湖南衡阳名校2024届高三高考复习2月第1周周练 数学试题（含解析）

2024年2月份第1周
数学
一、选择题
1．已知,则( )
A. B. C. D.
2．集合,,之间的关系是( )
A. B. C. D.
3．若函数,且,,的最小值是,则的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
4．设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列为假命题的是( )
A.若,,则 B.若,,,则
C.若,,则 D.若,,,则
5．已知数列的前n项和为,且满足,则( )
A. B. C. D.
6．,分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,且则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系,为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行,点是平衡点,位于地月连线的延长线上,设地球质量为,月球质量为,地月距离为R,点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:.设,由于的值很小,因此在近似计算中.则r的近似值为( )
A. B. C. D.
8．已知,是椭圆的左、右焦点,点P在椭圆上,且记线段与y轴的交点为Q,O为坐标原点．若与四边形的面积之比为,则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
9．函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
10．已知,且,则与夹角为( )
A. B. C. D.
11．已知椭圆的左,右顶点分别为,,上顶点为B,左焦点为F,线段的中点为D,直线与y轴交于点E.若与共线,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
12．某学校实行新课程改革,即除语、数、外三科为必考科目外,还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业,按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选,为该生安排课表（上午四节、下午四节,每门课每天至少一节）,已知该生某天最后两节为自习课,且数学不排下午第一节,语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻）,则该生该天课表有( )
A.444种 B.1776种 C.1440种 D.1560种
13．已知定义在R上的函数满足,,,,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
14．在数列中,,数列的前n项和为,若不等式对恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
15．基于小汽车的“车均拥堵指数”,其取值范围是,值越大表明拥堵程度越强烈.在这个公式中,为路段上统计时间间隔内车辆平均行驶速度,为路段上自由流状态下车辆行驶速度,且结合地图匹配算法可得到,其中表示浮动车的速度.下列说法正确的是( )
A.n的值越大,的值越小
B.若,则去掉后得到的TPI的值变小
C.若,则去掉后得到的TPI的值不变
D.若,则样本,,…,的方差小于样本,,…,的方差
16．下列命题中是假命题的有( )
A.函数和为同一函数
B.若函数是奇函数,则
C.命题“,”的否定是“,”
D.函数在区间上的图象是一段连续曲线,如果,则函数在上没有零点
17．如图,已知点,,,,是以OD为直径的圆上的一段圆弧,是以BC为直径的圆上的一段圆弧,是以OA为直径的圆上的一段圆弧,三段圆弧构成曲线,则( )
A.曲线与轴围成的面积等于
B.与的公切线的方程为
C.所在圆与所在圆的相交弦所在直线的方程为
D.所在圆截直线所得弦的弦长为
18．在棱长为1的正方体中,点M是的中点,点P,Q,R在底面四边形ABCD内(包括边界),平面,,点R到平面的距离等于它到点D的距离,则( )
A.点P的轨迹的长度为 B.点Q的轨迹的长度为
C.PQ长度的最小值为 D.PR长度的最小值为
19．下列说法正确的是( )
A.,当不变时,越小,该正态分布对应的正态密度曲线越扁平
B.运用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过点
C.相关系数r越大,y与x相关的程度就越强
D.利用进行独立性检验时,的值越大,说明有更大的把握认为两事件有关系
20．已知,,且,则( )
A. B. C. D.
21．若对任意,不等式恒成立,则实数a可能为( )
A. B.e C.3e D.
三、填空题
22．已知向量,的夹角为,与垂直,,则________.
23．过点作曲线的两条切线,则这两条切线的斜率之和为________.
24．已知抛物线的焦点为F,,过点M作直线的垂线,垂足为Q,点P是抛物线C上的动点,则的最小值为___________．
25．在的展开式中,的系数为________.
26．在四面体ABCD中,,,且,,异面直线AB,CD所成角为,则该四面体外接球的表面积为________.
四、解答题
27．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求A;
（2）求的最大值.
28．已知是各项均为正数的数列的前n项和,是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式;
（2）已知,求数列的前n项和.
29．已知函数.
（1）若,求曲线在点处的切线方程;
（2）若有两个极值点,(),且不等式恒成立,求实数的取值范围.
30．已知双曲线,O为坐标原点,离心率,点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程
（2）如图,若直线l与双曲线的左,右两支分别交于点Q,P,且,求的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：由已知,,,
所以.
故选:D.
2．答案：A
解析：集合,,
,
,
,
故选：A.
3．答案：A
解析：由题意得.
,,且的最小值是,
,
,
,
.
由,,
得,,
函数的单调递增区间为.
故选A.
4．答案：C
解析：对于A,,存在直线,使得;又,,,A正确;
对于B,,存在直线,使得,又,,,B正确;
对于C,若,,则或,C错误;
对于D,,,,又,,D正确.
故选:C.
5．答案：D
解析：当时,,,当时,,两式相减可得,数列是首项为,公比为的等比数列,.
故选:D.
6．答案：A
解析：设,因为当时,,
所以当时,,所以函数在单调递减,
又因为,分别是定义在R上的奇函数和偶函数,
所以函数为R上的奇函数,所以函数在单调递减,
因为,所以函数的大致图象如下：
所以等式的解集为.
故选：A．
7．答案：B
解析：由,得
因为,
所以,
即,
解得,
所以.
8．答案：D
解析：由题意,可知点P在上,
所以,解得,
又因为,
所以,所以,
解得,所以,
所以,解得或(舍),
所以．
9．答案：A
解析：第一步：根据定义判断函数的奇偶性由题意得的定义域为R,,
所以为奇函数,其图象关于原点对称,排除选项B,D.
第二步：根据某一点处函数值的大小排除其他选项又,排除选项C,故选A.
10．答案：B
解析：,
,
得,
又,,
,
.
故选:B
11．答案：A
解析：设,,,则,
直线的方程为:,故.
设c为椭圆C的半焦距,则,
,,
若与共线,则,
所以C的离心率.
故选:A.
12．答案：B
解析：理、化、生、史、地、政六选三,且理、化必选,
所以只需在生、史、地、政中四选一,有（种）.
对语文、外语排课进行分类,第1类：语文、外语有一科在下午第一节,则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节,剩下的四科可全排列,有（种）;
第2类：语文、外语都不在下午第一节,则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择,有（种）,
语文和外语可都安排在上午,即上午第一、三节,上午第一、四节,上午第二、四节3种,
也可一科在上午任一节,一科在下午第二节,有（种）,
其他三科可以全排列,有（种）.
综上,共有（种）.
故选：B.
13．答案：A
解析：令,得.
令,得,解得,
则不等式转化为,
因为是增函数,且,
所以不等式的解集为.
故选:A
14．答案：A
解析：易得,则由两边除以可得,
整理可得,
因为,所以是首项为2,公比为4的等比数列,
所以,即,
数列的前n项和为,
所以,
对于,,,
则,当且仅当即时,取等号;
因为不等式对恒成立,所以,
故选：A.
15．答案：BC
解析：的值与n的大小没有必然联系,无法确定值的变化,故A错误;
若,则去掉后的值变大,因此TPI的值变小,故B正确;
若当,则去掉后,的值不变,得到的TPI的值不变,故C正确;
若,无法判断样本,,…,的方差与样本,,…,的方差之间的大小关系,故D错误.
故选:BC.
16．答案：ABD
解析：对于A,函数的定义域为R,函数的定义域为,
所以函数和不是同一函数,故A错误;
对于B,若奇函数的定义域为,则不存在,故B错误;
对于C,命题“,”的否定是“,”,故C正确;
对于D,函数在区间上的图象是一段连续曲线,且,
但函数在区间上有零点0,故D错误.
故选：ABD.
17．答案：BC
解析:对于A,,,所在圆的方程分别为,,,曲线与x轴围成的图形为一个半圆,一个矩形和两个圆,
其面积为,故A错误;
对于B,设与的公切线方程为（,）,则,
所以,,所以与的公切线的方程为,
即,故B正确;
对于C,由及两式相减得,
即公共弦所在直线方程,故C正确;
对于D,所在圆的方程为,圆心为,
圆心到直线的距离为,
则所求弦长为,故D错误.
故选:BC.
18．答案：BCD
解析：对于A,取BC的中点N,连接AN,,则,,所以平面,平面,
又平面,平面,,所以平面平面,
又点P在底面四边形ABCD内(包括边界),平面,所以点P的轨迹为线段AN,
因为,所以点P的轨迹的长度为,故A不正确;
对于B,连接DQ,因为Q在底面ABCD上,,所以,解得,
所以点Q的轨迹是以点D为圆心,以为半径的圆,如下图所示,
所以点Q的轨迹的长度为,故B正确;
对于C,过点D作于,交点Q的轨迹于,此时的长度就是PQ长度的最小值,
而,,所以,所以,即,解得,所以,
所以PQ长度的最小值为,故C正确;
,
对于D,因为点R到平面的距离等于它到点D的距离,由正方体的特点得点R到直线AB的距离等于点R到平面的距离,
所以点R到直线AB的距离等于它到点D的距离,根据抛物线的定义知点R的轨迹是以点D为焦点,以AB为准线的抛物线,
以AD的中点为坐标原点O,过点O且垂直于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系,如下图所示,
则,,,直线AB的方程为,直线AN的方程为,
则抛物线的方程为,设与直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为:,
联立,整理得,,解得,
所以直线l的方程为:,
则直线AN与直线l的距离为:,
所以PR长度的最小值为,故D正确,
故选:BCD.
19．答案：BD
解析：对于A,根据正态曲线的几何特征,可知当不变时,即越小,该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高,故A错误;
对于B,运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心,故B正确;
对于C,线性相关系数r绝对值越接近1,表明2个随机变量相关性越强,故C错误;
对于D,因为随机变量的观测值越大,说明两个变量有关系的可能性越大,即犯错误的概率越小,故D正确.
故选：BD.
20．答案：ACD
解析：因为,,
由得:
,
所以,当且仅当时取得等号,A正确;
由得,
又,所以,
当且仅当时取得等号,B错误;
由得,
又,,所以,则,
当且仅当时取得等号,C正确;
由得,所以,
当且仅当时取得等号,D正确.
故选:ACD.
21．答案：ABC
解析：依题意,对任意,恒成立,
即恒成立,即恒成立,即恒成立,
设,,则恒成立,所以在上单调递增,
所以只需对任意的恒成立,
因为,令,则,即,
令,,
则,所以当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以,所以,所以
故选:ABC
22．答案：6
解析：设,由已知可得,
因为与垂直,所以,即,所以.
故答案为:6.
23．答案：
解析：时,,设切点,
则,,
切线过,
,
,
时,,切点,
,,
切线过,
,
,
故.
故答案为:.
24．答案：
解析：由得,
所以直线过点．
连接AM,则,由题意知点Q在以AM为直径的圆上,
设,所以点Q的轨迹方程为（不包含点）,
记圆的圆心为,过点Q,P,N分别作准线的垂线,
垂足分别为B,D,S,连接DQ,则,
当且仅当B,P,Q,N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立,所以的最小值为．
故答案为：.
25．答案：10
解析：展开式的第项为,
令,则.
故答案为:10
26．答案：或
解析：由题意可以将四面体ABCD补成一个如图所示的直三棱柱,
因为异面直线AB,CD所成角为,所以或,
设的外接圆半径为r,当时,,,
当时,,则,,
设四面体的外接球半径为R,则,
所以该四面体外接球的半径或,
则外接球的表面积为.或,
故答案为:或
27．答案：（1）
（2）.
解析：（1）方法1:由及正弦定理可得:
,
所以,
故,
因为,即,故,
所以,又,所以.
方法2:由及余弦定理可得:
,
所以,
所以,又,所以.
（2）由正弦定理可知,
即,其中,
,,
故当时,的最大值为.
28．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为是与的等比中项,
所以①,当时,解得或（舍去）,
当时②,
①②得,即,
因为,则,所以,即,
所以是以3为首项,3为公差的等差数列,
所以.
（2）由（1）可知
,
所以
29．答案：（1）
（2）
解析：（1）若,则,
,
则切线的斜率为,又,
所以曲线在点处的切线方程是,即.
（2）,由条件知,是方程的两个根,
所以,则.
所以.
设,可知t的取值范围是,则,
不等式恒成立,等价于恒成立.
设,则恒成立,
.
(i)若,则,所以,在上单调递增,
所以恒成立,所以符合题意;
(ii)若,令,得,令,得
则在上单调递增,在上单调递减,
所以当的取值范围是时,,不满足恒成立.
综上,实数的取值范围是.
30．答案：（1）;
（2）24.
解析：（1）因为,所以,.
所以双曲线的方程为,即.
因为点在双曲线上,所以,所以.
所以所求双曲线的方程为.
（2）设直线OP的方程为,则直线OQ的方程为,
由,得,
所以.
同理可得,,
所以.
设,
则,
所以,即(当且仅当时取等号).
所以当时,取得最小值24.