2023-2024学年江苏省盐城市五校联盟高二上学期1月期末考试数学试题（含解析）

2023-2024学年江苏省盐城市五校联盟高二上学期1月期末考试数学试题
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1.直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
2.已知函数是的导函数，则( )
A. B. C. D.
3.南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有一高阶等差数列，其前项分别为，，，，，，，则该数列的第项为( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为
( )
A. B. C. D.
5.已知数列满足，且，若，数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
6.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为( )
A. B. C. D.
7.过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为
( )
A. B. C. D.
8.已知圆与轴正半轴的交点为，从直线上任一动点向圆作切线，切点分别为，，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
9.下列结论正确的是( )
A. ，若，则或
B. 直线和以为端点的线段相交，则或
C. 直线与直线之间的距离是
D. 与点的距离为，且与点的距离为的直线共有条
10.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是
( )
A. B. 数列是递减数列
C. 数列是等比数列 D.
11.阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号若抛物线上任意两点，处的切线交于点，则称为“阿基米德三角形”已知抛物线的焦点为，过抛物线上两点，的直线的方程为，弦的中点为，则关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是
( )
A. 点 B. 轴 C. D.
12.已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则
( )
A. 函数的图象关于点对称 B. 函数是周期为的周期函数
C. 函数的图象关于点对称 D.
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13.已知数列满足，，则 ．
14.曲线上一点到直线的最短距离为 ．
15.学校餐厅每天供应名学生用餐，每周一有，两种套餐可供选择．调查表明，凡是本周一选A套餐的，下周一会有改选B套餐；而选B套餐的，下周一会有改选A套餐．用，分别表示第个周一选A套餐的人数和选B套餐的人数．第一个周一选A套餐的人数为人．
如果每个周一选A套餐人数总相等，则 ．
若，则从第 个周一开始，选A套餐人数首次超过选B套餐的人数．
16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一点，为坐标原点，为线段的中点，的平分线与直线交于点，当四边形的面积为时， ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.已知圆过，两点，且圆心在直线上．
求圆的方程；
设点是直线上的动点，、是圆的两条切线，、为切点，求四边形面积的最小值．
18.已知函数．
求的极值；
若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.已知抛物线的焦点为为上一点，且．
求抛物线的方程；
若直线交抛物线于两点，且为坐标原点，记直线过定点，证明：直线过定点，并求出的面积．
20.设数列的前项和为，已知， ．
证明数列为等比数列；
设数列的前项积为，若对任意恒成立，求整数的最大值．
21.在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆交于点、．
若直线的斜率都存在，且分别记为求证：为定值；
探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由．
22.已知函数，．
讨论函数的单调性；
若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
由题意可知直线与轴垂直，结合倾斜角的概念即可得解．
【解答】
解：由题意直线为与轴垂直的直线，故它的倾斜角为．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
对于原函数和导函数，分别取，代入运算求解即可．
【解答】
解：因为，则，
又因为，
当时，，解得，
所以．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
根据累加法和等差数列的求和公式可求出结果．
【解答】
解：设该高阶等差数列为，因为前项分别为，，，，，，，
所以
所以
所以，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
求出关于直线的对称点为，然后将距离和转化成圆外一点到圆上一点距离最值问题求解即可．
【解答】
解： 如图，设将军去河岸的点喝水，回到军营的点，所以需求出最小值即可，
圆的圆心为，半径，
设关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，此时，
所以“将军饮马”的最短路程为．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
由可得数列是等差数列，进而可得数列的通项公式，故可得数列的通项公式，进而通过裂项相消法得到数列的前项和，最后代入得到．
【解答】
解：，
，数列是等差数列，
，，，，
数列的公差，
，既，
故，
，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了新定义问题，解题的关键是弄懂题意，将问题转化为熟悉的知识进行求解，考查了运算能力，属于中档题．
根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．
【解答】
解：函数，
则有，，，
由，
可得，即，解得，
在上的“拉格朗日中值点”的个数为．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
分析可知直线不与轴重合，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点坐标，进而可得出线段的中点的轨迹方程．
【解答】
解：抛物线的焦点为，设点、，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
，由韦达定理可得，所以，，
设线段的中点为，则，，则，
所以，，化简可得．
因此，线段的中点的轨迹方程为．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
将直线转化为两个圆的公共弦方程，利用垂足确定的轨迹为一个圆，然后结合点到圆心的距离求最小值即可．
【解答】
解：易得，设，
因为是圆的两条切线，所以
所以在以为直径的圆上，
又因为，且的中点为，
所以以为直径的圆的方程为：．
所以为以为直径的圆和圆的的公共弦，
两个圆的方程相减得：
所以直线，
直线恒过定点，
过点作直线的垂线，垂足为，
则在以为直径的圆上，设圆的圆心为，半径为，
所以，
所以的最小值为：．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
利用两直线平行求出实数的值，可判断选项；对于，由于直线过定点，所以求出可得答案，利用平行线间的距离公式可判断选项；利用圆与圆的位置关系可判断选项．
【解答】
解：对于，若，则，则，
解得或，
当时，，则，重合；
当时，，则，故，故 A错误；
对于，由，得，
所以直线过定点，
因为，所或，故 B正确；
对于，将直线化为，所以两直线间的距离，故 C错误；
记以为圆心，为半径的圆为，以为圆心，为半径的圆为，
因为两圆的圆心距，且两圆的半径之和，
所以，所以两圆外切，所以两圆有三条公切线，
这三条公切线满足与点距离为，且与点距离为，故 D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
求导得切点处的切线方程，即可令判断，根据对数的运算，结合等差等比数列的定义即可判断，根据等比求和公式即可求解．
【解答】
解：，所以在点处的切线方程为：，
令，得，故 A正确．
，故，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B错误，C正确，
所以， D正确．
故选；
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的标准方程及性质，考查直线方程，考查直线的斜率，属于中档题．
联立方程组消可得，令，，可得，，求出直线，的方程，解出交点即可逐一判断选项．
【解答】
解：联立方程组消可得，
令，，，，
因为，所以，则，
所以直线的方程为：，
同理直线的方程为：，
联立方程组，解得，则，错；
因为弦的中点为，所以，轴，对．
因为抛物线的焦点为，，所以，
因为直线的方程为，则，
因为，所以，对．
因为，所以，对，
故选BCD．
12.【答案】
【解析】【分析】
根据函数奇偶性的定义，结合函数的对称性的性质即可求解，由周期函数的定义即可求解，根据原函数与导数的关系即可求解，根据函数周期性的性质即可求解．
【解答】
解：因为是偶函数，所以，则，
所以函数的图象关于直线对称，由两边求导得，
所以，得，
所以函数的图象关于点对称，故选项 A正确；
令得，所以，因为函数为偶函数，所以，
所以，所以函数的图象关于对称，
所以函数，所以的周期为，所以选项 B正确；
又因为的周期为，故，所以，
因此，所以函数的图象关于直线对称，所以选项 C错误；
因为，所以，又因为，所以，
所以，所以选项 D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
给赋值，可求得，，由与作差可得，分奇偶项可求得，结合分组求和及等比数列求和公式计算即可．
【解答】
解：因为，
所以，，
又，所以，，
因为，所以，
两式相减得，
所以的所有奇数项成等差数列，首项为，公差为，
的所有偶数项成等差数列，首项为，公差为，
所以当为奇数时，，
当为偶数时，，
综述：，
所以，
所以．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
先求在曲线上与直线平行的切线方程，再根据两平行线间的距离公式求得正确答案．
【解答】
解：直线的斜率为，
令，
当时，，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
与的距离为．
所以曲线上一点到直线的最短距离为．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等比数列的定义及基本量的计算、数列的递推关系式在实际问题中的应用等知识点，属于较难题．
先由题设推导出数列的递推关系式，再利用，求出的值；
先由题设求得与，再利用，得到关于的不等式，然后根据的范围，得到结果．
【解答】
解：由题设，可得及，
整理得，，
，，解得，
；
由可得，
又，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，即，
，
由，可得，
整理得，即，
解得，的最小值为，
故答案为：；．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆方程的定义与几何性质综合应用，为中档题．
【解答】
解：由椭圆方程可知，，，
，
因为的平分线与直线交于点，
所以点到直线和直线的距离相等，设为，
所以，解得，
又为的中位线，
所以可得，解得．
17.【答案】解：根据题意，设圆的圆心为，半径为，
则有，解可得，，；
故要求圆的方程为；
根据题意，四边形的面积
，
而，
当最小时，四边形面积的最小，
而的最小值为点到直线的距离，则的最小值为；
故的最小值为，
故四边形面积的最小值为．

【解析】根据题意，设圆的圆心为，半径为，结合题意可得，解可得、、的值，结合圆的标准方程即可得答案；
根据题意，分析可得四边形的面积，又由切线长公式可得当最小时，四边形面积的最小，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，考查运算求解能力．
18.【答案】解：由函数，可得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以函数在区间单调递减，单调递增，
当时，取得极小值，极小值为，无极大值．
由不等式恒成立，即恒成立，
即对于任意，不等式恒成立，
设，可得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以，当时，函数取得极小值，同时也时最小值，，
所以，即，所以实数的取值范围为．

【解析】求得，得出函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；
根据题意，转化为任意，不等式恒成立，设，求得，得出函数的单调性，求得的最小值，即可求解．
19.【答案】解：因为在上，所以，
又，所以，则，
所以，则，解得或，
当时，，满足要求；当时，，不满足，
故，所以抛物线的方程为．
设，
联立，消去整理得，
所以，且，所以，
因为，解得，
所以直线的方程为，则直线过定点，
直线，即过定点，
又，所以，
所以．

【解析】利用抛物线焦半径公式即可得解；
联立直线与抛物线方程，结合题设条件求得，从而得证；再求得直线所过的定点，从而得解．
20.【答案】解：因为，
当时，，
得：，即，
经检验符合上式，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
由知，所以，
，
所以
，
所以恒成立，即，
化简得：，
令，所以，
所以数列是递增数列，最小值为，
所以，故整数的最大值为．

【解析】利用数列作差得到递推关系，再利用等比数列定义证明；
根据等比数列定义求出通项公式和前项和与积，进而对化简，利用裂项相消法求和，分参求的取值范围．
21.【答案】解：因为直线，与圆相切，
将直线与圆联立，
可得，
由解得，，
同理，
所以是方程的两个不相等的实数根，
，因为点在椭圆上，所以，
所以．
当直线不落在坐标轴上时，设，
因为，所以，
因为在椭圆上，所以，
整理得，所以，所以
当直线落在坐标轴上时，圆方程为，易求得，
综上：，所以，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为．

【解析】分别将直线与与圆方程联立，可得是方程的两个不相等的实数根，结合韦达定理得，并结合在椭圆上可得解．
当直线不落在坐标轴上时，利用可得，利用在椭圆上可求得及，从而得，当直线落在坐标轴上求出，从而得定值，再由基本不等式得最大值．
关键点睛：本题考查直线与圆相切，直线与椭圆相交问题对第一问斜率积为定值问题，解题关键是设出切线方程，利用直线与圆相切得出关于的二次方程，由韦达定理得出结论；第二问设，由斜率积为定值求得坐标的关系，并结合点在椭圆上求得的值，注意分类讨论．
22.【答案】解：，
当时，，单调递增，
当时，令，得，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
对任意的，都有恒成立，
即任意的，都有恒成立，
所以任意的，都有恒成立，
令，
则，
令，则，
所以在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
由，得，
设，，，
所以在上为增函数，
所以由，得，
所以，即，所以，
所以，
所以，所以，
所以的取值范围为．
【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的综合应用以及函数恒成立问题，属难题．
，当时，，单调递增，当时，令，得，利用导数性质讨论函数的单调性．
推导出对于任意的，都有恒成立，令，则，令，则，，，存在，使得，即，由，得，再构造函数，研究单调性，进而可求的最小值，求出的范围．
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