北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题（含答案）

2024北京人大附中高一（上）期末
数学2024.01
分说明：Ⅰ卷满分100分、Ⅱ卷满分50分、全卷满分150分，考试时间120分钟
共一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（ ）
A．150人 B．200人 C．250人 D．300人
3．命题“”的否定是（ ）
A． B． C． D．
4．在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则实数的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．科赫（Koch）曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线．．．．．．在分形中，一个图形通常由个与它的上一级图形相似，且相似比为的部分组成．若，则称为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是（ ）
A． B． C．1 D．
10．已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
11．函数的定义域是_________________．
12．农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图（单位：）：
记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为，则_________________；
若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为，则_________________（用“<，>或=”连接）．
13．已知函数没有零点，则的一个取值为_________________；的取值范围是_________________．
14．已知函数则的单调递增区间为_________________；满足的整数解的个数为_________________．（参考数据：）
15．共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“Tullock竞争函数”进行近似估计，其解析式为（其中参数表示市场外部性强度，越大表示外部性越强）．给出下列四个结论：
①过定点；
②在上单调递增；
③关于对称；
④取定，外部性强度越大，越小．
其中所有正确结论的序号是_________________．
三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“：革命遗址及革命纪念建筑物”、“：石窟寺”、“：古建筑及历史纪念建筑物”、“：石刻及其他”、“：古遗址”、“：古墓葬”．北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表：
行政区 门类 个数
东城区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 3
C：古建筑及历史纪念建筑物 5
西城区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2
丰台区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 1
海淀区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2
房山区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1
E：古遗址 1
昌平区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1
F：古墓葬 1
延庆区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1
（1）某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；
（2）小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；
（3）现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查．记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率记为，试判断和的大小（直接写出结论）．
17．已知集合．
（1）求；
（2）记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
18．已知函数．请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．
（1）求实数的值；
（2）设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明；
（3）设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由．
19．已知函数的定义域均为，给出下面两个定义：
①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换；
②若对任意的，均有，则称与关于任意交换．
（1）请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由；
（2）设，若存在函数，使得与关于任意交换，求的值；
（3）在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求的值．
Ⅱ卷
20．从定义域及值域均为的函数中随机选一个记为，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
21．为（ ）
A．空集 B．元素个数不超过10的非空集 C．元素个数超过10的有限集 D．无限集
22．已知函数的单调递增区间是，单调递减区间是的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．若，则（ ）
A． B． C． D．
24．在企业生产经营过程中，柯布-道格拉斯生产函数有着广泛的应用，这是双自变量的函数，其表达式为：，其中自变量分别表示生产过程中劳动要素和资本要素的投入，函数值表示产量，常数是代表生产技术水平的参数，常数分别表示劳动和资本的产出弹性系数．在产量不变的情况下，点组合构成一条曲线，称为等效产出曲线．如图，某企业时的等效产出曲线分别与过原点的射线交于点，若，则约为（ ）
参考数据：
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．3.8
二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分．请将结果填在答题纸上的相应位置．）
25．已知．若，则实数_________________；若的图像关于原点对称，则实数_________________．
26．已知，其中．若，则的取值范围是_________________；若，则的取值范围是_________________．
27．为研究拇指指纹规律，人大附中生物社团随机抽样调查了500名北京市民的左右手拇指指纹，各种纹形出现次数的统计结果如表所示．①从左右手拇指纹形同为“As”或同为“Wr”的样本中，随机抽2人，这2人纹形不同的概率是②随机调查3名北京市民，其中1人左右手拇指指纹都是“Lu，Lr”，另外2人左手拇指指纹都是“Ws”，右手拇指指纹都不是“Ws”的概率是_________．
纹形 拇指
左手 右手 左右手纹形相同
As 20 2 2
Lu，Lr 279 304 250
Wr 3 6 2
Wc 32 27 10
Wt 30 28 9
Ws 59 79 34
Wd 65 37 18
Wp 12 17 8
总人数 500 500 333
28．已知函数的定义域为，若对任意的正实数，函数在上单调递增，则称函数具有性质，给出下列四个结论：
①在上单调递增，则具有性质；
②具有性质不具有性质；
③具有性质不具有性质；
④若函数具有性质，且，则．
其中所有正确结论的序号是_________________．
29．零件分别先在机器上加工，然后在机器上加工，加工所需时间（单位：分钟）如表所示．
①若加工顺序为，则加工完所有零件所需时间最少为分钟；
②改变这5个零件的加工顺序，可以使得加工完所有零件所需时间更少，所需时间最少为_________________分钟，共有_________________种排序方法使得所需时间最少．
机床 零件
1 5
8 3
3 9
4 5
7 6
参考答案
Ⅰ卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．【答案】B
【分析】根据补集概念求解出结果．
【详解】因为，
所以，
故选：B．
2．【答案】A
【分析】根据各层的抽样比相同求解出结果．
【详解】因为初中学生1000人抽取了100人，所以抽样比为，
所以高中生抽取人，
故选：A．
3．【答案】C
【分析】根据特称命题的否定是全称命题分析判断．
【详解】由题意可知：命题“”的否定是“”．
故选：C．
4．【答案】C
【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可知正确图象．
【详解】因为在同一坐标系中，
所以的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD；
在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，由图象可知，
所以单调递减，单调递增，故排除B，
故选：C．
5．【答案】B
【分析】利用定义判断函数的奇偶性可对A、C判断；利用函数奇偶性的判断并结合函数单调性可对B、D判断．
【详解】对A、C：由，定义域为，所以不是奇函数，故A错误；
定义域为，所以是偶函数，故C错误；
对B、D：，定义域为，所以为奇函数，当时，，且在上单调递减，故B正确；
，定义域为，且，所以为奇函数，且在定义域上为增函数，故D错误；
故选：B．
6．【答案】D
【分析】根据题意结合指、对数函数单调性运算求解．
【详解】因为，
由在上单调递增，可得，即；
由在内单调递增，可得，即；
由在内单调递增，可得，即；
综上所述：．
故选：D．
7．【答案】C
【分析】根据“”与“为奇函数”互相推出的情况判断属于何种条件．
【详解】当时，，定义域为且关于原点对称，
所以，
所以为奇函数；
当为奇函数时，显然定义域为且关于原点对称，所以，
所以，
所以，
由上可知，“”是“为奇函数”的充要条件，
故选：C．
8．【答案】B
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【分析】先求出的定义域，然后分析的单调性，再根据求解出不等式解集．
【详解】的定义域为，
因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，所以，
所以不等式解集为，
故选：B．
9．【答案】D
【分析】根据题意得出Koch曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，再根据题设条件即可得出结果．
【详解】由题意Koch曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，
因为，即，则，
所以分形维数是．
故选：D．
10．【答案】D
【分析】利用赋值和排除法可得结果
【详解】取，则，
若，则，由，得，
解得，符合条件，排除选项A、C，
取，则，
若时，，由，得，
解得，或，都不符合条件，
若，即，由，
得，即，不符合条件，
若，即，由，
得，解得，或，都不符合条件，
综上，，排除B，选D
故选：D．
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
11．【答案】
【分析】利用真数大于零列不等式求解即可．
【详解】要使函数有意义，
则，解得，
即函数的定义域是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域，属于基础题．
12．【答案】①3 ②>
【分析】空①根据题意分别求出甲乙环境下的15个高度数据，从而求出中位数，即可求解；空②利用标准差公式分别求出，从而求解．
【详解】对空①：由题意得甲环境的幼苗高度为： 31，32，33，33，35，43，44，45，49，55，57，58，59，63，65，其中位数，
乙环境的幼苗高度为： 37，43，44，45，45，47，48，48，49，52，54，54，55，58，60，其中位数，所以；
对空②：甲环境下的幼苗平均高度为：
所以：
甲环境下的幼苗平均高度为：
所以
所以．
故答案为：3；>．
13．【答案】
①0 （即可） ②
【分析】根据题意分析可知函数没有零点，等价于与没有交点，结合对勾函数图象分析求解．
【详解】令，则，
若函数没有零点，等价于与没有交点，
作出的图象，如图所示：
由图象可知：若与没有交点，则，
故答案为：0即可）；．
14．【答案】① ②215
【分析】第一个空，作出的图象，由图可知的单调递增区间；第二个空，分和两种情况解不等式．
【详解】作出的图象，由图可知，的单调递增区间为，
当时，，解得，即，
所以，
当时，，解得，
故满足的整数解的个数为215．
故答案为：；215．
15．【答案】①②
【分析】对于①令即可求得定点可判断①的正误；对于②对求导，判断导函数在时的正负即可判断②的正误；对于③由②即可判断正误；对于④以为自变量构造新函数，求导，判断单调性即可判断正误．
【详解】对于①，在中，令，则，过定点，故①正确；
对于②，，当，则为单调递增，故②正确；
对于③，由②知为单调递增，故不存在对称性，故③错误；
对于④，以为自变量，设为，则，
，故的正负取决于，
当，即时，，随着的增大，减小；
当，即时，，随着的增大，增大，故④错误．
故答案为：①②．
三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．【答案】（1） （2） （3）
【分析】（1）由题意知总样本数为18，C：古建筑及历史纪念建筑物共有12，利用古典概率从而求解．
（2）由题意可知小王参观A：革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C：古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区，然后分别求出他们参观东城区的概率，从而求解．
（3）利用分类讨论求出相应的抽到海淀区的概率和抽不到海淀区的概率，从而求解．
【小问1详解】
设选中参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”为事件A，
由题意知总共有18，“C：古建筑及历史纪念建筑物”有12，
所以．
【小问2详解】
设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件，由题意可知小王参观：革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观：古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区，
所以小王参观东城区景区的概率为，小张参观东城区景区的概率为，
所以．
【小问3详解】
当抽到的2个都是海淀区的概率为，
当抽到的2个中有1个是海淀区的概率为，
所以，
所以．
17．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）先求解出一元二次不等式、绝对值不等式的解集为集合，然后根据并集概念求解出，再根据交集和补集概念求解出；
（2）根据不等式先求解出，然后根据列出关于的不等式组，由此求解出结果．
【小问1详解】
因为，解得，所以，
又因为，解得或，所以，
所以；
又因为，
所以．
【小问2详解】
因为，
所以，
若，则，解得，
所以的取值范围是．
18．【答案】（1）答案见解析
（2）在区间上单调递减，证明见解析
（3）在内有且仅有一个零点，理由见解析
【分析】（1）根据题意结合奇偶性的定义分析求解；
（2）根据单调性的定义分析证明；
（3）根据题意结合单调性以及奇偶性的性质判断在区间上的单调性，再结合零点存在性定理分析判断．
【小问1详解】
令，解得，所以函数的定义域为，
若选①：因为，即为奇函数，
则，
整理得，
注意到对任意上式均成立，可得，解得；
若选②：因为，即为偶函数，
则，
整理得，
注意到对任意上式均成立，可得，解得．
【小问2详解】
若选①：则，可得，
可知函数在区间上单调递减，证明如下：
对任意，且，
则，
因为，则，
可得，即，
所以函数在区间上单调递减；
若选②：则，可得，
可知函数在区间上单调递减，证明如下：
对任意，且，
则，
因为，则，
可得，即，
所以函数在区间上单调递减．
【小问3详解】
若选①：则，则，
由（2）可知在内单调递减，且在定义域内单调递增，
可知在内单调递减，
又因为为奇函数，则在内单调递减，
且在内单调递减，可知在内单调递减，
结合，
可知在内有且仅有一个零点；
若选②：则，则，
由（2）可知在内单调递减，且在定义域内单调递增，
可知在内单调递减，
又因为为偶函数，则在内单调递增，
且在内单调递增，可知在内单调递增，
结合，
可知在内有且仅有一个零点．
19．【答案】（1）唯一交换，理由见解析
（2） （3）
【分析】（1）根据方程解的情况判断即可；
（2）根据“对任意的成立”得到关于的方程，然后设出的解析式，根据方程左右两边对应项相同求解出的值；
（3）根据条件通过分离参数将问题转化为“存在唯一实数，使得”，然后分析的奇偶性，从而确定出，由此可求的值．
【小问1详解】
与关于是唯一交换，理由如下：
因为，
令，所以，解得，
所以有唯一解，
所以与关于是唯一交换．
【小问2详解】
由题意可知，对任意的成立，
即对任意的；
考虑到等式左右两边最高次和最高次项的系数相等，不妨设，
所以，
所以，
所以，所以，即可取，
经检验满足要求，
综上所述，．
【小问3详解】
当时，，
因为与关于唯一交换，
所以存在唯一实数，使得，
即存在唯一实数，使得，
即存在唯一实数，使得；
令，且定义域均为，
又
，
所以都是偶函数，所以为偶函数，
因此，若存在唯一实数使得，只能是，
所以，
综上所述，的取值为．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，涉及方程解以及函数奇偶性等相关问题，对学生的理解与计算能力要求较高，难度较大．“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算去解决问题，本题第二问可以从方程左右两边对应相等入手，第三问则可以从函数的奇偶性入手进行分析．
Ⅱ卷
一、选择题（共5小题，每小题5分，共25分）
20．B 21．B 22．C 23．D 24．D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
25．2； 26．；
27．； 28．②④
29．32；29；7