：
圆C的圆心为,半径为,
圆心C到直线l(弦AB)的距离为,
,
M到弦AB的距离的最大值为,
则面积的最大值是,
故答案为：.
26．答案：,
解析：设数列的公差为d,
则各项分别为：,,,···,且,
假设去掉第一项,则有,解得,不合题意;
去掉第二项,有,化简得：即,解得,
因为数列的各项不为零,所以数列不会出现第五项,所以数对;
去掉第三项,有,化简得：即,解得则此数列为：a,,,,···此数列仍然不会出现第五项,因为出现第五项,数列不为等比数列,所以数对
去掉第四项时,有,化简得：,不合题意;
当去掉第五项或更远的项时,必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况,即,不合题意.
所以满足题意的数对有两个为;.
故答案为：;
27．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,得,即,
又,所以.
由,得或（舍去）,
所以,
则的面积.（2）由,及正弦定理知,即,得.
28．答案：（1）1
（2）见解析
解析：（1）依题意,X的可能取值为0,1,2,
则,,,
所以X的分布列为:
X 0 1 2
P
故.
（2）(i)依题意,可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起,从小到大排后第20位与第21位数据的平均数,
由于原数据已经排好,所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可,
可得第11位数据为14.4,
后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…,
故第20位为23.2,第21位数据为23.6,
所以,
故列联表为:
合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
(ii)由(i)可得,,
所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
29．答案：（1）;
（2）或.
解析：（1）由椭圆的离心率为,
得,.
由得,,
所以椭圆方程为．
（2）设直线,,,AB中点．
联立方程得,
,,．
所以,
点M到直线的距离为．
由以线段AB为直径的圆截直线所得的弦的长度为
得,
所以,
解得,所以直线l的方程为或．
30．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）依题意,所以,
所以三角形AOD、三角形DOC、三角形COB是等边三角形,
所以,所以四边形OBCD是菱形,所以,
由于平面PBC,平面PBC,所以平面PBC.
由于E是PA的中点,O是AB的中点,所以,
由于平面PBC,平面PBC,所以平面PBC
由于,所以平面平面PBC,
所以平面PBC.
（2）设CD的中点为F,连接OF,则,
由于四边形OBCD是菱形,所以,则,
依题意平面平面OBCD且交线为AB,所以平面PAB.
连接OP,则,
由于三角形PAB是等边三角形,所以,
由于平面平面OBCD且交线为AB,所以平面OBCD,
则,
以O为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,
设,则,,
平面PAB的法向量为.
,,
,
设平面DBE的法向量为,
则,故可设.
设二面角的平面角为,由图可知,为锐角,
所以.