海南中学白沙学校2023-2024学年第一学期期末考试
高二 数学 试题
本卷共4页，满分150分，答题时间120分钟
第I卷（选择题)
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中只有一个符合题目要求，请把答案填在相应的答题框中，否则不给分）
1．设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则=( )
A．{1，3，5，7} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5，7，8}
2.计算( )
A． B． C． D．
3.记为等差数列的前项和．若,,则的公差为( )
A． B． C． D．
4.已知等比数列满足，，则( )
A．21 B．42 C．63 D．84
5.双曲线3x2－y2＝9的焦距为( )
A． B．2 C．2 D．4
6.下列函数中是增函数为 ( )
A． B． C． D．
7.已知向量满足，则 ( )
A． B． C．1 D．2
8．已知正方体的个顶点中，有个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有错的得0分。）
9．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题其中正确的命题有( )
A．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
B．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
C．如果α∥β，m α，那么m∥β.
D．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
10．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，则a6的值（ ）
A．8 B．12 C．－8 D．－12
11．已知，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最小值为 D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
12．已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则（ ）
A． B．
C． D．抛物线C上的动点到直线距离的最小值为
第II卷（非选择题)
三、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13.已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，若，则
14. 已知，则=
15.过点作圆的切线，则切线的斜率
16.记为数列的前项和．若,则 ．
四、解答题:（本大题共6小题，共70分.在相应的答题卡上写出解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）.
17．(本小题满分10分)求双曲线 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
18．(本小题满分12分)在等差数列中，已知：，.
（1）求数列的公差 及通项公式.
（2）求数列的前项和的最小值，并指出此时正整数的值.
19. (本小题满分12分)已知圆，圆，证明圆与圆相交，并求圆与圆的公共弦长。
20．(本小题满分12分)近年来绿色发展理念逐渐深入人心，新能源汽车发展受到各国重视，2023年我国新能源汽车产销再创新高.我国某新能源汽车生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，该企业质检人员从所生产的新能源汽车中随机抽取了100辆，将其质量指标值分成以下六组：，得到如图的频率分布直方图.
(1)求出直方图中的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的新能源汽车的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；
(3)该企业规定：质量指标值小于70的新能源汽车为二等品，质量指标值不小于70的新能源汽车为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100辆新能源汽车中抽出5辆，并从中再随机抽取2辆作进一步的质量分析，试求这2辆新能源汽车中恰好有1辆为一等品的概率.
21.(本小题满分12分)已知直三棱柱，各棱长均为，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
22．(本小题满分12分)已知椭圆的方程椭圆左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的一点，
(1)若，求的面积；
(2)在椭圆上找一点P，使它到直线：的距离最短，并求出最短距离.海南中学白沙学校2023-2024学年第一学期期末考试
高二 数学 试题答案
本卷共4页，满分150分，答题时间120分钟
第I卷（选择题)
单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中只有一个符合题目要求，请把答案填在相应的答题框中，否则不给分）
1．【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】 C 4.【答案】B
5.【答案】D 6 【答案】D 7.【答案】C 8．【答案】B．
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有错的得0分。）
9．答案：BCD 10．故选：AC. 11．【答案】ABC 12．故选：ABD．
12.【详解】
由抛物线，可得焦点为，
因为过抛物线的焦点，可得，解得，所以A正确；
联立方程组，整理得，
设，则，，
由抛物线的焦点弦的性质，可得，所以B正确；
又由，解得，
根据抛物线的定义，可得，
所以，所以C错误；
设是抛物线上的任意一点，可得，
则点到直线的距离为，
当时，，所以D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题)
三、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13． 4 14. -2 15. 或 16.
四、解答题:（本大题共6小题，共70分.在相应的答题卡上写出解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）.
17．(本小题满分10分)求双曲线 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
【详解】将化为标准方程可得， ......2分
由方程可得，解得， ......4分
所以渐近线方程为， ......6分
又，解得，即焦点坐标为， ......8分
离心率； ......10分
18．(本小题满分12分)在等差数列中，已知：，.
（1）求数列的公差及通项公式
（2）求数列的前项和的最小值，并指出此时正整数的值.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，由， ......4分
所以等差数列的公差为； 通项公式 ......6分
（2）因为，所以， ......10分
当时，有最小值，此时正整数的值为 ......12分
19. (本小题满分12分)已知圆，圆，证明圆与圆相交，并求圆与圆的公共弦所在直线的方程．
【详解】圆的标准方程为，所以圆心为，半径； ....2分
圆的标准方程为，所以圆心为，半径 .......4分
两圆圆心距，，，......7分
所以，圆和圆相交 ......8分
将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为 ......9分
设公共弦所在直线的方程为与圆与圆相交的公共点分别为A、B
圆到直线到直线的距离 ， 则公共弦长为 ......12分
20．(本小题满分12分)近年来绿色发展理念逐渐深入人心，新能源汽车发展受到各国重视，2023年我国新能源汽车产销再创新高.我国某新能源汽车生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，该企业质检人员从所生产的新能源汽车中随机抽取了100辆，将其质量指标值分成以下六组：，得到如图的频率分布直方图.
(1)求出直方图中的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的新能源汽车的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；
(3)该企业规定：质量指标值小于70的新能源汽车为二等品，质量指标值不小于70的新能源汽车为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100辆新能源汽车中抽出5辆，并从中再随机抽取2辆作进一步的质量分析，试求这2辆新能源汽车中恰好有1辆为一等品的概率.
【详解】（1）由，得. ......2分
（2）平均数为，......2分
设中位数为，则，得.......2分
故可以估计该企业所生产新能源汽车的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33......1分
（3）如图，100辆样本中一等品 二等品各有60辆 40辆，
抽取的5辆车中一等品有3辆，记为；二等品2辆，记为. ......1分
则5选2的可能结果有：，，共10种，......1分
其中恰有1辆为一等品的可能结果有,共6种.......1分
故这2辆新能源汽车中恰好有1辆为一等品的概率.......2分
21.(本小题满分12分)已知直三棱柱，各棱长均为，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可得解；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【详解】（1）记的中点为，连接，如图，
又因为为的中点，所以，，
因为为的中点．所以，， ......2分
故，，则四边形是平行四边形，故， ......2分
又平面，平面，所以平面. ......2分
（2）依题意，以为原点，以为轴，以在平面内垂直于的直线为轴，如图所示，
则，
故， ......3分
记异面直线与所成角为，则， 所以， ......2分
故异面直线与所成角的余弦值为 ......1分
22．(本小题满分12分)已知椭圆的方程椭圆左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的一点，
(1)若，求的面积；
(2)在椭圆上找一点P，使它到直线：的距离最短，并求出最短距离.
【详解】（1）已知椭圆C的方程为，
因为点P是椭圆C上的一点，且，
易得，， ......1分
在中，由余弦定理得，
整理得，
即， ......2分
又，解得，
则； ......2分
（2）
不妨设与直线：平行的直线与椭圆相切， ......1分
联立，消去y并整理得，① ......1分
因为，解得，
当时，直线与直线的距离；
当时，直线与直线的距离，
因为，所以符合题意， ......3分
将代入①式中，解得，
当时，，则点的坐标为，
故距离的最小值为，此时点的坐标为. ......2分
