2023-2024学年四川省宜宾市普通高中高二上学期学业质量监测数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省宜宾市普通高中高二上学期学业质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若直线与直线相互平行，则的值为
( )
A. B. C. D.
3.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为则密码被成功破译的概率为
( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的前项和为，，若，则( )
A. B. C. D.
5.袋子中装有个大小质地完全相同的球，其中个白球，个红球，从中不放回地依次随机摸出个球．记事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”，事件“两个球颜色相同”
( )
A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件独立
C. 事件与事件对立 D. 事件包含事件
6.已知棱长为的正方体，点满足，则到的距离为
( )
A. B. C. D.
7.双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且则的面积为
( )
A. B. C. D.
8.已知是圆上的动点，且．是圆的动点，则的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则
( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则向量在向量上的投影向量
10.已知事件且，则下列结论正确的是
( )
A. 若则
B. 若互斥，则
C. 若相互独立，则
D. 若相互独立，则
11.已知圆，，则
( )
A. 在圆上存在点，使得
B. 在圆上存在点，使得点到直线的距离为
C. 在圆上存在点使得
D. 在圆上存在点，使得
12.已如抛物线的点为，直线与交于两点、则下对说法正确的是
( )
A. 为坐标原点，则面积的最小值为．
B. 若，则．
C. 设，的最小值为．
D. 过分别作直线的垂线，垂足分别为则．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列的前项和，则
14.在棱长为的正四面体中，为的中点，则．
15.过定点的直线与过定点的直线交于，则
16.已知是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆过点，且圆心在直线上，
求圆的方程：
过作圆的切线，求切线方程
18.本小题分
已知数列的前项和为，且是公差为的等差数列，
求的通项公式
设，求数列的前项和为．
19.本小题分
某企业在招聘员工时，应聘者需要参加测试，测试分为初试和复试，初试从道题中随机选择道题回答，每答对题得分，答错得分，初试得分大于或等于分才能参加复试，复试每人回答两道题，每答对一题得分，答错得分．已知在初试道题中甲有道题能答对，乙有道题能答对；在复试的两道题中，甲每题能答对的概率都是，乙每题能答对的概率都是
求甲、乙两人各自能通过初试的概率；
若测试总得分大于或等于分为合格，请问：在参加完测试后，甲、乙合格的概率谁更大
20.本小题分
已知点在抛物线上，斜率为的直线与交于两点，记直线的斜率分别为
证明：为定值：
若，求的面积．
21.本小题分
如图，在三棱柱中，四边形是菱形，分别是的中点，平面，．
证明：
若，点到平面的距高为求直线与平面所成角的正弦值．
22.本小题分
已知双曲线的渐近线方程为，点在上．
求的方程．
设是双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点试探究：是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的 斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解．
点睛：本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．
【详解】由直线，
则，
设直线的倾斜角为，
所以，
所以．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】利用直线平行的条件即得．
【详解】两条直线平行，所以，
可得．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】密码被成功破译的对立事件是两人都没有破译，利用概率公式计算即可．
【详解】设甲破译密码为事件，乙破译密码为事件，则有，
则密码被成功破译的概率．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】由可得，进而可求出公比的值，即可求的值．
【详解】根据已知，
，
又，所以 解得．
所以，所以．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据给定条件，利用列举法，结合古典概率逐项判断即得．
【详解】两个白球记为，两个红球记为，不放回依次取出两球的试验的样本空间
，共个样本点，
事件，，，，
由，得事件与事件不互斥，不对立，AC错误；
，显然，事件与事件不独立，B错误；
显然， D正确．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】过点作平面于点，过作于点，连接，则为所求，再根据条件即可求解．
【详解】如图，过点作平面于点，过作于点，连接，因为平面，又平面，所以，又，，面，所以面，
又面，所以，即线段的长即为点到直线的距离，因为正方体的棱长为，且，延长交于，
则，得到，所以，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】由双曲线的定义结合，解得，又，可求的面积．
【详解】因为双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，
由，又有，所以．
由，为等腰三角形，则底边上的高，
．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】根据，由弦长公式求得圆心到的距离，设中点为，求出点的轨迹为圆，从而由化简得，转化成两圆上的点间的距离问题即可求解．
点睛：本题属于圆与平面向量结合的问题，由圆的弦长先求出弦的中点轨迹也为圆，再由平面向量加法运算进行转化，从而转化为两圆上的点的距离问题．
【详解】设中点为，
则由得，，
即点的轨迹方程为．
，
由于点在圆上，
所以，
所以，
即，
所以．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】代入的值，得到向量的坐标，利用向量的坐标运算，判断向量的平行垂直，求向量夹角的余弦和投影向量的坐标．
【详解】向量
若，则，，所以，选项正确；
若，，，不满足则，选项错误；
若，，则，选项正确；
若，，则向量在向量上的投影向量：
，选项正确．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】根据互斥事件与相互独立事件的概念及概率公式判断．
【详解】若，则，，
所以， A错误；
B.若互斥，则， B正确；
C.若相互独立，则， C错误；
D.若相互独立，则与，与也相互独立，
，同理， D正确．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】求出判断；根据到直线的距离判断；转化为两圆的位置关系判断；求出垂直平分线与圆的交点判断．
【详解】由可得，圆心，半径，
对于，因为，
所以，，所以在圆上存在点，使得，正确；
对于，的方程为，即，到的距离为，
到直线的距离，而，
所以在圆上存在点，使得点到直线的距离为，正确；
对于，以为直径端点的圆，
圆心，半径，，两圆外离，两圆没有交点，
所以在圆上不存在点使得，错误；
对于，垂直平分线方程为，直线与圆相交，
有两个交点，但是若为，时，，所以在圆上不存在点，使得，错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】设，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理可得，求出原点到直线的距离可得，再根据的范围求最小值可判断；根据可得代入，解得可得可判断；求出、可得，再利用基本不等式求最值可判断，求出，可判断．
方法点睛：圆锥曲线与直线的问题的考查，常用设而不求思想，通常设出直线方程和交点坐标，联立曲线方程消元，利用韦达定理表示题设及所求，然后化简整理进行求解．
【详解】对于，，不妨设，
由得，所以，，
，
原点到直线的距离为，当时，
，则面积的最小值为，故 A正确；
对于，若，则，
可得代入，解得
则，故 B正确；
对于，设，，，
，
当且仅当即等号成立，故 C错误；
对于，，
，
，
则，故 D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式及性质计算即得．
【详解】在等差数列中，，解得，又，
又，所以．
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】利用空间的基底表示，再利用向量数量积运算律计算即得．
【详解】在棱长为的正四面体中，为的中点，
则，而，
所以
．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】先确定和，由于两直线垂直，所以．
【详解】由题意可得：，则，
由，则，
当时，两直线垂直，
当时，两直线斜率之积等于，
直线和直线垂直，
则．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】设，，根据条件建立方程，整理得到，再利用方程有解，即可求出结果．
【详解】如图，设，，
易知，，则
由题知，所以，
整理得到，由，得到，即，
又，所以，
故答案为：．
17.【答案】解：由圆过点，得点在线段的中垂线上，又点在直线上，因此点，半径，
所以圆的方程方程为．
直线过点，而圆心到直线的距离为，直线与圆相离，因此过的圆的切线斜率存在，设方程为，
即，
由，解得或，直线方程为或，
所以所求切线方程为或．

【解析】根据给定条件，求出圆心的坐标及半径即可．
设出切线方程，借助点到直线距离公式计算即得．
18.【答案】解：依题意，，
所以，，
，
由得：，即，
所以，
所以，
所以．
因为，
所以．

【解析】由等差数列通项公式可得，从而求得，则，可解；
由裂项相消法求和．
19.【答案】解：由题意得，甲能通过初试概率，
乙能通过初试的概率．
甲初试若得分要合格复试答对道或道，初试若得分要合格复试答对道，
故甲合格的概率．
乙要合格，需初试合格且复试答对道，
故乙合格的概率．
，所以甲合格的概率更大．

【解析】由选题的情况，利用古典概型求甲、乙两人各自能通过初试的概率；
根据初试得分，结合合格所需复试得分，计算合格的概率．
20.【答案】解：由点在抛物线上，得，抛物线，
设直线的方程为，，显然，
由消去得，
，则且，，
因此，
所以为定值．
由，得，则，由知，，
，解得，
直线的方程为，，
而点到直线的距离，
所以的面积．

【解析】求出抛物线的方程，设出直线的方程，与的方程联立，借助韦达定理及斜率坐标公式计算即得．
由的结论求出，进而求出直线的方程，利用弦长公式及点到直线的距离公式求解即得．
21.【答案】证明：因为平面，所以，取的中点，连接，，所以，又因为，所以，
因为平面，所以平面，
又因为平面，所以．
取的中点，连接，，由知，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系设
则
设平面的法向量为，则有
可取，由点到平面的距高为，
，解得．
，
设平面的法向量为，
则有，可取
设直线与平面所成角为，
，
即直线与平面所成角的正弦值．

【解析】取的中点，连接，，可证得，由平面，可得，进而证得平面，即可证得结论；
由已知可证得知，，两两垂直，即可建立空间直角坐标系，设利用到平面的距高为计算即可求得，进而求得平面的法向量，计算即可求得结果．
22.【答案】解：由题意可知：，解得
故双曲线的方程为：
由双曲线的对称性，又点及点均在轴上，
若存在定点，满足以为直径的圆过点，则点在轴上．
故假设存在定点，使得以为直径的圆过点．
双曲线的左顶点，
由题意知直线不垂直于轴，故设直线的方程为：，
设，，
，解得，
，
由直线与双曲线的右支交于两点，
则，解得．
又直线的方程为，代入，
同理，直线的方程为，代入．
要使以为直径的圆过点，则．
，
，
解得，或
故存在定点，或，使得以为直径的圆过点．

【解析】由渐近线方程与点在双曲线上待定即可得方程；
假设存在定点，满足条件设，，分别表示直线，令，得坐标，将以为直径的圆过点转化为条件，利用韦达定理代入变形为关系式，不受影响，求值即可．
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