长沙市第一中学2023-2024学年高一第一学期期末考试
数学
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知空间向量且，，，则一定共线的三点是（ ）
A. A，B，D B. A，B，C
C. B，C，D D. A，C，D
3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
4. 如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（ ）
A. B. C. D.
5 已知下列四组陈述句：
①：集合；：集合；
②：集合；：集合；
③；；
④：；：．
其中是的必要非充分条件的有（ ）
A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③
6. 向量，，那么向量在上投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
7. 浏阳市在全国先行探索高质量发展建设共同富裕示范区，若全市年平均增长率以来计算，全市生产总值翻一番需要经过（ ）（四舍五入，）
A 7年 B. 8年 C. 9年 D. 10年
8. 函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
10. 衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（ ）
A. 点P第一次达到最高点，需要20秒
B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C. 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米
D. 点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为
11. 若a，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 的最小值为4
B. 的最大值为
C. 的最小值为
D. 的最大值是
12. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（ ）
A. 的取值范围是
B. 的图象与直线在上的交点恰有2个
C. 的图象与直线在上的交点恰有2个
D. 在上单调递减
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数满足，又当时，，则__________.
14. 函数的单调递增区间为___________
15. 若，则___________.
16. 借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）.根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于__________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明或演算步骤.
17. 函数（的一条对称轴为直线）.
（Ⅰ）求;
（Ⅱ）用五点法画出函数在上的简图．
18. 已知，，.
（1）求与的夹角和的值；
（2）设，，若与共线，求实数m的值.
19. 已知函数.
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）将的函数图像向左平移个单位后得到的函数是偶函数，求的最小值.
20. 对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点.已知f(x)＝ax2＋1.
（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；
（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2
①求实数a的取值范围；
②设g(x)＝loga[f(x)－x]，求证：g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点.
21. 2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元.
（1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人
（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由.
22. 已知函数（为自然底数）.
（1）判断的单调性和奇偶性；（不必证明）
（2）解不等式；
（3）若对任意，，不等式都成立，求正数的取值范围.长沙市第一中学2023-2024学年高一第一学期期末考试
数学
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式化简集合A，求出函数的值域化简集合B，再利用并集的定义求解即得.
【详解】解不等式，得，即，而，则，
所以.
故选：B
2. 已知空间向量且，，，则一定共线的三点是（ ）
A. A，B，D B. A，B，C
C. B，C，D D. A，C，D
【答案】A
【解析】
【分析】A选项，计算出，A正确；B选项，设，得到方程组，无解；C选项，设，得到方程组，无解；D选项，计算出，设，得到方程组，无解.
【详解】A选项，，所以A，B，D三点共线，A正确；
B选项，设，则，即，无解，B错误；
C选项，设，则，即，无解，C错误；
D选项，，设，
即，即，无解，D错误.
故选：A
3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数平移变换原则直接判断即可.
【详解】，
只需将的图象向右平移个单位长度即可.
故选：B.
4. 如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量加法的三角形法则和四边形法则，可得结果.
【详解】根据题意：
又
所以
故选：C
【点睛】本题主要考查利用向量的加法法则，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，对向量用其它向量表示有很大的作用，属基础题.
5. 已知下列四组陈述句：
①：集合；：集合；
②：集合；：集合；
③；；
④：；：．
其中是的必要非充分条件的有（ ）
A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合间的关系以及不等式的性质判断求解即可.
【详解】①若，则不一定相等，不是充分条件，
若，则一定成立，是必要条件，
所以是的必要非充分条件，故①符合题意；
②若集合，则集合，反之也成立，
所以是的充要条件，故②不符合题意；
③由得不到，
由能得到，
所以是的必要非充分条件，故③符合题意；
④根据不等式的性质由可得，
但由得或，
即由得不到，
所以是的充分不必要条件，故④不符合题意；
故选:D.
6. 向量，，那么向量在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量的坐标运算、投影向量的计算公式即可求解．
【详解】因为，，所以，
则在上的投影向量的模为
，
则在上的投影向量为.
故选：A．
7. 浏阳市在全国先行探索高质量发展建设共同富裕示范区，若全市年平均增长率以来计算，全市生产总值翻一番需要经过（ ）（四舍五入，）
A. 7年 B. 8年 C. 9年 D. 10年
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，结合对数运算法则计算即可得.
【详解】若某年生产总值为，则年后生产总值为，
若市生产总值翻一番，则有，
即
，
故全市生产总值翻一番需要经过大约9年.
故选：C.
8. 函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合题意，结合赋值法得到、、直到得到，结合函数在上为非减函数，即可得.
【详解】令，由，可得，
又，故，
由，故，
令，则，即，
令，有，令，有，
令，有，令，有，
令，有，令，有，
令，有，令，有，
令，有，
令，有，
由，且，
又函数在上为非减函数，
故
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题关键在于结合非减函数的性质，通过赋值法逐步得到，从而得到.
二 多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】分别判断四个选项中的两个向量是否共线得到答案.
【详解】对于A，，，由零向量与任意向量共线，可知两个向量不能作为基底；
对于B，因为，，所以，所以两个向量不共线，可以作为基底；
对于C，因为，，所以，可知两个向量共线，故不可以作为基底；
对于D，由，，得：，可知两个向量共线，故不能作为基底；
故选：ACD
10. 衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（ ）
A. 点P第一次达到最高点，需要20秒
B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C. 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米
D. 点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据题意求出点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式，再从解析式出发求解ABC选项.
【详解】如图所示，过点O作OC⊥水面于点C，作OA平行于水面交圆于点A，过点P作PB⊥OA于点B，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为（），且点P从水中浮现时（图中）开始计时，t（秒）后，可知，又水轮半径为4米，水轮中心O距离水面2米，即m，m，所以，所以，因为m，所以，故，D选项正确；
点P第一次达到最高点，此时，令，解得：（s），A正确；
令，解得：，，当时，（s），B选项正确；
，令，解得：，故有30s的时间点P距水面超过2米，C选项错误；
故答案为：ABD
11. 若a，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 的最小值为4
B. 的最大值为
C. 的最小值为
D. 的最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式依次判断即得.
【详解】由a，，，可得，
对于A，，当且仅当，即取等号，所以，同理，故，故A错误；
对于B，∵，当且仅当，即时取等号，
∴，即的最大值为，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时取等号，故的最小值为，故C正确；
对于D，由题可得，，
∴，
而，当且仅当，即时取等号，
∴，即的最大值是，故D正确.
故选：BCD.
12. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（ ）
A. 的取值范围是
B. 的图象与直线在上的交点恰有2个
C. 的图象与直线在上的交点恰有2个
D. 在上单调递减
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A,确定，根据零点个数确定，求得参数范围；对于B，C，采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D，当时，确定，计算的范围，从而确定在上单调性.
【详解】当时，，因为在上有且仅有4个零点，
所以，解得，故A正确；
又由以上分析可知，函数在上有且仅有4个零点，
且，则在上，出现两次最大值，
此时函数的大致图象如图示：
即在上两次出现最大值1，即取时，取最大值，
故的图象与直线在上的交点恰有2个，故B正确；
由于当时，，，
当时，取最小值 ，由于是否取到不确定，
故的图象与直线在上的交点可能是1个或2个，故C错误；
当时， ，
因为，所以，，
故的值不一定小于，
所以在上不一定单调递减.
故选：AB.
【点睛】本题考查了复合型余弦函数的解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题，综合性强，计算量大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答，关键是整体代换思想的应用.
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数满足，又当时，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由可得函数的周期为，可得，即可得解.
【详解】由，故函数的周期为，
，
有，即，故，
即，故.
故答案为：.
14. 函数的单调递增区间为___________
【答案】
【解析】
【分析】利用正切型函数的单调性可求得函数的单调递增区间.
【详解】对于函数，由，
可得，
所以，函数的单调递增区间为.
故答案为：.
15. 若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】由，结合诱导公式，倍角公式求解即可.
【详解】故答案为：
【点睛】本题主要考查了诱导公式和倍角公式化简求值，属于中档题.
16. 借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）.根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，结合题意可得，当越来越大时，会无限趋近于，会无限趋近于，即可得解.
【详解】，
由越来越大时，会无限趋近于，
故越来越大时，会无限趋近于，则会无限趋近，
又越来越大时会无限趋近于，故会无限趋近于，
故会无限趋近于.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题关键在于将转化为，通过越来越大，会无限趋近于，可得越来越大，亦会无限趋近于.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明或演算步骤.
17. 函数（的一条对称轴为直线）.
（Ⅰ）求;
（Ⅱ）用五点法画出函数在上的简图．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）图象见解析
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据函数的一条对称轴为直线，可得，再由，即可求出结果.
（Ⅱ）用描点连线的方法可直接作出函数图象.
【详解】（Ⅰ）因为函数的一条对称轴为直线，
所以，因此，
又，所以
（Ⅱ）函数在上的简图如下：
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，熟记三角函数的性质即可，属于基础题型.
18. 已知，，.
（1）求与的夹角和的值；
（2）设，，若与共线，求实数m的值.
【答案】（1）与的夹角为，；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据求出，根据数量积关系求出夹角，求出模长；
（2）根据共线定理必存在使得：，求解参数.
【详解】（1），，，
，
，
所以，
所以与的夹角为，
；
（2）由（1）可得：与不共线，
，，若与共线，
则必存在使得：，
所以，
得.
【点睛】此题考查向量的数量积运算，根据数量积关系求向量夹角和模长，利用平面向量基本定理结合向量共线求参数的值.
19. 已知函数.
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）将的函数图像向左平移个单位后得到的函数是偶函数，求的最小值.
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）首先化简，再求函数的周期和最大值；
（2）平移后的函数，若函数是偶函数，则是函数的对称轴，求参数的取值范围。
【详解】解：（1）由题意：
由此可得：，
（2）由题意可知：
因为为偶函数，所以当时，
，又因为，所以当时，的最小值为
【点睛】本题考查三角函数恒等变换，三角函数的性质和利用函数性质求参数的取值范围，意在考查公式的灵活应用和函数性质的综合应用，属于基础题型.
20. 对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点.已知f(x)＝ax2＋1.
（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；
（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2.
①求实数a的取值范围；
②设g(x)＝loga[f(x)－x]，求证：g(x)(a，＋∞)上至少有两个不动点.
【答案】（1）－1和；（2）①；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）直接利用不动点的定义，解方程f(x)＝x即可；
（2）①根据不动点的定义，ax2－x＋1＝0的两根满足x1＜2＜x2，利用零点存在定理得到a(4a－1)＜0，求参数的范围；②设p(x)＝ax2－x＋1，根据题意说明设p(x)＝0有两个不等实根m、n，不妨设m说明h(x)的图象在[n，]上的图象是不间断曲线，利用函数的单调性，推出g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点.
【详解】（1）当a＝－2时，f(x)＝－2x2＋1.方程f(x)＝x可化为2x2＋x－1＝0，解得x＝－1或x＝，
所以f(x)的不动点为－1和.
（2）①因为函数f(x)有两个不动点x1，x2，所以方程f(x)＝x，即ax2－x＋1＝0的两个实数根为x1，x2，
记p(x)＝ax2－x＋1，则p(x)的零点为x1和x2，因为x1＜2＜x2，所以a·p(2)＜0，
即a(4a－1)＜0，解得0＜a＜.所以实数a的取值范围为
②因g(x)＝loga[f(x)－x]＝loga(ax2－x＋1).
方程g(x)＝x可化为loga(ax2－x＋1)＝x，即
因为0＜a＜，△＝1－4a＞0，设p(x)＝ax2－x＋1，所以p(x)＝0有两个不相等的实数根.
设p(x)＝ax2－x＋1＝0的两个实数根为m，n，不妨设m＜n.
因为函数p(x)＝ax2－x＋1图象的对称轴为直线x＝，p(1)＝a＞0，＞1，p()＝1＞0，
所以1＜m＜＜n＜.
记h(x)＝ax－(ax2－x＋1)，因为h(1)＝0，且p(1)＝a＞0，所以x＝1是方程g(x)＝x的实数根，
所以1是g(x)的一个不动点h(n)＝an－(an2－n＋1)＝an＞0，因为0＜a＜，所以＞4，h()＝a－1＜a4－1＜0，
且h(x)的图象在[n，]上的图象是不间断曲线，所以x0∈(n，)，使得h(x0)＝0，
又因为p(x)在(n，)上单调递增，所以p(x0)＞p(n)＝0，所以x0是g(x)的一个不动点，
综上，g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点.
【点睛】利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
21. 2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元.
（1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人
（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由.
【答案】（1）100 （2）存在，
【解析】
【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解；
（2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果.
【小问1详解】
依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元,
则 ,
整理得 , 解得 ,
因为 且 , 所以 , 故 ,
所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资,
调整后的研发人员的人数最少为 100 人.
【小问2详解】
由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，
得 ,
整理得 ;
由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得
假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件,
即 恒成立，
因为 ,
当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 ,
又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以
所以 , 即 ,
即存在这样的 满足条件, 其范围为 .
22. 已知函数（为自然底数）.
（1）判断的单调性和奇偶性；（不必证明）
（2）解不等式；
（3）若对任意，，不等式都成立，求正数的取值范围.
【答案】（1）在R上单调递增，奇函数
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性、单调性定义判断的单调性和奇偶性；
（2）由（1）中所得单调性可得，利用一元二次不等式、指数不等式的解法即可求解集.
（3）由题设及单调性、奇偶性可得，根据、以及基本不等式，将问题转化为，应用换元法及对勾函数的性质求左侧最小值，进而求得正数的范围.
【小问1详解】
由函数定义域为R，
令，则，
由，则，故在R上单调递增.
又，故奇函数.
【小问2详解】
由题设，，又单调递增，
所以，整理得，解得，
所以，故不等式解集为.
【小问3详解】
由题设及单调性知：，
整理得，
又且、，则恒成立，
又，当且仅当时等号成立，则，
由上，只需，
由，令，则，
所以，
令，则，又在上递增，
综上，，即，
所以，解得.
【点睛】关键点点睛：第三问，依据的单调性和奇偶性及基本不等式，将问题转化为，应用换元法、对勾函数的性质求左侧最小值即可求参数范围.
