寒假预习课：第九章中心对称图形-平行四边形2023-2024学年数学八年级下册苏科版（含解析）

寒假预习课：第九章中心对称图形-平行四边形2023-2024学年数学八年级下册苏科版
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C．D．
2．如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（ ）．

A．点G B．点H C．点I D．点J
3．如图，，，为中点，长为1的线段（点在点的下方）在直线上移动，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，点E是边上的中点，将沿翻折得，连接，A、G、E在同一直线上，则点G到的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，对角线与相交于点O，则下列结论错误的是（ ）
和平行且相等 B．
C． D．
6．如图，正方形的边长为15，，，连接，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　）
A．① B．② C．②或③ D．①或③
8．如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在中，，分别是的高和中线，如果，那么的度数等于 ．
10．如图，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰，当，时，则的长为 ．

11．如图，在中，于点，分别为的中点．，则的周长是 ．
12．如图①，矩形中，动点P从点B出发，沿运动，至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，y关于x的函数图象如图②所示，则点P运动到点C时，的长为 ．

13．如图，在一张矩形纸片中，点分别在上，将纸片沿直线折叠，点落在上的点处，点落在点处，连接，．若，则 ．
14．如图，在中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则 ．
15．如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 .
16．如图，四边形中，，，且，以，，为边向外作正方形，其面积分别为，，．若，，则的值为 ．
三、解答题
17．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且．

(1)求证：平行四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
18．如图，在平行四边形中，，，． 动点从点出发沿以2cm/s速度向终点运动，同时点从点出发，以8cm/s速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒（）
(1)的长为 ．
(2)用含的代数式表示线段的长．
(3)连结．是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
19．如图，在长方形纸片中，，，将纸片按如图所示的方式折叠，使点与点重合，折痕为．
(1)求证：；
(2)求和的长．
20．如图1，A，B分别在射线，上，且为钝角，现以线段，为斜边向的外侧作等腰直角三角形，分别是，，点C，D，E分别是，，的中点，平行且等于，平行且等于．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，延长，交于点，若，求证：为等边三角形；
21．如图，，点A是射线上一点，过点作的平行线，交的平分线于点B．点C是线段上一点（点C不与点O、B重合），连接，将线段绕点顺时针旋转的度数，得到线段，连接．
(1)求证：．
(2)求的度数．
(3)设，当为钝角三角形时，直接写出的取值范围．
22．如图1，在中，于，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)已知，动点从点出发以的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同的速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设运动时间为．若的边与平行，求的值；
(3)在（2）的条件下，设的垂直平分线交于点，利用图3及备用图分析：在点运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义；根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解；
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、 是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查中心对称的图形的对称中心，掌握两组对应点连线的交点即是对称中心是解题的关键．
根据对称中心的确定方法即可解答．
【详解】解：如图，连接，它们的相交点，即为对称中心．

则线段与线段的对称中心为点I．
故选：C．
3．B
【分析】如图，作点关于的对称点，作，使得，连接交于，在的延长线上，取点，使得，连接．，此时的值最小．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，作，使得，连接交于，在的延长线上，取点，使得，连接．，此时的值最小．
，，
四边形是平行四边形，
，
，关于对称，
，
，
，
此时的值最小，最小值，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称添加辅助线，构造特殊四边形解决最短问题，属于中考常考题型．
4．D
【分析】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明，可得，然后利用勾股定理可得求出的长，进而可得的值．
【详解】解：如图，作于点F，
∵点E是边上的中点，
∴，
由折叠可知：，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵于点F，
∴，
在和中，
根据勾股定理，得，即，
解得，
∴=，
∴，
故选D．
5．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边行的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴和平行且相等，，，故A，B，C正确；
∵与不一定相等，故C错误．
故选C．
6．D
【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，延长交于点，先利用勾股定理的逆定理证，，再证得，进而可得，，由此可得，进而得，，，据此得，，然后在中由勾股定理可求出的长．
【详解】延长交于点，如图：
四边形为正方形，边长为15，
，，
，，，
，，
，
即为直角三角形，则，
同理：，
在和中，
，
，
，
，，
，，
又，，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，
同理：，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了图形的变换：平移、旋转与轴对称；逐项作出变换后的图形即可作出判断．
【详解】解：①如图1，作关于x轴的轴对称图形，然后再向左平移4个单位即得到；
②如图2，以点O为中心顺时针旋转得到，向左平移2个单位不能得到；
③如图3，以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位不能得到；
故只有变换①能使变成；
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定和全等三角形的性质与判定，连接，先根据平行四边形的性质得到，，再证明，得到，则可判定四边形为平行四边形，则，再证明四边形为平行四边形，得出，最后阴影部分的面积即可求解，熟练运用平行四边形的性质与判定和全等三角形的性质与判定进行证明与计算是解题的关键．
【详解】解：连接，如图，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，即，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积，
故选：．
9．/55度
【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，求出，由直角三角形的性质得到，因此，即可求出．本题考查直角三角形斜边的中线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质．
【详解】解：∵，分别是的高和中线，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查三角形全等的性质与判定，勾股定理，先证，再在中用勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：连接，
∵与是等腰三角形，
∴，，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，

故答案为：．
11．
【分析】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
由题意知，是的中位线，则，由，为的中点，可得，根据的周长为，计算求解即可．
【详解】解：∵分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，矩形的性质，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度是本题的关键．
连接，根据题意可得，，再根据矩形的性质和勾股定理可得的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接，

根据函数图象可得：，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
当点P运动到点C时，，
∴点P运动到点C时，的长为 ．
故答案为： ．
13．
【分析】本题考查的是翻折变换的性质和勾股定理的应用，由折叠性质可知，，，，，，证明，得到点，，三点共线，由求出，，最后由勾股定理即可求解，掌握翻折变换的性质、找出对应线段是解题的关键．
【详解】解：由折叠性质可知，，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点，，三点共线，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
14．10
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是判定是等腰直角三角形．根据，，可得，再根据，，即可得到，依据，，即可得到是等腰直角三角形，进而得到，问题得解．
【详解】解：，，
，
又，，
，
又，，
，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：10
15．
【分析】连接，过A作于M；由题意得，则可求得的长，从而由勾股定理求得；由三角形中位线定理得，当G与C重合时，最长；当G与M重合时，最短，从而可求得的最大值与最小值的差．
【详解】解：如图，连接，过A作于M；
则；
∵四边形是平行四边形，且，
∴，
∴；
∴；
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
由勾股定理得；
∵点为的中点，点为的中点，
∴；
当G与C重合时，最长且为，此时；
当G与M重合时，最短且为，此时；
∴的最大值与最小值的差为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理．连接利用三角形中位线定理是关键．
16．12
【分析】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，过作交于点，则，依据四边形是平行四边形，即可得出，，再根据勾股定理，即可得到，进而得到的值．熟练勾股定理的应用是解题的关键。
【详解】解：如图，过作交于点，则，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据证明得，再由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，设，则，然后在和中，由勾股定理得出方程，解得，即可解决问题．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在和中，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
∴，
即的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
18．(1)
(2)或
(3)存在，
(4)或
【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意可得，先求出当点Q与点B重合时，所花费的时间，再根据题意分两种情况讨论即可：当点Q在线段上时和当点Q在线段的延长线上时；
（3）连接，假设与互相平分，则可得四边形是平行四边形，进而可得，解得即可到答案；
（4）根据题意分两种情况讨论即可：当点P关于直线对称的点落在点A下方时和当点P关于直线对称的点落在点A上方时．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
（2）在中，，，
由题意得，，
当点Q与点B重合时，，
∴，
当点Q在线段上时，，
当点Q在线段的延长线上时，，
综上所述，或；
（3）存在，理由如下：
如图，连接，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴当时，与
（4）当点P关于直线对称的点落在点A下方时，如图，
由对称得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得；
当点P关于直线对称的点落在点A上方时，如图，
由对称得，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用和动点问题，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
19．(1)，证明见解析
(2)，
【分析】（1）根据折叠的性质，可得，由长方形可得，，利用等边对等角，即可得出，（2）设的长度为，为，在中应用勾股定理，列出一元二次方程，即可求出的长度，过点作，在中应用勾股定理，即可求出的长度．本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是，熟练应用折叠的性质及勾股定理，表示出线段的长度，列出等量关系式．
【详解】（1）根据折叠的性质，可得，
是长方形，
，
，
，
，
（2）设，则，
在中，
，即：，
解得：，
，
过点作，垂足为，
由（1）可知，，
又，，
，，
，
在中，
，即，
解得：，（舍），
故答案为：，．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）本题根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和中点的定义，得到线段的关系，即可解题．
（2）本题根据题意证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形性质得到，，，即可证明．
（3）本题连接，根据线段垂直平分线的判定和性质得到，可证明，得到，同理可得，根据，算出，得到，最后根据等边三角形的判定定理证明即可．
【详解】（1）证明：为等腰直角三角形，点C是的中点，
，，
．
（2）证明：平行且等于，平行且等于，
四边形为平行四边形，
，
为等腰直角三角形，点C是的中点，
，，
，
同理可证，，，
，即，
．
（3）证明：连接，如图所示：

，为等腰直角三角形，点C，D分别是，的中点，
与分别为，的垂直平分线，
，
，，
，
，
同理可证，，
，，
，
，
为等边三角形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、等腰三角形形的性质和判定、等边三角形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂直平分线性质和判定、全等三角形的性质和判定、解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．
21．(1)详见解析
(2)30°
(3)或
【分析】（1）先根据角平分线的定义推出，然后根据平行线的性质推出，等量代换推出，根据等角对等边即可得证；
（2）根据旋转角推出，结合，用判定后根据全等三角形的对应角相等推出即可求出结果；
（3）分两种情况：①是钝角；②是钝角．分别求出两种情况下的取值范围即可．
【详解】（1）证明：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）由旋转可得：，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
①当为钝角时，，
解得：，
∵是的一个外角，
∴，
②当为钝角时，，
解得：．
当点C与点B重合时，，
综上所述，当为钝角三角形时，的取值范围为或．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，角平分线定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形的分类，深入理解题意是解决问题的关键．
22．(1)见解析
(2)2.5或3
(3)能，t值为4.5或5或
【分析】（1）设，，，则，由勾股定理求出，即可得出结论；
（2）由的面积求出、、、的长；①当时，；②当时，；得出方程，解方程即可；
（3）由勾股定理可得，根据题意得出当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能：①；②；③；分别得出方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：设，，，则，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，而，
，
则，，，，
由题意得：
若的边与平行，存在以下两种情况：
①当时，如图2，，，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图3，同理得：，
，
，
若的边与平行时，值为2.5或3；
（3）解：能成为等腰三角形；
是的垂直平分线，，
，，
，
∴，
，
是的中位线，
，
由勾股定理得：，
①当时，是等腰三角形，
，
；
②当时，如图5，是等腰三角形，此时与重合，
；
③当时，是等腰三角形，
如图6，过点作于，交于，连接，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
由勾股定理得：，
设，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
综上，的值是或5或．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，完全平方公式，线段垂直平分线的性质，三角形的中位线定理，解方程等知识，本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．
答案第1页，共2页
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