宜宾六中2023年秋期高三期末考试
理科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．甲、乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：
下列说法正确的是（ ）
A．甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小
B．甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小
C．甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小
D．甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大
4．记为等差数列的前项和，，则（ ）
A．24 B．42 C．64 D．84
5．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（ ）
A． B． C． D．
6．的展开式中，项的系数为（ ）
A．1 B．6 C．20 D．15
7．在中，若，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数在上存在极小值点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
9．甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（ ）
A．420 B．460 C．480 D．520
10．如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，且，，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某校高三年级进行了高考适应性测试，考生的数学成绩（满分为150分）服从正态分布，且成绩位于分的人数，成绩低于80分或高于100分的人数，成绩低于100分的人数构成等差数列，现从所有考生中任选一人，其数学成绩高于100分的概率为 ．
14．若函数是偶函数，则实数的值为 ．
15．如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为 ．
16．已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．(12分)已知数列的前n项和为，，且数列为等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)定义：表示不超过x的最大整数．设，求数列的前114项和．
18．(12分)如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面．
(1)求证：；
(2)若，在棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19．(12分)某游戏游玩规则如下：每次游戏有机会获得5分，10分或20分的积分，且每次游戏只能获得一种积分；每次游戏获得5分，10分，20分的概率分别为，三次游戏为一轮，一轮游戏结束后，计算本轮游戏总积分．
(1)求某人在一轮游戏中，累计积分不超过25分的概率（用含的代数式表示）；
(2)当某人在一轮游戏中累计积分在区间内的概率取得最大值时，求一轮游戏累计积分的数学期望．
20．(12分)已知椭圆：（），直线：过的右焦点，椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的2倍.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，，，是椭圆上不同于，的两点（其中在轴上方），若直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求四边形面积的最大值.
21．(12分)已知函数．
(1)若，，求实数a的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：．
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若，直线与曲线交于两点，求的值.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
(1)求的最小值，并指出此时的取值范围；
(2)证明：等价于.宜宾六中2023年秋期高三期末考试
理科数学参考答案
1．C 2．D 3．C 4．B 5．A 6．D 7．D 8．B 9．C 10．A 11．B 12．B
13． 14． 15． 16．
17．解:（1）由数列为等差数列，且，，可得：数列的首项为：，公差为：，
故其通项为：，即：①，当时，②，
由①-②可得：，整理得：③，
当时，④，
由③-④可得：，
即：，故数列为等差数列，
因，其公差为，则.
（2）由（1）得：，而，易得，
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：，
故得：.
18．（1）在三棱柱中，由平面，平面，得，
在平面内过作于，由平面平面，平面平面，
得平面，而平面，则有，
显然平面，因此平面，又平面，
所以.
（2）过点作，由，得，
由（1）知平面，平面，则，即直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，，
假定在棱上存在一点，使二面角的余弦值为，
令，则，，
设平面的一个法向量，则，
令，得，显然平面的一个法向量，
依题意，，解得，即，
所以在棱上存在一点，使二面角的余弦值为，.
19．（1）某人在一轮游戏中，累计积分不超过25分的情况为：
①三次游戏都获得5分；②两次游戏获得5分，一次游戏获得10分；③一次游戏获得5分，两次游戏获得10分；所以其概率为：.
（2）依题意，记一轮游戏累计积分为，
而某人在一轮游戏中累计积分在区间内的情况有分和分两种情况，
则，，
记某人在一轮游戏中累计积分在区间内的概率为，
则，，
则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调减；所以当时，取得最大值；
此时每次游戏获得5分，10分，20分的概率分别为，
由题意可知的所有可能取值为，
，，
，，
，，
，，
，
则的数学期望为
.
20．（1）设椭圆的焦距为，直线恒过点，所以.
椭圆的下顶点到直线的距离，
由题意得，解得.椭圆的标准方程为.
（2）由题意，设直线的斜率为（），即直线的方程为，
联立直线与椭圆方程，化简整理得，，
设，由韦达定理得，即，，
直线的斜率等于直线的斜率的2倍，直线的方程为，
设，同理得，，
则四边形的面积
，
令，则，当且仅当等号成立，
则，故的最大值为.
21．（1）依题意，.
①当时，在上，所以在上单调递减，
所以，所以不符合题设.
②当时，令，得，解得，，
所以当时，所以在上单调递减，
所以，所以不符合题设.
③当时，判别式，所以，
所以在上单调递增，所以.
综上，实数a的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极大值点，是的极小值点.
由（1）知，，，则.
综上，要证，只需证，
因为
，
设，.
所以，
所以在上单调递增，所以.
所以，即得成立．
所以原不等式成立.
22．（1）直线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为.
曲线的极坐标方程为.转换为直角坐标方程为.
（2）把直线的参数方程转换为标准式为（为参数），
代入，得到：，所以，，
所以.
23．（1），画出的图象如下图所示，
由图可知，的最小值为，对应.
（2）由，得或，
解得或，
结合图象可知的解集为.
而，，
所以不等式的解集为.
所以等价于.
