寒假预习课：第九章整式乘法与因式分解2023-2024学年数学七年级下册苏科版（含解析）

寒假预习课：第九章整式乘法与因式分解2023-2024学年数学七年级下册苏科版
一、单选题
1．把加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，在下列单项式：中，符合条件的有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
2．若，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．9
3．若是完全平方式，则（ ）．
A．12 B．6 C． D．
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果能被整除，则（ ）．
A． B．8 C．7 D．
6．一定能够整除任意两个奇数的平方差的数最大是（ ）．
A．2 B．4 C．8 D．16
7．阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以． 请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
8．已知，则的值（ ）．
A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是正数 D．不能确定
二、填空题
9．分解因式： ．
10．计算： ．
11．若是正整数，且，则的最小值是 ．
12．已知a、b为正整数，且满足，则满足条件的有序实数对的组数是 ．
13．若，则 ．
14．若n满足，则 ．
15．已知，则 ．
16．计算： ．
三、解答题
17．分解因式：
(1)
(2)
18．（1）若．求和的值．
（2）若，求的值．
19．若，求的值．
20．已知：a、b、c为互不相等的数，且满足，求证：．
21．综合与实践
特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法，综合实践课上田老师展示了如下例题：
例：已知多项式有一个因式是，求m的值．
解：由题意，设（A为整式），
由于上式为恒等式，为了方便计算，取，
则，解得__■__．
(1)“■”处m的值为______；
(2)已知多项式有一个因式是，求b的值；
(3)若多项式有因式和，求a，b的值；
22．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______；
(2)解决问题：如果，，求的值；
(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方式的情况只有和两种，即可作出判断，解题的关键是正确理解两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，注意积的倍的符号，
【详解】解：由，则加上可以成为一个完全平方式；
由，则加上可以成为一个完全平方式；
由，则加上可以成为一个完全平方式；
由，则加上可以成为一个完全平方式；
由，，则加上可以成为一个完全平方式；
∴符合条件的有，，，，，共个，
故选：．
2．A
【分析】本题考查了求代数式的值．对所求式子因式分解，再整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴原式，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可．
【详解】解：由题意，是完全平方式，
得：，
所以．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查因式分解．利用提公因式法或公式法对每个选项中的式子进行因式分解，进而可作出判断．
【详解】解：A、，原分解错误，本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，原分解错误，本选项符合题意；
D、，原分解错误，本选项不符合题意；
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了因式分解，整式的除法，根据题意设商为，则，整理得，，则，进行计算可得a，b的值，即可得答案，正确求出m的值，掌握因式分解，整式的除法是解题的关键．
【详解】解：设商为，
则，
整理得，，
∴
解得，
则，，
∴，
故选：D．
6．C
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用．设任意两个奇数分别为，可得，设为偶数．可得中一定含有因数8，但不一定含有因数16，即可求解．
【详解】解：设任意两个奇数分别为，
，
∵与奇偶性相反，
∴可设为偶数．
∵偶数的最小为2，
∴中一定含有因数8，但不一定含有因数16，
∴一定能够被8整除，但不一定能被16整除．
即一定能够整除任意两个奇数的平方差的数最大是8．
故选：C
7．B
【分析】本题考查完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
故选B．
8．B
【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式．此题可直接用多项式M减去多项式N，然后化简，最后把得出的结果与零比较确定的正负．
【详解】解：∵，
∴
．
故选：B
9．
【分析】本题主要考查提公因式法以及用平方差分解因式，先利用平方差公式分解，再提取公因式即可得出答案．
【详解】解：原式
．
10．/
【分析】本题主要考查了完全平方公式．根据完全平方公式原式可变形为，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
11．98
【分析】本题主要考查了因式分解、有理数乘方等知识点，掌握因式分解的应用是解题的关键．
先将756因式分解，然后表示出a的最小值即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
．
故答案为98．
12．4
【分析】本题主要考查因式分解的应用，将变形为，
根据a、b为正整数得，再分类讨论即可求解
【详解】解：∵，
∴，
又a、b为正整数，
∴，
，共4组，
即有序实数对共有4组．
13．/
【分析】根据非负数的性质求出．再把字母的值代入进行求解即可，此题考查了求代数式的值、完全平方公式和非负数的性质，求出字母的值是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
∴
，
故答案为：
14．
【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，先求出，根据完全平方公式得，再用整体代入法即可求出的值，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．
【详解】解：，
，
，
又，
，
，
故答案为：．
15．14
【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．由可得，然后把原式变为求解即可．
【详解】解：由可得，
则
．
故答案为：14．
16．
【分析】本题考查了有理数的混合运算，设，利用整体思想进行简便运算是解题关键．
【详解】解：设，
原式
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，掌握各分解方法是解题关键．
（1）综合提公因式和公式法分解因式即可求解；
（2）综合提公因式和公式法分解因式即可求解．
【详解】（1）解：原式
·
（2）解：原式
18．（1），4；（2）
【分析】本题考查了求代数式的值、完全平方公式、同底数幂的乘法．
（1）利用完全平方公式变形求值即可求解；
（2）利用同底数幂的乘法法则得到，求得的值，再对所求式子化简整理，再整体代入求解即可．
【详解】解：（1），
，
；
（2），
，
，
整理，得，
解得．
又，
当时，原式．
19．5009
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据已知条件式得到，，再把原式变形为，进一步变形为，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即
∴
．
20．见解析
【分析】本题考查了完全平方公式的应用；根据完全平方公式计算，将，代入，即可求解．
【详解】证明：∵，
∴
∴，即：．
21．(1)24
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了因式分解的应用：
（1）解方程可得出m的值；
（2）依照示例即可求出b的值；
（3）依题意设：，先取，得，再取，得，由此可解出a，b的值．
【详解】（1）解：，
，
∴，
故答案为：24；
（2）解：设，
令，则有：，
解得，；
（3）解：依题意设：，
由于上式是恒等式，为方便计算，
取，得：，即，
取，得：，即，
解方程组，
得，．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）分别用大正方形边长的平方、4个图形的面积之和两种不同的方法表示大正方形的面积，二者相等即可得到一个等式；
（2）将等号两边同时平方，根据（1）中得到的等式求解即可；
（3）设，，则，求出即可得解．
【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，
，
故答案为：；
（2）解：，，
；
（3）解：设，，
长方形的两邻边分别是，
，
，
，
，
这个长方形的面积．
答案第1页，共2页
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