海南中学2023-2024学年度第一学期
高二数学期末考试试题卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，满分150分，考试时间为120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置上，
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答非选择题时，将答案写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选顶中，只有一项是符合题目要求的
1. 下列式子错误的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
3. 已知是等比数列，且．那么的值为（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
4. 在数列中，，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
5. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知等比数列前项和为，若，，则（ ）
A. 8 B. 26 C. 80 D. 54
7. 两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
8. 四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2
C. 中位数为3，方差为2.8 D. 平均数为2，方差为2.4
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知双曲线的方程为，则（ ）
A. 渐近线方程为 B. 焦距为
C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为8
10. 下列说法中，正确是（ ）
A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B. 一组数据的第75百分位数为17
C. 若样本数据方差为8，则数据的方差为2
D. 将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差
11. 疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ）
A. B. 事件与互斥
C. D. 事件与对立
12. 已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，若，则（ ）
A.
B. 当且仅当时，取得最小值
C.
D. 的正整数的最大值为12
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9，0表示未击中目标，以三个随机数为一组，代表三次发射的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据，估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为______.
14. 在数列中，，则___________．
15. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
16. 已知双曲线，，分别为双曲线的左 右焦点，为双曲线上的第一象限内的点，点为△的内心，点在轴上的投影的横坐标为___________，△的面积的取值范围为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 等差数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18. 已知.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）设P为曲线上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角的取值范围.
19. 2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a，b的值；
（2）估计这100名同学面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）；
（3）在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率．
20. 杭州亚运会正在进行，乒乓球被称为中国的“国球”，赛事备受关注.乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成10∶10平后，发球权的次序仍然不变，但实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，已知某局比赛甲先发球.
（1）求该局比赛中，打完前4个球时甲得3分的概率；
（2）若在该局双方比分打成10∶10平后，两人又打了X个球该局比赛结束，求事件“”的概率.
21. 已知数列的前项和为，且是首项为1，公差为2的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
22. 已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，过点直线交椭圆于点，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点.求证：与的面积之比为定值.海南中学2023-2024学年度第一学期
高二数学期末考试试题卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，满分150分，考试时间为120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置上，
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答非选择题时，将答案写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选顶中，只有一项是符合题目要求的
1. 下列式子错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，依次计算选项函数的导数，综合即可得答案．
【详解】对于A：，故正确；
对于B：，故错误；
对于C：，故正确；
对于D：，故正确，
故选：B．
2. 抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线标准方程即可求解.
【详解】由题知，抛物线方程为，
则其准线方程为.
故选：C
3. 已知是等比数列，且．那么的值为（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】由等比数列的下标和性质求解即可.
【详解】解：根据等比数列的性质，
得．
而．
故选：A
4. 在数列中，，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的递推公式，探讨数列的周期，再借助周期性求值.
详解】，
于是数列是以3为周期的周期数列，所以.
故选：C
5. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先写出椭圆的蒙日圆方程，然后根据条件判断出两圆内切或外切，由此列出方程求解出结果.
【详解】由题意可知的蒙日圆方程为，
因为圆与圆仅有一个公共点，
所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，
所以或，
由此解得，
故选：B.
6. 已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 8 B. 26 C. 80 D. 54
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列前n项和的片段和的性质，即可求得答案.
【详解】在等比数列中，，，，也成等比数列，
因为，，所以，所以，，
所以，
故选：C.
7. 两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得，结合题意计算即可求解.
【详解】.
故选：D
8. 四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2
C. 中位数为3，方差为2.8 D. 平均数为2，方差为2.4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案．
【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；
对于C，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：，
方差为，
可以出现点数6，故C错误；
对于D，若平均数为2，且出现6点，则方差，
则平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故D正确．
故选：D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知双曲线的方程为，则（ ）
A. 渐近线方程为 B. 焦距为
C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为8
【答案】BC
【解析】
【分析】根据方程求，进而结合双曲线的性质逐项分析判断.
【详解】因为双曲线方程为，即，
则，且双曲线焦点在轴上，
所以渐近线方程为：，A选项错误；
焦距，B选项正确；
离心率，C选项正确；
焦点为，则焦点到渐近线的距离为，D选项错误．
故选：BC.
10. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B. 一组数据的第75百分位数为17
C. 若样本数据的方差为8，则数据的方差为2
D. 将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差
【答案】AC
【解析】
【分析】根据简单随机抽样中每个个体被抽到的可能性是一样的，可判断A；根据百分位数的求法可判断B；根据一组数据加上或乘以同一个数后的平均数以及方差的性质可判断C；根据分层抽样中的平均数以及方差的性质，可判断D.
【详解】选项A：由题意知个体被抽到的概率为，故A正确；
选项B：数据从小到大排列为：，
由于，找第8个数据18，即第75百分位数为18，故B错误；
选项C：设数据的平均数为，
方差为，
则数据平均数为，
方差为
，
所以，故C正确；
选项D：设第一层数据为，第二层数据为，
则，
所以，
，
总体平均数，
总体方差
因为，则，
所以，
，故D错误．
故选：AC．
11. 疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ）
A. B. 事件与互斥
C. D. 事件与对立
【答案】BC
【解析】
【分析】根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决.
【详解】由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为）：
共36种，
若，此时取或
所以，故A错误；
若，则恒成立，
所以与互斥，故B正确；
，故C正确；
当时，，此时事件与均未发生，
所以事件与不对立，故D错误.
故选：BC
12. 已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，若，则（ ）
A.
B. 当且仅当时，取得最小值
C.
D. 的正整数的最大值为12
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据确定，求出的值确定A；根据数列项的变化，确定B；利用等比数列的基本量运算判断C；根据转化二次不等式，从而确定正整数的最大值判断D.
【详解】对于，因为，所以，因为，解得，故A正确；
对于，注意到，故时，时，，
所以当或时，取得最小值，故B错误；
对于，
所以，故C正确；
对于D，，因为，
所以，所以，所以，正整数的最大值为12，故D正确，
故选：ACD．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9，0表示未击中目标，以三个随机数为一组，代表三次发射的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据，估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，得到这20组随机数中一次为没有击中目标的次数，结合对立事件的概率计算公式，即可求解.
【详解】根据题意，这20组随机数中一次也没有击中目标的有，共有3组，
所以，这20组随机数中至少有一次击中目标的概率为.
故答案为：.
14. 在数列中，，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据数列递推式，判断为等差数列，即可求出的表达式，从而可求得答案.
【详解】因为，，所以为等差数列，公差为1，首项为，
故，所以，而，故，
故，
故答案为：
15. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【解析】
【分析】对已知递推关系的等式两边同时除以，利用累加法，结合裂项求和法即可求得结果.
【详解】，两边同除得：
，
所以，即，
化简得，∵，∴．
故答案为：.
16. 已知双曲线，，分别为双曲线的左 右焦点，为双曲线上的第一象限内的点，点为△的内心，点在轴上的投影的横坐标为___________，△的面积的取值范围为___________.
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】先由双曲线的定义得到点在上垂足为右顶点，设出渐近线的倾斜角为，则，，则，求出，从而求出，求出△的面积的取值范围.
【详解】由题意得：，故，
设点，且在上垂足为H，
根据双曲线定义及切线长定理得：，
又，解得：，
所以点H坐标为，即横坐标为3；
渐近线的倾斜角为，则，
记，则，
所以，即，
又，解得：(负值舍)，
所以，则，
所以.
故答案为：3，
【点睛】方法点睛：双曲线焦点三角形的内切圆圆心位于顶点的正上方或正下方，这个二级结论在双曲线有关于内切圆的题目时，经常用到，需要掌握.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在等差数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，
（2）根据等差数列以及等比求和公式，结合分组求和即可求解，或者分奇偶，又等差求和公式以及并项求和求解.
【小问1详解】
设的公差为，则
解得
所以.
【小问2详解】
（方法一）
.
（方法二）当为偶数时，
当奇数时，
.
综上，
18. 已知.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）设P为曲线上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角的取值范围.
【答案】（1）
（2）1，
【解析】
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可；
（2）利用基本不等式求解切线的斜率范围，根据正切函数的性质结合倾斜角的范围求解即可.
【小问1详解】
∵，∴，
当时，，，
∴曲线在处的切线方程为，即；
【小问2详解】
由题意，，
∴，当且仅当即时，等号成立，
∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1，
∴，又，
∴，即倾斜角的取值范围为.
19. 2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a，b的值；
（2）估计这100名同学面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）；
（3）在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率．
【答案】（1），
（2）估计众数为70，分位数为
（3）
【解析】
【分析】（1）由第三、四、五组的频率之和为0.7，各组频率之和为，建立方程组求解；
（2）由频率分布直方图可知最高的矩形组为第三组，取中点可得众数，求前两组与前三组频率之和，确定第分位数所在组，再由比例关系求解；
（3）由抽样比可得两组选取人数，列举法得，，再由古典概型概率公式可求.
【小问1详解】
由题意可知：，，
解得，；
【小问2详解】
由频率分布直方图估计众数为，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
则估计第分位数为；
【小问3详解】
根据分层抽样，和的频率比为
故在和中分别选取4人和1人，分别设为和
则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有
共10个，
即，记事件“两人来自不同组”，
则事件包含的样本点有
共4个，即，
所以.
20. 杭州亚运会正在进行，乒乓球被称为中国的“国球”，赛事备受关注.乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成10∶10平后，发球权的次序仍然不变，但实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，已知某局比赛甲先发球.
（1）求该局比赛中，打完前4个球时甲得3分的概率；
（2）若在该局双方比分打成10∶10平后，两人又打了X个球该局比赛结束，求事件“”的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式计算即可；
（2）由题意可得或，再根据相互独立事件的乘法公式计算即可.
【小问1详解】
由题意，甲发球时甲失分的概率为，乙发球时甲失分的概率为，
若打完前4个球时甲得3分，则甲失一球，
这个球可能是甲发也可能是乙发，
所以打完前4个球时甲得3分的概率为；
【小问2详解】
若在该局双方比分打成10∶10平后，则接下来是甲发球，
若，则或，
，
，
所以.
21. 已知数列的前项和为，且是首项为1，公差为2的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由求通项公式，由等差数列定义写出通项公式，进而写出通项公式；
（2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求，问题化为对一切恒成立，研究右侧的单调性求最大值，即可得参数范围.
【小问1详解】
当时，，解得.
当时，，两式相减得，
即，
所以是首项 公比均为2的等比数列，故.
又，故.
小问2详解】
因为，所以①，②，
①-②得.
所以.
不等式对一切恒成立，转化为对一切恒成立.
令，则，
又，
当时，，当时，，
所以，则.
所以实数的取值范围为.
22. 已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，过点的直线交椭圆于点，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点.求证：与的面积之比为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据顶点得到，根据离心率得到，则得到椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立椭圆方程得到韦达定理式，求出两直线方程，得到面积表达式，化积为和，代入化简即可.
【小问1详解】
由题意得，，则，则，
则椭圆的方程为.
【小问2详解】
显然当直线的斜率为0和不存在时，不合题意，
则可设直线的方程为，，，
则联立椭圆方程有，化简得，
则，解得或，
则，，，，，
则，则直线的方程为，令，则，
，则直线的方程为，令，则，
则，，因为，则同号，
则
.
