荆州中学2023~2024学年高一上学期期末考试
数学测试题
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列函数中，周期为的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 命题“，”否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. “”是“函数为奇函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 式子的值为（ ）
A. B. C. D. 2
6. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 函数周期为 B. 函数在上为增函数
C. 函数是偶函数 D. 函数关于点对称
7. 已知实数，则的（ ）
A. 最小值为1 B. 最大值为1 C. 最小值为 D. 最大值为
8. 雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：，，则．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 与的终边相同
B. 化成弧度是
C. 经过4小时时针转了
D. 若角与终边关于轴对称，则，
10. 已知，，则（ ）
A. B.
C D.
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数图象关于直线对称
B. 若，恒成立，则实数
C. 函数在内有5个零点，则
D. 若在上恰有2024个零点，则
12. 已知定义在上的函数，对任意的，都有，且，则（ ）
A. B. 是偶函数
C. ， D. ，
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. ________．
14. 若函数的最小值为1，则实数________．
15. 函数的零点个数为__________.
16. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，，则关于的不等式的解集为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17 已知函数．
（1）用“五点法”作出函数在上的图象；
（2）解不等式．
18. 已知集合，集合，集合.
（1）求的子集的个数；
（2）若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围.
19. 已知函数，．
（1）求的值；
（2）若，，求值．
20. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）当时，求函数值域．
21. 如图，已知单位圆O，A(1，0)，B(0，1)，点D在圆上，且AOD＝，点C从点A沿圆弧运动到点B，作BEOC于点E，设COA＝.
(1)当时，求线段DC的长；
(2)OEB的面积与OCD面积之和为S，求S的最大值．
22. 对于函数，，，如果存在实数a，b使得，那么称为，的生成函数.
（1）设， ，，，生成函数.若不等式在上有解，求实数的取值范围；
（2）设函数，，是否能够生成一个函数.且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够求函数的解析式，否则说明理由.荆州中学2023~2024学年高一上学期期末考试
数学测试题
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列函数中，周期为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】举反例排除A，利用三角函数的周期公式判断BC，利用周期函数的定义结合诱导公式判断D.
【详解】对于A，因为，
所以，
则，所以不以为周期，故A错误；
对于B，因为，所以的周期为，故B错误；
对于C，因为，所以的周期为，故C错误；
对于D，因为，
所以，
则的周期为，故D正确.
故选：D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.
【详解】由题意可知：命题“，”的否定是“，”.
故选：A.
3. 单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得，从而得到，从而得解.
【详解】点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，
所以， 所以，
其中，即点的坐标为.
故选：A.
4. “”是“函数为奇函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的性质，结合充分性和必要性的定义进行求解即可
【详解】当时，为奇函数，故充分性成立；
当函数为奇函数，故，故必要性不成立；
则“”是“函数为奇函数”的充分而不必要条件
故选：A
5. 式子的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由正余弦倍角公式、诱导公式即可化简求值.
【详解】由，，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查了利用三角恒等变换化简求值，属于简单题.
6. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 函数周期为 B. 函数在上为增函数
C. 函数是偶函数 D. 函数关于点对称
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的函数，结合正切函数的图象、性质逐项判断即得.
【详解】对于A，由于，，因此，A错误；
对于B，当时，，则函数在区间上是减函数，B错误；
对于C，由于，因此函数是奇函数，不是偶函数，C错误；
对于D，，因此函数的图象关于对称，D正确，
故选：D.
7. 已知实数，则的（ ）
A. 最小值为1 B. 最大值为1 C. 最小值为 D. 最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】由基本不等式得出结果.
【详解】因为，
当且仅当即时取等号；
故最大值为，
故选：D.
8. 雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：，，则．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，借助图象证得当时，，从而判断得；构造单位圆A，利用三角函数线证得，从而判断得，由此得解.
【详解】，，
令，两函数图象如图所示，
因为均单调递增，且，
结合图象可知当时，，即，
故，故；
如图，单位圆A中，于，设，，
则的长度，，，
则由图易得，，
因为，则，故，
所以，即，
所以，故；
综上，.
故选：B.
【点睛】方法点睛：
（1）比较对数式大小，一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小；
（2）比较非特殊角三角函数大小，可结合单位圆转化为比较长度.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 与的终边相同
B. 化成弧度是
C. 经过4小时时针转了
D. 若角与终边关于轴对称，则，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据终边相同角的定义判断A；根据弧度制和角度制的转化判断B，根据角的定义判断C；根据终边关于轴对称的角的关系判断D.
【详解】对于A选项，，所以与的终边相同，故A正确；
对于B选项，，故B错误；
对于C选项，经过4小时时针转了，故C错误；
对于D选项，若角与终边关于轴对称，则，，故D错误，
故选：BCD
10. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用平方关系求得的值，再结合诱导公式、商数关系逐项化简判断即可.
【详解】因为，，所以，
则，，
，，则ACD正确，B错误.
故选：ACD.
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 若，恒成立，则实数
C. 函数在内有5个零点，则
D. 若在上恰有2024个零点，则
【答案】BC
【解析】
【分析】由图象先求出，再结合选项依次判断即可.
【详解】解：由图象知，，得，
由，而，得，
故，
对于A项，由，得，则，不满足，故A项错误；
对于B项，由，得，得，
令，由，得，
而，得在上恒成立，
由在上单调递增，则，
得，故B项正确；
对于C项，由，得，
因为函数在内有5个零点，所以，得，故C项正确；
对于D项，令，得，
若上恰有2024个零点，
转化为函数和在上恰有2024个交点，
当时，由，得，
得，
当时，函数和在上恰有4048个交点，故D项错误.
故选：BC
12. 已知定义在上的函数，对任意的，都有，且，则（ ）
A. B. 是偶函数
C. ， D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】用赋值法，令求得判断A，令判断B，求出判断C，令得出递推关系，进而得出函数的周期性，然后由周期性计算判断D．
【详解】在中，又有，
令得，所以，A正确；
令得，所以，是偶函数，B正确；
令得，所以，
令得，所以，
令得，，C错误；
令得，所以，
由此，即，
所以，是周期为6的周期函数，
，，，
，
所以，D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还可能得出函数的奇偶性、周期性，这样对规律性求值起到决定性的作用．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. ________．
【答案】
【解析】
【分析】由，再结合两角差的余弦公式求解.
详解】解：
.
故答案为：
14. 若函数的最小值为1，则实数________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用辅助角公式与正弦函数的性质得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】因为，其中，，
所以，解得．
故答案为：3．
15. 函数的零点个数为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】合理转化为函数交点问题，作出图像后观察即可.
【详解】函数的零点个数转化为与两个函数图象的交点个数，
利作出图象，由图可知，
两个函数图象有四个交点，
所以函数有4个零点.
故答案为：4.
16. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，，则关于的不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的定义得为奇函数，根据单调性的定义知在R上单调递增，构造函数，从而为R上的偶函数，且在上单调性递增，原不等式等价于，利用单调性解不等式即可.
【详解】定义在上的函数满足，，
令，可得，所以，
令，得到，即，所以为奇函数，
设，由题意，
所以，
又因为，所以，所以，即，
所以R上单调递增，
不等式等价于，
令，
因为，
且的定义域为R，所以为R上的偶函数，且在上单调性递增，
由得，所以等价于，
等价于，所以，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：关于抽象函数的单调性和奇偶性的判断常常用定义法解决，对于解抽象函数不等式问题，往往要根据式子结构构造函数，利用函数单调性求解即可.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数．
（1）用“五点法”作出函数在上的图象；
（2）解不等式．
【答案】（1）图象见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用“五点作图法”即可得解；
（2）利用整体代入法，结合正弦函数的性质即可得解.
【小问1详解】
列表
0
0 1 0 0
又当时，，当时，，
描点作图，如图所示：
【小问2详解】
因为，
所以，，
解得，，
故不等式的解集为.
18. 已知集合，集合，集合.
（1）求的子集的个数；
（2）若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）8个；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出集合和，再求，根据集合子集的个数可得答案；
（2）由题意可得，分和两种情况讨论可得答案.
【详解】（1）由解得，所以，
又因为，所以，
所以的子集的个数为个.
（2）因为命题“都有”是真命题，所以，即，
当时，，解得；
当时，解得，
综上所述：.
19. 已知函数，．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接代入的解析式，结合诱导公式即可得解；
（2）利用三角函数的诱导公式与基本关系式求得，再利用三角函数倍角公式与和差公式即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以.
【小问2详解】
因为，
又，故，，
所以，，
故.
20. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）当时，求函数值域．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为，再利用正弦型函数的周期以及单调性求解；
（2）因为，则，结合正弦函数的图象和性质求出值域.
【小问1详解】
∴周期；
令，，得，
故单调递减区间为.
【小问2详解】
因为，则，，
，
故函数值域为.
21. 如图，已知单位圆O，A(1，0)，B(0，1)，点D在圆上，且AOD＝，点C从点A沿圆弧运动到点B，作BEOC于点E，设COA＝.
(1)当时，求线段DC的长；
(2)OEB的面积与OCD面积之和为S，求S的最大值．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】（1）根据题意，分析可得当θ时，∠COD，分析可得答案；
（2）根据题意，由∠COA＝θ，利用θ表示△OEB的面积与△OCD面积，进而可得Ssinθcosθ（sinθ+cosθ），令t＝sinθ+cosθ，运用换元法分析可得答案．
【详解】解：
(1)θ＝，∠COD＝＋＝，
∠ODC＝，DC＝.
(2)∠COA＝θ，∠OBE＝θ，OE＝sinθ，BE＝cosθ，S△OEB＝sinθcosθ，
方法一：因为∠AOD＝，∠COA＝θ．
所以∠COD＝θ＋，OC＝OD＝1，取CD中点H，
则OH⊥CD，∠DOH＝，DH＝sin，OH＝cos，
所以S△OCD＝cossin＝sin(θ＋)＝(sinθ＋cosθ)．
方法二：作CM，
△OEB的面积与△OCD面积之和S＝sinθcosθ＋(sinθ＋cosθ)，
令t＝sinθ＋cosθ，θ∈[0，]，则t∈[1，]且sinθcosθ＝．
所以S＝＋t＝(t2＋t－1)＝(t＋)2－，
因为t∈[1，]，
当t＝时，S取得最大值，最大值为．
【点睛】本题考查三角函数的建模问题，涉及三角函数的最值和余弦定理的应用，注意用θ表示）△OEB的面积与△OCD面积之和．
22. 对于函数，，，如果存在实数a，b使得，那么称为，的生成函数.
（1）设， ，，，生成函数.若不等式在上有解，求实数的取值范围；
（2）设函数，，是否能够生成一个函数.且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够求函数的解析式，否则说明理由.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意新定义得到的解析式，然后将问题转化为在上有解，利用换元法转化为二次函数求解最值即可；
（2）利用待定系数法设，根据，得到对任意恒成立，从而得到，再利用换元法以及对勾函数进行分析求解，即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得，， ，，，
所以，
不等式在上有解，
等价于在上有解，
令，则，
由在上单调递减，
所以当时，取得最大值，故．
【小问2详解】
解：设，则．
由，得，
整理得，即，即对任意恒成立，
所以．
所以
．
设，
令，则，
由对勾函数的性质可知在单调递减，上单调递增，
∴在单调递增，
∴，且当时取到“”．
∴，
又在区间的最小值为，
∴，且，此时，．
所以．
