天津市西青区2023-2024学年高二上学期期末学业质量检测数学试题（解析版）

2023-2024学年天津市西青区高二上学期期末学业质量检测数学试题
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足，，则（ ）．
A． B． C．3 D．
4．已知椭圆：的离心率为，则（ ）
A． B．1 C．3 D．4
5．圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
6．在中国农历中，一年有24个节气，北京2022年冬奥会开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，小寒、雨水、清明日影长之和为31.5尺，则前九个节气日影长之和为（ ）
A．94.5尺 B．93.5尺 C．92.5尺 D．91.5尺
7．在正方体中，点E为的中点，则平面与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．方程表示曲线的形状.①当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；②当时，方程表示焦点y在轴上的椭圆；③当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线；④当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.以上结论正确的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②
9．记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12 B．18 C．21 D．27
10．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知直线：，直线：，若，则实数a的值为 .
12．已知双曲线（）的两个焦点为，，焦距为20，点P是双曲线上一点，，则 .
13．数列的前n项和为，则 .
14．如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示 .
.
15．已知圆：与圆：相交于点A、B.①若，则公共弦所在直线方程为 ；②若弦长，则 .
16．已知抛物线C：焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于两点，.
①若直线l的斜率为1，则弦长；
②以AB为直径的圆交准线于点D，则；
③过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点C，则直线轴且点A的横坐标为1；
④若直线l垂直于对称轴，过抛物线上任一点P作垂直于对称轴的直线，垂足为，则、、成等比数列.
以上结论中正确的序号为 .
三、解答题
17．已知圆C和直线：，：，若圆C的圆心为且经过直线和的交点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线l：与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程.
18．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D、M是线段BC、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面BCM的距离；
(3)求直线与平面BCM所成角.
19．已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前12项和.
20．已知椭圆的一个顶点为，左、右焦点为，，其中O为坐标原点，过右焦点的直线交椭圆于P，Q两点，的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点C满足，点B在椭圆上（异于椭圆的项点），直线与以C为圆心的圆相切于点M，且M为线段的中点，求直线的方程.
2023-2024学年天津市西青区高二上学期期末学业质量检测数学试题
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】由直线方程确定斜率，结合倾斜角与斜率关系及其范围确定倾斜角.
【详解】由题设，直线的斜率为，根据斜率与倾斜角关系及倾斜角范围知：倾斜角为60°.
故选：B
2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用空间直角坐标系的概念求解.
【详解】点关于平面的对称点是．
故选:B.
3．已知数列满足，，则（ ）．
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据递推关系直接求解即可.
【详解】解：因为，，
所以，，，．
故选：C
4．已知椭圆：的离心率为，则（ ）
A． B．1 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用椭圆的性质计算即可.
【详解】由题意可知.
故选：C
5．圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，再与两圆的半径和差比较大小判断作答.
【详解】圆，即的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因此，显然，即，
所以圆与圆相交.
故选：A
6．在中国农历中，一年有24个节气，北京2022年冬奥会开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，小寒、雨水、清明日影长之和为31.5尺，则前九个节气日影长之和为（ ）
A．94.5尺 B．93.5尺 C．92.5尺 D．91.5尺
【答案】A
【分析】设小寒日影长为，有，应用等差中项、等差数列前n项和公式求结果.
【详解】设小寒日影长为，则，可得尺，
所以尺.
故选：A
7．在正方体中，点E为的中点，则平面与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再结合法向量夹角的余弦的绝对值公式即可求解.
【详解】由题意以为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
不妨设棱长为1，点E为的中点，
所以，
显然平面，所以可取平面的一个法向量为，
不妨设平面的法向量为，
所以，令，解得，
即取平面的法向量为，
设平面与平面所成角为，
则.
故选：B.
8．方程表示曲线的形状.①当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；②当时，方程表示焦点y在轴上的椭圆；③当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线；④当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.以上结论正确的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②
【答案】A
【分析】利用角的范围可求得的符号，再依据椭圆以及双曲线的标准方程即可出结论.
【详解】若，将可整理成，
当时，可知，则，即；
由椭圆标准方程可知，
即当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；所以①正确，②错误；
当时，，；
由双曲线标准方程可得的实轴在y轴上，
所以当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，即③正确，④错误；
即①③正确.
故选：A
9．记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12 B．18 C．21 D．27
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质，可知等比数列的公比,所以成等比数列，根据等比的中项性质即可求出结果.
【详解】因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比,
所以成等比数列
所以，所以，解得.
故选：C.
10．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先求出抛物线的方程，从而得到的值，根据离心率得到渐近线方程，由渐近线与直线垂直得到的值，从而可得双曲线的方程.
【详解】因为到其焦点的距离为5，故，故，
故抛物线的方程为，故.
因为离心率为，故，故，
根据抛物线和双曲线的对称性，不妨设在第一象限，则，
则与渐近线垂直，故，故，故，
故双曲线方程为：.
故选：D.
【点睛】方法点睛：（1）上一点到其焦点的距离为，解题中注意利用这个结论.
（2）如果直线与直线垂直，那么.
二、填空题
11．已知直线：，直线：，若，则实数a的值为 .
【答案】1或
【分析】由直线平行的充要条件列方程求解即可.
【详解】由题意直线：，直线：，若，
则当且仅当，解得，经检验满足题意.
故答案为：1或.
12．已知双曲线（）的两个焦点为，，焦距为20，点P是双曲线上一点，，则 .
【答案】
【分析】由双曲线方程及焦距确定双曲线参数，再由双曲线定义求.
【详解】由题设，又且，
所以，而，则或，
其中，故.
故答案为：
13．数列的前n项和为，则 .
【答案】
【分析】由及递推关系求结果.
【详解】.
故答案为：
14．如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示 .
【答案】
【分析】根据几何图形，应用向量加法、数乘的几何意义用，，表示出即可.
【详解】.
故答案为：
15．已知圆：与圆：相交于点A、B.①若，则公共弦所在直线方程为 ；②若弦长，则 .
【答案】
【分析】对于①直接由两圆方程相减得，对于②若弦长，则直线通过圆心 ，两圆的方程相减得直线方程，由此即可代入求解.
【详解】①若，则圆：，圆：，
两个方程相减得，
化简并整理得公共弦所在直线方程为，
②若弦长，即公共弦所在直线通过圆心 ，
而两圆方程相减得，化简并整理得公共弦所在直线方程为，
所以，解得.
故答案为：.
16．已知抛物线C：焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于两点，.
①若直线l的斜率为1，则弦长；
②以AB为直径的圆交准线于点D，则；
③过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点C，则直线轴且点A的横坐标为1；
④若直线l垂直于对称轴，过抛物线上任一点P作垂直于对称轴的直线，垂足为，则、、成等比数列.
以上结论中正确的序号为 .
【答案】②④
【分析】令联立抛物线并应用韦达定理，结合弦长公式求得，由判断①；根据圆的性质判断②；根据题设得到，求得，结合有，即可得判断③；由得，若且确定坐标，即可判断④.
【详解】由题设，令，联立抛物线可得，
所以，，可得，
①若直线l的斜率为1，则，可得，错；
②以AB为直径的圆交准线于点D，由圆的性质知，即，对；
③过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点C，如下图，则，
令，则，故，，即，
而，故，可得，即轴，但A的横坐标不一定为1，错；
④若直线l垂直于对称轴，过抛物线上任一点P作垂直于对称轴的直线，垂足为，
由题设，则，若且，则不妨设，
所以、，故，对.
故答案为：②④
三、解答题
17．已知圆C和直线：，：，若圆C的圆心为且经过直线和的交点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线l：与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出交点坐标，进而得到半径，得到圆的标准方程；
（2）由垂径定理得到圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式求出答案.
【详解】（1）联立，解得，
故半径为，
故圆C的标准方程为；
（2）设圆心到直线的距离为，
则由垂径定理得，
解得，即，解得，
故直线l的方程为，即.
18．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D、M是线段BC、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面BCM的距离；
(3)求直线与平面BCM所成角.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）连接交于，连接，根据已知得为正方形，则是中点，进而有，由线面平行的判定证结论；
（2）构建空间直角坐标系，向量法求点面距离；
（3）由（2）求点的坐标，向量法求线面角的大小.
【详解】（1）连接交于，连接，
又平面ABC，平面ABC，则，
又，易知为正方形，故是中点，
由D是线段BC的中点，则，面，面，
所以平面；
（2）由题设，可构建如下图空间直角坐标系，则，
所以，，
若是面BCM的的一个法向量，则，取，
故，
所以点到平面BCM的距离.
（3）由（2），可得，
所以直线与平面BCM所成角正弦值为，
又线面角范围为，故直线与平面BCM所成角为.
19．已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前12项和.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据等比、等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；
（2）应用分组求和，结合裂项相消法、等比数列前n项和公式求.
【详解】（1）令公比为且，则，整理，
所以，故，
又，令的公差为，则，
所以，可得，故.
（2）由，
所以
.
20．已知椭圆的一个顶点为，左、右焦点为，，其中O为坐标原点，过右焦点的直线交椭圆于P，Q两点，的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点C满足，点B在椭圆上（异于椭圆的项点），直线与以C为圆心的圆相切于点M，且M为线段的中点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由椭圆定义得，，由此即可得解.
（2）由题意得，，设，联立椭圆方程，表示出点的坐标，结合求出斜率即可得解.
【详解】（1）
由题意得，，
解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
由（1）知，又，所以，
由题意，点B在椭圆上（异于椭圆的项点），所以直线斜率存在且不为0，
设，直线和椭圆方程联立得，得，
当时，则，
因为直线与以为圆心的圆相切于点，即为中点，
则，，
，，
因为，所以，得，
因为，所以得.
所以直线或.
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