海南中学白沙学校2023-2024学年第一学期期末考试
高一 数学 答案
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据交集的概念进行求解即可.
【详解】.
故选：C
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定直接判断即可.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：A.
3．下列图象中，能表示函数图象的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【答案】D
【分析】根据函数的定义判断可得出结论.
【详解】解：∵一个只能对应一个，∴①③符合题意，
对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义；
对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义.
故选：D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系可得.
【详解】解不等式得或，
记，
因为A B，所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A
5．已知，，，则的（ ）
A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为4 D．最大值为4
【答案】C
【分析】根据题中条件，由展开后，利用基本不等式，即可得出结果.
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
即有最小值，无最大值.
故选：C.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
6．已知函数，则（ ）
【答案】A
【分析】根据分段函数对于解析式范围代入求值即可.
【详解】当时，，当时，，所以.
故选：A.
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式可得，由求出，结合计算即可求解.
【详解】由，得，
又，所以，
所以.
故选：C
8．函数的图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图像求出正弦型函数基本量，再由通过平移得解.
【详解】由图可知，过点，解得，
将的图像向右平移个单位
得到.
故选:D.
二、多选题
9．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】ACD利用对数运算法则和换底公式可判断；B选项，利用指数幂的运算法则可判断.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，由换底公式可得，D正确.
故选：AD
10．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质分析AD，利用幂函数的性质分析B，利用特殊值分析C，从而得解.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，即，故A错误；
对于B，因为，函数在上单调递增，所以，故B正确；
对于，当时，，故C错误；
对于D，因为，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：BD.
11．下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．的最小值为1
C．的最大值为2 D．最小值为
【答案】BD
【分析】A选项，举出反例；B选项，利用得到；
C选项，配方法得到，从而求出最大值为1；
D选项，变形后利用基本不等式求出最小值.
【详解】当时，无最小值，故A错误；
因为，所以，故B正确；
，所以的最大值为1，C错误；
，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：BD
12．已知函数，则（ ）
A．的最小值为
B．的图象关于点对称
C．直线是图象的一条对称轴
D．在区间上单调递减
【答案】ACD
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式化简可得的解析式，结合余弦函数的最值可判断A；利用代入验证法可判断B，C；结合余弦函数的单调性可判断D.
【详解】由题意得
，
故的最小值为，A正确；
将代入中，得，
即的图象关于点对称，B错误；
将代入中，得，
即此时取到最小值，即直线是图象的一条对称轴，C正确；
当时，，由于在上单调递减，
故在区间上单调递减，D正确，
故选：ACD
三、填空题
13．函数的定义域用区间表示是 ．
【答案】
【分析】直接由解析式求得范围，表示为区间即可．
【详解】由解析式得，，解得，
所以的定义域为，
故答案为：．
14．已知函数是奇函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据奇函数的定义求解.
【详解】因为函数是奇函数，
所以，解得，
所以，
检验：函数的定义域为，
，
所以函数是奇函数，满足题意，
故答案为：1.
15．黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比，其比值为，上述比例又被称为黄金分割．将底和腰之比等于的等腰三角形称为黄金三角形，若某黄金三角形的一个底角为C，则 ．
【答案】
【分析】根据三角形三角函数的定义结合二倍角公式求解即可；
【详解】
设这个黄金三角形的另一个底角为B，顶角为A，
因为，
所以，
则．
故答案为：.
16．若偶函数满足，当时，，则 ．
【答案】
【分析】先根据周期函数的定义，由得出是函数的一个周期；再利用周期、偶函数和题中解析式即可求解.
【详解】因为，所以
则，
即是函数的一个周期.
因为函数为偶函数，所以.
所以.
故答案为：
四、解答题
17．求值：
(1)
(2)
【答案】(1)5 (2)
【分析】（1）尽量将底数改写成幂的形式，根据分数指数幂运算可得；
（2）根据对数的运算及恒等式直接计算可得.
【详解】（1）..........................5分
（2）原式..........................................................10分
18.已知，，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系及正弦的二倍角公式即可求解；
（2）根据同角三角函数的基本关系及两角和的余弦公式即可求解．
【详解】（1）由，，...................................................1分
则，.....................................................3分
所以．....................................................5分
（2）由（1）知，
又，，则，......................................7分
又，则，........................................9分
所以．................12分
19．已知二次函数.
(1)若，求的值；
(2)若二次函数的图像恒在轴的上方，求的取值范围.
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）根据函数解析式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据一元二次不等式恒成立，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1），
，........................................................................2分
，................................................................................................4分
或；.............................................................................................6分
（2）恒成立，.................................................................8分
，，.................................................................9分
，..............................................................................................11分
的取值范围为.............................................................................12分
20．已知指数函数且，经过点．
(1)求的解析式及的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由指数函数所过点求解析式，再求对应函数值即可；
（2）根据指数函数的单调性求解集.
【详解】（1）指数函数经过点，则且，得，......................2分
故，.........................................................................................4分
则.........................................................................................6分
（2）因为，即，............................................................8分
又函数在R上是增函数，有，....................................................10分
解得，所以x取值范围为.....................................................12分
21．已知函数．
(1)求证：函数是定义域为的奇函数；
(2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)函数在上单调递增，证明见解析
【分析】（1）利用定义法证明函数为奇函数；
（2）利用定义法证明函数的单调性.
【详解】（1）函数的定义域为，对于，都有，..................1分
且，.......................................................4分
所以函数是定义域为的奇函数．..................................................................5分
（2）函数在上单调递增，证明如下：
对于，且，..................................................................6分
，...........9分
因为，所以，则，...................................10分
则，即，.............................................................11分
故函数在上单调递增..............................................................12分
22．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．
【答案】（1），（2），时
【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；
（2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解．
【详解】解：（1），
，......................................................2分
，......................................................................................3分
，......................................................................................5分
故的最小正周期；............................................6分
（2）由可得，，............................................7分
当得即时，函数取得最小值．.....................10分
所以，时...........................................................12分海南中学白沙学校2023-2024学年第一学期期末考试
高一 数学 试题
本卷共4页，满分150分，答题时间120分钟．
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．下列图象中，能表示函数图象的是（ ）
A. ①② B．②③ C．②④ D．①③
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，，，则的（ ）
A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为4 D．最大值为4
6．已知函数，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（ ）
B．
C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．的最小值为1
C．的最大值为2 D．最小值为
12．已知函数，则（ ）
A．的最小值为 B．的图象关于点对称
C．直线是图象的一条对称轴 D．在区间上单调递减
三、填空题（每题5分，共20分）
13．函数的定义域用区间表示是 ．
14．已知函数是奇函数，则 ．
15．黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比，其比值为，上述比例又被称为黄金分割．将底和腰之比等于的等腰三角形称为黄金三角形，若某黄金三角形的一个底角为C，则 ．
16．若偶函数满足，当时，，则 ．
四、解答题（共70分）
17．（10分）求值：
(1)
(2)
18.（12分）已知，，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
19．（12分）已知二次函数.
(1)若，求的值；
(2)若二次函数的图像恒在轴的上方，求的取值范围.
20.（12分）已知指数函数且，经过点．
(1)求的解析式及的值；
(2)若，求的取值范围．
21．（12分）（已知函数．
(1)求证：函数是定义域为的奇函数；
(2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明．
22．（12分）（已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．
