2023-2024学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期综合检测数学试题（含解析）

2023-2024学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期综合检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.若直线：与：垂直，则实数( )
A. B. C. D.
3.甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题没被破解的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知，若，则的最大值为
( )
A. B. C. D.
5.某中学举行的秋季运动会中，有甲乙丙丁四位同学参加米短跑决赛，现将四位同学安排在，，，这个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在跑道，乙不在跑道的不同安排方法种数为( )
A. B. C. D.
6.已知变量和的统计数据如下表：
根据上表可得回归直线方程为，据此可以预测当时，则的估计值为
( )
A. B. C. D.
7.如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是
( )
A. B. C. D.
8.在某个独立重复实验中，事件，相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是
( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算术就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．结合图形，以下关于杨辉三角的叙述正确的是( )
A. 第行中从左到右第个数是 B.
C. D.
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上存在点点不与左、右顶点重合，使得，则双曲线的离心率的可能取值为
( )
A. B. C. D.
11.下列说法正确的是( )
A. 在回归直线方程中，与具有负线性相关关系
B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越大
C. 已知随机变量服从二项分布，若，，则
D. 随机变量服从正态分布，若，则
12.已知三棱锥，，是边长为的正三角形，为中点，，则下列结论正确的是
( )
A.
B. 异面直线与所成的角的余弦值为
C. 与平面所成的角的正弦值为
D. 三棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.圆心在直线上的圆与轴交于、两点，则圆的方程为 ．
14.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是 ．
15.已知椭圆的焦点分别、，点为椭圆的上顶点，直线，与椭圆的另一个交点为若，则椭圆的方程为 ．
16.在矩形中，，，现将沿对角线翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为 ；设二面角的平面角为，当在内变化时，的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．
条件：第项与第项的二项式系数相等；
条件：只有第项的二项式系数最大；
条件：所有项的二项式系数的和为．
问题：在展开式中，
求的值与展开式中各项系数之和；
这个展开式中是否存在有理项？若存在，将其一一列出；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
某企业积极响应“碳达峰”号召，研发出一款性能优越的新能源汽车，备受消费者青睐该企业为了研究新能源汽车在某地区每月销售量单位：千辆与月份的关系，统计了今年前个月该地区的销售量，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中．
根据散点图判断两变量的关系用与哪一个比较合适？给出判断即可，不必说明理由
根据的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程的值精确到，并预测从今年几月份起该地区的月销售量不低于万辆？
附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．
19.本小题分
设分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点．
双曲线的方程；
若直线：与双曲线相交于两点，求．
20.本小题分
某次联盟考试中，我校共有名理科学生的语文、数学成绩作统计分析已知语文考试成绩近似服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如图：
如果成绩大于的为特别优秀，这名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？
如果语文和数学两科都特别优秀的共有人，从中的这些同学中随机抽取人，设三人中两科都特别优秀的有人，求的分布列和数学期望．
根据中的数据，是否有以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？
若，
则
21.本小题分
如图，且，，且，且．平面，．
若为的中点，为的中点，求证：平面；
求平面与平面的夹角的正弦值；
若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．
22.本小题分
已知椭圆：的离心率为，过椭圆右焦点并垂直于轴的直线交椭圆于，点位于轴上方两点，且为坐标原点的面积为．
求椭圆的标准方程；
若直线交椭圆于，异于点两点，且直线与的斜率之积为，求点到直线距离的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的共线与共面向量定理及应用，属于基础题．
根据题意得出，求出，的值，即可求出结果．
【解答】
解：因为向量，且，
所以，
所以，，
所以．
故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线垂直的判定及其应用，属于基础题．
根据直线垂直的条件得到关于的等式，求解即可．
【解答】
解：若直线：与：垂直，
则，则．
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、对立事件的概率计算公式，属于基础题．
根据相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率计算公式求解即可．
【解答】
解：设“甲独立地破解出谜题”为事件，
“乙独立地破解出谜题”为事件，
则 ．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】根据可得到方程，求得，结合的取值，可得答案．
【详解】由题意可知，
因为，所以，
整理得，即，
又，且，所以，
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】根据题意，按甲是否在道上分种情况讨论，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分种情况讨论：
若甲在道上，剩下人任意安排在其他个跑道上，有种排法，
若甲不在道上，甲的安排方法有种，乙的安排方法也有种，剩下人任意安排在其他个跑道上，有种安排方法，
此时有种安排方法，
故共有种不同的安排方法，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】由题意计算出，代入回归方程可求出，再令，即可求出的估计值．
【详解】由题意知，
得将点代入，解得，
所以当时，，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角，属于中档题．
可以通过几何法找到异面直线所成角的平面角，结合余弦定理可以求出．
【解答】
解：因为平面，平面，
所以，
又是边长为的正三角形，，
所以，
同理可得，
解法一：设为的中点，连接，如图，
是的中点，
，，，，
在中，由余弦定理可知．
异面直线与所成角的余弦值为，
解法二：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示，
易知，，，
所以，，
则，，
异面直线与所成角的余弦值为．
故选D
8.【答案】
【解析】【分析】由相互独立事件的概率及二项分布的期望与方差进行辨析即可.
【详解】由已知，，∴，，
，∴，，
∵事件，相互独立，
∴一次实验中，，同时发生的概率，
∴，
∴，，
对于A，，，
不一定成立，故选项 A说法不正确；
对于B，，，
，不一定成立，故选项 B说法不正确；
对于C，，，
成立，故选项 C说法正确；
对于D，，，
不一定成立，故选项 D说法不正确.
故选：C.
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了逻辑推理与证明的应用问题，属于中档题．
根据杨辉三角，利用组合数的计算判断，利用二项式系数的性质判断．
【解答】
解：
对于，第行中从左到右第个数是，故A正确；
对于，，故B正确；
对于，由二项式系数的性质知，故C错误；
对于，，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考虑利用双曲线的定义结合焦点三角形求离心率的取值范围，以及正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于较难题．
【解答】
解：，则，则排除
记，，，则，
显然在双曲线的右支，则，
由正弦定理可知：，
则，故B，是正确的，不正确．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：回归直线的线性相关正相关和负相关的定义，相关性的强弱，二项分布的均值和方差，正态分布的应用，属于中档题．
直接利用回归直线的线性相关正相关和负相关的定义，相关性的强弱的应用判断和的结论，利用二项分布的性质建立均值和方差的关系式，求出结果判定的结论，利用正态分布的性质，求出．
【解答】
解：对于：由于回归直线方程中，直线的斜率，所以与具有负线性相关关系，故A正确；
对于：两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越大，故B正确；
对于：已知随机变量服从二项分布，若，，
所以，解得，故C错误；
对于：随机变量服从正态分布，若，，则，故D正确．
故选ABD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三棱锥的结构特征，线线垂直的判定，异面直线所成角的求法，线面角的求法，三棱锥外接球表面积的求法，综合性大，有一定难度属于拔高题．
根据线面垂直的判定可得平面，即可证得；由条件可得为异面直线与所成的角或其补角，计算可求得其余弦值；求出到底面的距离，进一步可求得与平面所成的角的正弦值；将三棱锥补成边长为的正方体，则三棱锥外接球即为补后正方体的外接球，即可求解．
【解答】
解：由，是边长为的正三角形，可知三棱锥为正三棱锥，
则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接并延长交于点，则，如图．
又，，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，故正确；
因为，，，平面，平面，所以平面，
因为平面，平面，所以，，
是边长为的正三角形，
所以三棱锥是正三棱锥，且，则．
取的中点，连接，，则，
所以为异面直线与所成的角或其补角，
则，，
所以，
所以异面直线与所成的角的余弦值为，故不正确；
由题意可得，
因为为中点，所以到底面的距离为，
所以与平面所成的角的正弦值为，故正确；
由前面分析可将三棱锥补成边长为的正方体，则三棱锥外接球的半径为，其外接球的表面积为，故正确．
故选ACD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆的标准方程，涉及到两点间的距离公式，两直线的交点坐标，属于基础题．
由题可知圆心在直线上，又圆心在直线上，联立两直线方程，求出交点坐标即为圆心坐标，在利用两点间的距离公式求出圆的半径，即可得到圆的方程．
【解答】
解：由题意得：圆心在线段的垂直平分线，即直线上，
又圆心在直线上，
联立直线与，解得，，
圆心坐标为，
又，
半径，
则圆的方程为．
故答案为：．
14.【答案】或
【解析】【分析】由全概率公式计算．
【详解】记灯光合格中事件，灯泡来自甲厂为事件，灯泡来自乙厂为事件，
由已知，，，，
所以．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】利用定义和已知先求，再由相似三角形可得点坐标，代入椭圆方程可解．
【详解】如图，过点作轴的垂线，垂足为，
由定义知，，因为，所以
因为，，
所以，所以
将代入得，解得
所以
所以椭圆方程为．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查球的体积，二面角的概念，属于较难题．
分别过点 ， 作 ，找到球心 ，得到半径和体积，根据 ，计算 ，得到答案．
【解答】
解：如图，分别过点， 作 ，垂足分别为，，
则在四面体 中也满足 ．
因为 ， ，所以 ， ，
则 ， ．
在四面体中，三角形和三角形均为直角三角形，
设点为的中点，如图，连接，，则 ，
即点为四面体外接球的球心，则外接球的半径 ，
所以外接球的体积 ．
在四面体中， ，
因为二面角 的平面角为，且 ，
所以 和 的夹角为 ，
所以
，
因为 ，所以 ，则 ．
故答案为： ；
17.【答案】解：选，第项与第项的二项式系数相等，则，所以；
令，则，则展开式中各项系数之和为．
选，只有第项的二项式系数最大，所以，解得；
令，则，则展开式中各项系数之和为．
选，所有项的二项式系数的和为，则，解得：．
令，则，则展开式中各项系数之和为．
二项式展开式的通项公式为：
．
依题意可知，当，，时，二项展开的项都是有理项．所以：
当时，；当时，；当时，．
所以展开式中有理项分别为；；．

【解析】利用二项展开式的 性质列方程即可求得的值，利用赋值法即可求得展开式中各项系数之和；
利用二项展开式的通项公式，由的幂次为整数列方程即可求得展开式中有理项．
18.【答案】解：比较合适散点图中点的 分布不是一条直线，相邻两点的纵坐标的差值是增大趋势，所以比较合适
设，则，
先建立关于的回归方程
则
所以关于的回归方程为，
因此关于的回归方程为
令，解得或舍去，
故估计从今年月份起该地区的月销售量不低于万辆．

【解析】结合散点图可知合适；
由题中所给的数据及公式计算回归方程，并进行估计即可．
19.【答案】解：抛物线的焦点为，
所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，
所以，即，又，所以，
所以双曲线方程为．
依题意设，，
由消去整理得，
由，所以，，
所以
．

【解析】首先求出抛物线的焦点坐标，即可得到，再根据为等腰直角三角形，即可求出，最后根据，求出，即可求出双曲线方程；
设，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，利用弦长公式计算可得；
20.【答案】解：因语文成绩服从正态分布，则语文成绩特别优秀的概率为：
，
由频率分布直方图估计数学成绩特别优秀的概率为，
所以语文成绩特别优秀的同学有人，数学成绩特别优秀的同学有人
因语文和数学两科都特别优秀的共有人，则由知至少一科特别优秀的有人，
的所有可能值为，，，，
，，，
所以的分布列为
数学期望．
由可得列联表，如下：
语文成绩特别优秀 语文成绩不特别优秀 合计
数学成绩特别优秀
数学成绩不特别优秀
合计
于是得的观测值为，
所以有有以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．

【解析】利用正态分布、频率分布直方图分别计算语文、数学成绩特别优秀的人数作答．
求出的所有可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列、计算期望作答．
求出的观测值，再与临界值表比对即可作答．
21.【答案】解：证明：因为 平面， 平面，
所以 ，
因为 ，所以 两两垂直，
所以以为原点，分别以 ， ， 的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系如图，
则，，，，，，，， ，，．
所以 ， ．
设 为平面的法向量，
则 ，令 ，则 ．
因为 ， ，，
所以 ，
因为直线 平面，
所以 平面．
解：依题意，可得 ， ， ．
设 为平面的法向量，
则 ，令 ，则 ，
设 为平面的法向量，
则 ，令 ，则 ，
所以 ，
所以平面与平面的夹角的正弦值为 ；
解：设线段的长为 ，则点的坐标为，可得 ．
因为 ， 、平面，
所以 平面 ，
所以 为平面的一个法向量，
所以 ，
由题意，可得 ，解得 ．
所以线段 的长为 ．

【解析】本题考查了直线与平面平行的向量表示，考查了平面与平面所成角的向量求法，考查了线面角的向量求法，属于较难题．
由题意，以为原点，分别以 ， ， 的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系，求出对应点的坐标，求出平面的法向量， ，由两向量的数量积为零，可证得结论，
分别求出两平面的法向量，利用空间向量求解即可
设线段的长为，求出 ，平面的一个法向量 ，然后利用向量的夹角公式列方程求解．
22.【答案】解：由题意可得，
所以由题意可得且，解得，，
所以椭圆的方程为：；
由可得，设，，
当直线的斜率不存在时，设其方程为，
且，
联立，
得，
因为，
所以，
即，
解得或舍，此时点到直线的距离为；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
联立可得且整理可得：，
，
且，，
，整理可得：，
整理可得，
整理可得，即，
或，
若，则直线方程为：，直线恒过，与点重合，舍去；
若，则直线方程为：，
所以直线恒过定点；
所以到直线的距离的最大值为的值为，
综上可得，点到直线距离的最大值．
【解析】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，直线恒过定点的求法，属于拔高题．
由离心率和三角形的面积，得出，，之间的关系求出，的值，进而求出椭圆的方程；
分类讨论，进行求解即可．
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