人教版七年级下册数学第五章相交线与平行线证明题专题训练（含解析）

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人教版七年级下册数学第五章相交线与平行线证明题专题训练
1．如图，点分别在上，均与相交，，求证：．

2．如图，，，，求证：．
3．如图，D、E、F分别在的三条边上，且，．

(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
4．如图，点分别在上，交于点，且．则与平行吗？
请完成下列解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：（已知）
（______）
（______）
（已知）
（等式的性质）
又______
______（等式的性质）
又（已知）
（同角的余角相等）
（______）
5．如图，，．
(1)求证：．
(2)若，，求证：平分．
6．如图，是学生用两块三角板拼成的图形，其中，，三点在同一条直线上，，，三点在同一条直线上，，，，过点作平分交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
7．如图，已知直线被直线所截，平分，平分，，吗？为什么？
因为平分，平分（已知），
所以___________，___________，
所以___________（　　），
因为（　　），
所以___________，
所以（　　）．
8．如图，平分，，，试说明，请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．

解：平分，（已知）
．（_____________________________）
，（已知）
．（等量代换）
___________．（_______________________________）
___________．（__________________________）
，（已知）
．（____________________________）
．（______________________________）
9．如图，已知，一条直线分别交、于点E、F，，，点Q在上，连接．
(1)已知，直接写出的度数；
(2)求证：平分．
10．已知：如图，，，，，求证：．

证明：∵，（已知）
∴（垂直定义）
∴（_____________________）
∴__________（_____________________）
∵（已知）
∴__________（等量代换）
∴（_____________________）
∴__________（_____________________）
∵（已知）
∴（垂直的定义）
∴（_______________）
∴．
11．成下面推理过程，并在括号内填上依据．
已知：如图，，，．
求证：．
证明：，（已知），
．
________（________________________）．
（________________）．
又（已知），
________（________________________）．
（________________________）．
又，
（________________）．
12．如图，在三角形中，点D在上，交于点E，点F在，．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
13．完成下面的推理说明：
已知：如图，，分别平分和．
求证：．
证明：∵分别平分和（已知），
∴______，______．（角平分线的定义）．
∵（已知），
∴（______）．
∴（等量代换）．
∴（等式的性质）．
∴（______）．
14．如图，点在同一条直线上，点在同一条直线上，连接，过点作，已知．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
15．如图，已知，．
(1)求证；
(2)若平分，，求的度数．
16．如图，于，点是上任意一点，于，且
(1)求证：；
(2)求的度数．
17．如图，在中，，F、G是、上的两点，．

(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
18．如图，．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
19．如图，在三角形中，点E、F在上，点D，G分别在，上，已知，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
20．【问题情境】已知，，平分交于点G．
【问题探究】（1）如图1，，，．试判断与的位置关系，并说明理由；
【问题解决】（2）如图2，，，当时，求的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若，试说明．
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参考答案：
1．
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角的性质．由，，推出，证明，再利用平行线的性质，可得答案．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴．
2．见解析
【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．根据垂直得出，根据平行线的判定得出，由，推出，易得，即可证明结论．
【详解】证明：，，
，
，
，
又，
，
，
．
3．(1)见解析；
(2)
【分析】本题考查平行线的判定与性质．
（1）根据平行线的性质得，再由等量代换可得，即可证明结论；
（2）根据平行线的性质得，得出，角平分线定义得，根据平行线的性质即可求出结果．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
由（1），得：，
∴．
4．同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；180；90；内错角相等，两直线平行．
【分析】根据题目中的每一步推理过程，结合图形填写平行线的判定和性质即可．
本题考查平行线的判定，垂线，关键是掌握平行线的判定方法．
【详解】（已知）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
（已知）
（等式的性质）
又180
90（等式的性质）
又（已知）
（同角的余角相等）
（内错角相等，两直线平行）
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；180；90；内错角相等，两直线平行．
5．
【分析】此题考查了平行线的判定和性质：
（1）先求出，再由，可得，即可求证；
（2）根据平行线的性质可得，再由，可得，从而得到，即可求证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴平分．
6．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定，外角与内角的关系，解题的关键是掌握这些知识．
（1）由和角平分线的定义可得，根据同位角相等，两直线平行即可求解；
（2）先求出，再根据外角与内角的关系即可求解．
【详解】（1）证明：，是的平分线，
，
，
；
（2），，
，
由（1）知，
．
7．平行，见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得．
【详解】解：因为平分，平分（已知），
所以，，
所以（等量代换），
因为（已知），
所以，
所以（同旁内角互补，两直线平行）．
8．角平分线定义；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行．
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．根据题意、结合图形，依据平行线的判断与性质解答即可．
【详解】平分，（已知）
．（角平分线定义）
，（已知）
．（等量代换）
．（内错角相等，两直线平行）
．（两直线平行，同旁内角互补）
，（已知）
．（同角的补角相等）
．（同位角相等，两直线平行）
故答案为：角平分线定义；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行．
9．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线定义，垂线，平行线的性质．
（1）由平行线的性质得到，而，得到，求出，由垂直的定义得到，即可求出；
（2）由（1）知，，由余角的性质推出，即可证明平分．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∴
∴，
∴平分．
10．同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换
【分析】利用垂直的定义除了由垂直得直角外，还能由直角判定垂直，判断两直线的夹角是否为是判断两直线是否垂直的基本方法．
灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得角，由角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得，即可得．
【详解】证明：证明：∵，（已知）
∴（垂直定义）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（垂直的定义）
∴（等量代换）
∴．
故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换．
11．；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换
【解析】略
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（1）先根据平行线的性质得到，再根据证得，根据同位角相等，两直线平行证得结论；
（2）已知，可求得，进而求得，再利用证得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
13．；；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】本题利用角平分线的性质、平行线的判定和性质求解，主要在于练习几何证明题的书写格式．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角的关系．根据角平分线的性质可求得，，又因为，所以有，等量代换可知，根据内错角相等，两直线平行即可证明．
【详解】证明：∵分别平分和（已知），
∴，，（角平分线的定义），
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换），
∴（等式的性质）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、利用邻补角求角的度数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行线的性质可得，从而得出，从而即可得出；
（2）由角平分线的定义可得，利用邻补角求出，从而得出，最后由平行线的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
．
；
（2）解：平分，
，
，
，
，
，
．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定和性质．
（1）根据平角的定义和，得到，推出，进而得到，，得到，即可；
（2）平行加角平分线，得到，根据，，求出，即可得解．
熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
16．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
（1）由，则，则，从而证得，即；
（2）由，即可得到．
【详解】（1）∵，
（2）∵，
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由得到，即可得到，再根据等量代换得到即可证明；
（2）由平行的性质得到，求出即可求出答案．
【详解】（1），
，
，
，
，
；
（2），
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查平行的判定与性质，熟练掌握平行的判定与性质是解题的关键．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，几何图形中角度的计算，垂线的定义；
（1）先由同位角相等，两直线平行得到，则由平行线的性质得到，进而证明，即可证明；
（2）根据垂线的定义得到，再根据已知条件可得，解之即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20．（1），理由见解析（2）（3）见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质:
（1）根据平行线的判定得，再根据平行线的性质、角平分线定义及角的和差计算可得角相等，最后根据内错角相等判定两条直线平行；
（2）根据平行线的判定和性质得的度数，再运用角平分线定义计算求得的度数，进一步求得的度数，最后根据平行线的判定得，即可得出结论；
（3）分析思路同（2），只是把具体角的度数抽象为字母表示，通过列方程即可得出三者之间的关系．
【详解】解：（1），理由如下：
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故与的位置关系是．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
即的度数为．
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
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