成都七中高2021级高三上期数学测试（文科）
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“为第一象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 设，则（ ）．
A. B.
C. D.
4. 在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下列联表（部分数据缺失）：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合计
注射疫苗 10
50
未注射疫苗
30 50
合计 30
100
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6635 7.879 10.828
计算可知，根据小概率值______独立性检验，分析“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果” （ ）
附：，.
A. 0.001 B. 0.05 C. 0.01 D. 0.005
5. 若方程的两根都大于 ，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图1是函数的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换后，得到图2中的部分图象，则（ ）
A. B. 的解集为，
C. D. 方程有4个不相等的实数解
8. 已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，点D在线段BC上，且，则的值为（ ）
A B. C. D.
9. 如图所示的几何体是由正方形沿直线旋转得到的，设是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则下列结论不正确的是（ ）
A. 存在点，使得
B. 存点，使得
C. 存在点，使得平面
D. 存在点，使得直线与平面的所成角为
10. 定义在上的函数满足，，则关于的不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
11. 若抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在准线l上的射影为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
12. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的有（ ）个.
①；②的取值范围为；
③的取值范围为；
④的最小值为
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13. 已知实数满足，则的最大值为________．
14. 交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕锥顶点S滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置时，交通锥筒本身恰好滚动了3周．若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该圆锥的底面半径为cm，则该圆锥的侧面积为______．（交通锥筒的厚度忽略不计）．
15. 双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，，则该双曲线的离心率为___________．
16. 在中，，，，，分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得，，重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为________
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 数列的前项和，
（1）求数列的通项公式：
（2）若，求数列的前项和.
18. 为了让学生适应陕西“3＋3”的新高考模式，某校在高二期末考试中使用赋分制给等级考科目的成绩进行赋分，先按照考生原始分从高到低按比例划定A＋、A、B＋、B、B－、C＋、C、C－、D＋、D、E共5等11级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A＋和E级排名各占比5%，其余各级排名各占比10%．现从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：
（1）求图中a的值；
（2）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率；
（3）已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的方差．
19. 如图（1）示，在梯形中， ，，且，如图（2）沿将四边形折起，使得平面与平面垂直， 为的中点．
（1）求证： 面
（2）求证： ；
（3）求点到平面的距离．
20. 已知椭圆过点离心率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）当过点M(4，1)的动直线与椭圆C相交于不同的两点A，B时，在线段AB上取点N，满足求线段PN长的最小值.
21. 已知函数.（是自然对数的底数）
（1）求的单调递减区间；
（2）记，若，试讨论在上的零点个数.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 多样化的体育场地会为学生们提供更丰富的身体锻炼方式.现有一个标准的铅球场地如图，若场地边界曲线M分别由由两段同心圆弧和两条线段四部分组成，在极坐标系中，，A O B三点共线.，点C在半径为1的圆上.
（1）分别写出组成边界曲线M的两段圆弧和两条线段的极坐标方程；
（2）若需设置一个距边界曲线M距离不小于1且关于极轴所在直线对称的矩形警示区域，如图，求警示区域所围的最小面积.
注：，
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，对任意正实数a，b恒成立，求实数x的取值范围.成都七中高2021级高三上期数学测试（文科）
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用定义域的求法化简集合B，然后利用交集运算求解即可.
【详解】因为，又，
所以.
故选：C
2. “”是“为第一象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】判断，即判断，根据在象限中恒成立即可判断出所在象限，最后根据充分条件和必要条件定义即可得出答案.
【详解】，若为第一象限角或第三象限角，则，即；
若为第二象限角或第四象限角，则，即.
故“”是“为第一象限角”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 设，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，利用换底公式求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：D
4. 在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下列联表（部分数据缺失）：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合计
注射疫苗 10
50
未注射疫苗
30 50
合计 30
100
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
计算可知，根据小概率值______的独立性检验，分析“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果” （ ）
附：，.
A 0.001 B. 0.05 C. 0.01 D. 0.005
【答案】B
【解析】
【分析】计算卡方，再根据独立性检验的概念判断即可.
【详解】完善列联表如下：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合计
注射疫苗 10 40 50
未注射疫苗 20 30 50
合计 30 70 100
假设：“给基因编辑小鼠注射该疫苗不能起到预防该病毒感染的效果”.
因为：，而，
所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立.
即认为“给基因编辑小鼠注射该疫苗能起到预防该病毒感染的效果”.
故选：B
5. 若方程的两根都大于 ，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，根据二次函数的两个零点都大于列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】设，
由题意得：，
解之得实数的取值范围为：.
故选：D
【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围，属于中档题.
6. 在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】将问题转化为求以点为圆心，以3为半径的圆和以点为圆心，以2为半径的圆的公切线的条数求解.，
【详解】到点距离为3的直线可看作以A为圆心3为半径的圆的切线，
同理到点距离为2的直线可看作以B为圆心2为半径的圆的切线，
故所求直线为两圆的公切线，
又，
故两圆外切，
所以公切线有3条，
故选：C
7. 如图1是函数的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换后，得到图2中的部分图象，则（ ）
A. B. 的解集为，
C. D. 方程有4个不相等的实数解
【答案】B
【解析】
【分析】由两个函数的图象分析得到的解析式，可判断选项A；根据的函数图象可判断选项B；根据的周期性可判断选项C；在同一个坐标系中作出和的图象可判断选项D.
【详解】由图知，的图象可看作将的图象先向右平移一个单位，再把所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到的，
，
对于A，，故A错误；
对于B，要使，则，
解得，故B正确；
对于C，的最小正周期为，
，故C错误；
对于D，在单调递减，且图象过点和，
函数与函数的图象有个交点，如图所示，
方程有个不相等的实数解，故D错误.
故选：B.
8. 已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，点D在线段BC上，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解.
【详解】设等腰△ABC在边上的高为，
因为，所以，
所以,所以，
所以
.
故选:B.
9. 如图所示的几何体是由正方形沿直线旋转得到的，设是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则下列结论不正确的是（ ）
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得
C. 存在点，使得平面
D. 存在点，使得直线与平面的所成角为
【答案】B
【解析】
【分析】由题意将图形补全为正方体，，对于A，根据平面，当重合即可判定；对于B，根据平面，而是圆弧上的动点，即可判定；对于C，建立空间直角坐标系，根据平面的法向量和垂直即可判定结果；对于D，当点与点重合时，直线与平面所成角最大，求出夹角正弦值，进一步分析即可.
【详解】对于A，因为正方体中，平面平面，所以
，所以当重合时，由.由A正确；
对于B，因为，若，则，又，所以B不正确；
对于C，以A为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，
，
，
所以
设为平面的一个法向量，
则即，
令得，则
假设平面，
则，所以.
因为，所以，
即是圆弧的中点，符合题意，故C正确；
对于D，当点与点重合时，直线与平面所成角最大，
所以.
由得直线与平面的所成角的最大角大于，
所以存在点，使得直线与平面的所成角为，故D正确.
故选：B
10. 定义在上的函数满足，，则关于的不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数确定函数单调性，原不等式可化为，根据单调性即可求解.
【详解】令，则，
因为时，，
所以，
即函数在上单调递增；
又，所以；
由得，
所以，
因此，，解得.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求解不等式，属于中档题.
11. 若抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在准线l上的射影为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
转化：，利用余弦定理：，即得解.
【详解】
如图所示，由题意得，
当且仅当：时，有最大值.
故选：C
【点睛】本题考查了抛物线的综合问题，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.
12. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的有（ ）个.
①；②的取值范围为；
③的取值范围为；
④的最小值为
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理与三角恒等变换求得，从而判断A；利用锐角三角形内角的范围判断B；利用正弦定理与倍角公式，结合余弦函数的性质判断C；利用三角恒等变换，结合基本不等式判断D.
【详解】在中，由正弦定理可将式子化为，
又，
代入上式得，即，
因为，则，故，
所以或，即或（舍去），
所以，故A错误；
选项B：因为为锐角三角形，，所以，
由解得，故B错误；
选项C：，
因为，所以，，
即的取值范围为，故C正确；
选项D：
，
当且仅当，即时取等号，
但因为，所以，，无法取到等号，故D错误.
故选：B.
【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13. 已知实数满足，则的最大值为________．
【答案】11
【解析】
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得到答案.
【详解】由约束条件，画出可行域，如图：
令，化为斜截式方程得，
由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大.
由得，即.
所以点代入目标函数可得最大值，即最大值为.
故答案为：11.
14. 交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕锥顶点S滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置时，交通锥筒本身恰好滚动了3周．若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该圆锥的底面半径为cm，则该圆锥的侧面积为______．（交通锥筒的厚度忽略不计）．
【答案】
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为l，根据周长的关系得到方程，解得答案；根据面积的关系得到方程，解得答案.
【详解】解法一：设圆锥的母线长为l，则圆锥绕顶点S滚动所形成的圆的半径为l，周长为．
因为圆锥的底面半径为，所以该圆锥的底面周长为，
故，解得，
所以该圆锥的侧面积为．
解法二：设圆锥的母线长为l，则圆锥绕顶点S滚动所形成的圆的半径为l，面积为．
因为圆锥的底面半径为，所以该圆锥的侧面积为，
故，解得，
所以该圆锥的侧面积为．
故答案为：.
15. 双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，，则该双曲线的离心率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，已知条件为，，设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，这样可由勾股定理求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．
【详解】由题可知共线，共线，
设，，则，
由得，，
又，
所以，，
所以，
所以，
由得，
因为，故解得，
则，
在中，，即，
所以．
故答案为：．
16. 在中，，，，，分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得，，重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意将放到一个长方体内，从而列出相应方程组，求出其外接球的半径，再结合基本不等式从而可求解.
【详解】设，，由题设得，
由题设，三棱锥中，，，
将放在棱长为，，的长方体中，如图，
则有，则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
所以，
由基本不等式，
当且仅当时等号成立，
所以外接球表面积.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要是把放到一个长方体内，从而转化为外接球就是长方体的外接球，由此得到方程组，得到，利用基本不等式得，从而可求解.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 数列的前项和，
（1）求数列的通项公式：
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用得出的递推关系，从而求得通项公式；
（2）利用错位相减法求和．
【小问1详解】
因为，所以当时，，所以，
当时，，所以，
整理可得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.
【小问2详解】
由（1）有，所以，
错位相减可得：
，
令；
错位相减可得：
所以，
所以.
所以.
18. 为了让学生适应陕西“3＋3”的新高考模式，某校在高二期末考试中使用赋分制给等级考科目的成绩进行赋分，先按照考生原始分从高到低按比例划定A＋、A、B＋、B、B－、C＋、C、C－、D＋、D、E共5等11级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A＋和E级排名各占比5%，其余各级排名各占比10%．现从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：
（1）求图中a的值；
（2）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率；
（3）已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的方差．
【答案】（1）
（2）
（3）平均成绩，方差为
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1即可得到答案；
（2）根据分层抽样，计算出每个区间中的人数，结合概率公式即可得到答案；
（3）借助平均数、方差的定义计算即可得到答案.
【小问1详解】
，
解得；
【小问2详解】
由原始分在和中的频率之比为，故抽取的6人中，
原始分在中的有人，记为，原始分在中的有人，记为，
则从6人中抽取2人所有可能的结果有：，
，，共15个基本事件，
其中抽取这2人中恰有一人原始成绩在内的结果有，
，共8个基本事件，
故这2人中恰有一人原始成绩在内的概率为；
小问3详解】
平均成绩，
方差
.
估计落在的成绩的方差为．
19. 如图（1）示，在梯形中， ，，且，如图（2）沿将四边形折起，使得平面与平面垂直， 为的中点．
（1）求证： 面
（2）求证： ；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据线线平行即可求证；
（2）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而由线线垂直证明线面垂直即可求证；
（3）根据等体积法即可求解.
【小问1详解】
∵，，
又∵平面，且平面，
∴平面；
【小问2详解】
∵平面平面，由已知条件可知， ，平面平面，平面，平面，
∴平面平面．
取的中点，连接、，
在中，∵，为的中点，
∴．
在中， ∵
又∵平面平面平面
，又∵平面,
平面，又∵平面
【小问3详解】
由（2）平面平面,
设点到平面的距离为，由得，
故点到平面的距离为.
20. 已知椭圆过点离心率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）当过点M(4，1)的动直线与椭圆C相交于不同的两点A，B时，在线段AB上取点N，满足求线段PN长的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由椭圆的几何性质列方程组求解
（2）由定比分点公式化简得点轨迹方程，由点到直线距离公式求解
【小问1详解】
根据题意， 解得，
椭圆C的方程为
【小问2详解】
设A（，），B（，），N（x，y），
由，
得 ，
∴，
又，
∴，
∴点N在直线上，
∴.
21. 已知函数.（是自然对数的底数）
（1）求的单调递减区间；
（2）记，若，试讨论在上的零点个数.
【答案】（1）
（2）个
【解析】
【分析】（1）求出及函数的定义域，解不等式，可得出函数的单调递减区间；
（2）利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【小问1详解】
解：函数定义域为.
且.
由得，可得，
解得.
所以，函数的单调递减区间为.
【小问2详解】
解：由已知.所以，，
令，则.
因为，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减.
因为，.
当时，，.
所以，存在，使得，
当时，；当时，，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减.
因为，，故函数在上无零点，
又因为，由零点存在性定理可得，则在上有且只有一个零点，
综上所述，当时，函数在上仅有一个零点.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 多样化的体育场地会为学生们提供更丰富的身体锻炼方式.现有一个标准的铅球场地如图，若场地边界曲线M分别由由两段同心圆弧和两条线段四部分组成，在极坐标系中，，A O B三点共线.，点C在半径为1的圆上.
（1）分别写出组成边界曲线M的两段圆弧和两条线段的极坐标方程；
（2）若需设置一个距边界曲线M距离不小于1且关于极轴所在直线对称的矩形警示区域，如图，求警示区域所围的最小面积.
注：，
【答案】（1），，，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据极坐标系中极径和极角的定义即可求解；
（2）求警示区域最小值即让内界线到M距离恰好为1，则矩形长，矩形宽.
【小问1详解】
解：由题意，以O为原点，的垂直平分线为极轴建立极坐标系，
线段，
线段，
弧，
弧；
小问2详解】
解：求警示区域最小值即让内界线到M距离恰好为1，设矩形长为l，
则（包括弧长半径 圆半径 两边距距离），
矩形宽为d，则，，
所以.
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，对任意正实数a，b恒成立，求实数x的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知可得，求解不等式组，即可得到解集；
（2）利用基本不等式求出的最小值，可得出，分类讨论求解不等式的解集.
【小问1详解】
由已知可得，，则，
即，解得，
故解集为.
【小问2详解】
因为，且为正实数，，
当且仅当，即时等号成立.
因为对任意正实数a，b恒成立，
所以，即，即.
当时，不等式化为恒成立；
当时，不等式化为，解得，又，所以不等式解集为；
当时，不等式化为，显然不等式无解.
综上，不等式解集为.
