福建省福州市八县（市）协作校2023-2024学年高二上学期2月期末数学试题（含答案）

福州市八县（市）协作校2023-2024学年第一学期期末联考
高二 数学试卷
(完卷时间:120分钟；满分:150分)
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．数列的一个通项公式为
A． B． C． D．
2．下列求导数的运算中正确的是
A． B．
C． D．
3．双曲线的一个顶点为，渐近线方程为，则双曲线方程是
A． B．
C． D．
4．如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则

A． B． C． D．
5．已知数列满足，，则数列前2023项的积为
A．2 B．3 C． D．
6．已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为
A． B． C． D．
7．已知椭圆的左右焦点分别是，，过的直线与相交于A，B两点，若，，则的离心率为
A． B． C． D．
8．已知关于的不等式解集中恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
二、多选题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分.
9．已知空间向量，，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．在上的投影向量为
10．已知过点的直线和圆：，则
A．直线与圆相交
B．直线被圆截得最短弦长为
C．直线与被圆截得的弦长为，的方程为
D．不存在这样的直线，使得圆上有3个点到直线的距离为2
11．数列的前项和为，且 ，下列说法正确的是
A．若的首项为1，则为等差数列
B．若为等差数列，则的公差为2
C．
D．
12．已知抛物线过点，过点的直线交抛物线于，两点，点在点右侧，若为焦点，直线，分别交抛物线于，两点，则
A． B．有最小值4
C． D．A，P，Q三点共线
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．曲线在点处的切线倾斜角为 ．
14．请写出满足：直线在两坐标轴上的截距相等且与圆相切的一条直线的方程为 ．（写出一条即可）
15．我们已经学习了直线方程的概念：直线上的每一个点的坐标都是方程的解；反之，方程的解所对应的点都在直线上．同理，空间直角坐标系中，也可得到平面的方程：过点且一个法向量为的平面的方程为．据上述知识解决问题：建立合适空间直角坐标系，已求得某倾斜墙面所在平面方程为：，若墙面外一点的坐标为，则点到平面的距离为 ．
16．已知数列的前项和为，且满足，若数列的前项和
满足恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题:本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17．(10分)已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
18．(12分)在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点.

(1)求证：；
(2)求与平面成角的正弦值.
19．(12分)已知函数.
(1)求在上的最大值；
(2)若函数恰有三个零点，求的取值范围.
20．(12分)已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大正整数．
(12分)已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若的下顶点为，不过的直线与交于点，线段的中点为，
若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；
若不过定点，请说明理由.
22．(12分)已知函数．
(1)讨论函数的单调性．
(2)若有两个不相等的实根，且，求证：．
福州市八县（市）协作校2023-2024学年第一学期期末联考
高二 数学参考答案
单选题（本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1 2 3 4 5 6 7 8
B D C A A C B D
二、多选题（本题共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
9 10 11 12
AC ABD BD ACD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
14.(写对一个即得分） 15. 16.
解答题（本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.解（1）设等差数列的公差为,
由已知得， …………………………3分
解得， ……………………………………………4分
； ……………………………………………5分
………………………………7分
所以
…………………………………………………9分
求得. …………………………………………………10分
18．解（1）证明法1：取的中点,连接,,……………………………1分
依题意可知：且,且…………………2分
所以且,四边形为平行四边形，故，
又,,所以. ………………………6分
法2：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系
，，，,,
，，……………………………………2分
设平面的法向量，
则，取，得，…………………………………4分
,又，所以…………………………………6分
，

（2）由（1），…………………………………………………………7分
设与平面所成角为，……………………………………………………8分
则， ……………………………………11分
所以与平面所成角的余弦值为.………………………………………12分
备注：若第一步学生用常规方法，第二步按步相应酌情给分.
19.解（1）……………………………………2分
可知时，单调递增，时，单调递减，
时，单调递增，所以……………4分
由，…………………………………………………5分
.……………………………………………………6分
(2) 由（1）知
在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，
所以，………………………………9分
因为有三个零点，所以，即，……………………11分
解得，故的取值范围为…………………………………12分
备注：本题第二问中也可以用分离参数来解答，可根据实际情况酌情相应给分.
20.解（1）由,得,则………3分
又,, …………………………………………4分
所以数列是以首项，以为公比的等比数列…………………………5分
由（1）可得 ，
所以 …………………………………………………6分
则…………………………9分
，得，即，……10分
因为，所以满足.
…………………………………………12分
21解（1）设点,依题意得，………………………………2分
整理化简可得：， …………………………………………3分
所以点的轨迹的方程为：. ………………………………………4分
（2）
因为，所以，
又为线段的中点，所以，因此.…………………………5分
根据题意可知直线的斜率一定存在，设的方程为，
联立消去，得，
根据韦达定理可得，…………………………………8分
，……………………………………9分
所以，
整理得，解得或.……………………………………11分
又直线不经过点，所以舍去，
于是直线的方程为，恒过定点，该点在椭圆轨迹内，满足，
所以直线恒过定点，定点坐标为.……………………………………………12分
22.解（1）由题意知，函数的定义域为．
由，得．……………………………………………1分
当时，，所以在上单调递增．…………………………2分
当时，令，得．
当时，；当时，．……………………………3分
所以当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．………………………4分
（2）由（1）可知，且、，
根据题意可得，所以．…………………………………………6分
因为，设，则．
要证，即证，即证．…………………8分
构造函数，易得．
．………………………………………………………10分
构造函数，则，
所以在上单调递增，……………………………………………………11分
所以，所以在上单调递增．
所以当时，，即，所以成立. …………12分
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