2023-2024学年贵州省六盘水市高一上学期1月期末质量监测数学试题（含解析）

2023-2024学年贵州省六盘水市高一上学期1月期末质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.设命题，则的否定为
( )
A. B.
C. D.
3.函数的定义域为
( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的条件
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
5.达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来引无数观赏者对其进行研究．某业余爱好者对蒙娜丽莎的缩小影像作品进行粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一段圆弧，并测得圆弧所对的圆心角为，弦的长为，根据测量得到的数据计算：蒙娜丽莎缩小影像作品中圆弧的长为单位：( )
A. B. C. D.
6.已知且，则的取值范围是
( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数满足：
，且，都有；
，都有．
若，则的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数中，函数与是同一个函数的是
( )
A. B.
C. D.
10.已知且，则下列不等式一定成立的是
( )
A. B. C. D.
11.已知函数为常数，则下列说法正确的是
( )
A. 函数的图象恒过定点
B. 当时，函数是减函数
C. 当时，函数是奇函数
D. 当时，函数的值域为
12.一般地，若函数 的 定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”，特别地，当时，则称为的“完美区间”则下列说法正确的是
( )
A. 若为函数的“完美区间”，则
B. 函数，存在“倍美好区间”
C. 函数，不存在“完美区间”
D. 函数，有无数个“倍美好区间”
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的图象恒过定点 ．
14.已知，则的最大值为 ．
15.德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”；表示不超过的最大整数，例如，，则不等式的解集为 ．
16.已知函数，关于的方程的实数根的个数为，则的所有可能取值组成的集合为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合．
若，求；
若，求的取值范围．
18.本小题分
计算：
已知是第二象限角，求的值．
19.本小题分
已知函数是偶函数，当时，．
求的值，并作出函数在区间上的大致图象；
根据定义证明在区间上单调递增．
20.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求的值，并求的单调递减区间；
求在上的值域．
21.本小题分
近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，但这并没有让华为怯步．年月日，据华为官网披露，上半年华为营收亿元，上年同期为亿元，净利润为亿元，上年同期为亿元．为了进一步提升市场竞争力，再创新高，华为旗下某一子公司计划在年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，年生产此款手机单位：千部需要投入两项成本，其中固定成本为万元，其它成本为单位：万元，且假设每部手机售价万元，全年生产的手机当年能全部售完．
写出此款手机的年利润单位：万元关于年产量单位：千部的函数解析式；利润销售额成本
根据中模型预测年此款手机产量为多少单位：千部时，所获利润最大？最大利润是多少？
22.本小题分
已知函数，其中且．
求的值，判断的奇偶性并证明；
函数有零点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】按并集的运算直接求解．
【详解】由并集的概念可得：．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】根据全称量词命题的否定格式，直接写出答案即可．
【详解】根据全称量词命题的否定可知，
命题的否定为“”
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】根据函数有意义的条件，求函数定义域．
【详解】函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为．
故选：．
4.【答案】
【解析】【详解】试题分析：若，则；若，则，推不出所以“”是“”成立的充分不必要条件．故选 A．
考点：充分必要条件．
5.【答案】
【解析】【分析】根据扇形弧长公式代入求解即可．
【详解】因为圆弧所对的圆心角，所以为等边三角形，
如图所示：
所以，即圆弧的半径，
所以圆弧的长为．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】结合指数函数和对数函数的单调性求的取值范围．
【详解】已知且．
由，由．
综上：．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】由，得，利用结论可得．
【详解】由，得，
所以，
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】由可推导的奇偶性以及单调性，结合性质可建立的不等关系，求出的范围，代入中即可求出结果．
【详解】对于，，且，都有，即与符号相反，所以为上的减函数；
对于，，都有，即，则为上的奇函数；
若，则，即，
由单调性知，
因为，化简可得：，解得：．
则．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】看对应法则以及定义域是否均相同，逐一判断每一选项即可．
【详解】对于，的定义域为，为全体实数，故此时函数与不是同一个函数，
对于，对全体实数都成立，所以此时函数与是同一个函数，
对于，对全体实数都成立，所以此时函数与是同一个函数，
对于，，对应法则不同，此时函数与不是同一个函数．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】对于选项A，利用作差法即可判断；对于选项C，利用不等式的性质即可判断．
【详解】且，，
对于选项A，故选项 A正确；
对于选项B而正负性不确定，故选项 B错误；
对于选项C，利用不等式的性质的可乘性可知：当时，不成立，故选项 C错误；
对于选项D，利用不等式的性质的可加性可知，故选项 D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【解析】
【分析】根据幂函数的性质逐一判断即可．
【详解】， A正确；
当时，分别在上单调递减，在定义域上不单调， B错误；
当时，的定义域为，且，
所以函数是奇函数， C正确；
当时，的值域为， D错误．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误．
【详解】因为函数的对称轴为，故函数在单调递增。
所以值域，又为函数的“完美区间”，
所以，得或，因为，所以，故 A对；
假设函数，存在“倍美好区间”设定义域为，值域为，
当时，在区间上单调递增，
所以，解得，故 B对；
因为在上单调递增，在上单调递减，
假设函数存在“完美区间”，
当时，在单调递减，要使值域为，
则，解得，即假设成立，故 C错；
假设函数定义域内任意子区间，
因为在上单调递增，所以值域为，故内任意一个子区间都是“倍美好区间”，故D对
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数函数的图象和性质，本题解题的关键是知道指数函数过一个定点，与底数是什么关系．
根据所有的指数函数过点，函数，当指数，即时，，得到函数的图象恒过．
【解答】
解：根据指数函数过点，
函数，
当指数即时，，
函数的图象恒过
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】由基本不等式求积的最大值．
【详解】，
由基本不等式可知，
当且仅当时等号成立，即的最大值为．
故答案为：
15.【答案】或
【解析】【分析】由所给“高斯函数”的概念，直接求解．
【详解】由
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】作分段函数的图象，根据数形结合，分类讨论对方程根的个数的影响及与的大小关系，可得出的根的个数，从而得出原方程的根的个数．
【详解】作函数的图象，如图，
令，
则方程的根可结合图象分析如下：
当时，方程有两不相等实根，其中满足的只有个根，
此时有个不相等的实根，即方程有个不相等的实根；
当时，方程有个不相等实根，其中满足的有个根，
此时有个根，即方程有个根；
当时，方程有个不相等的实数根，其中满足的有个根，
此时有根，即方程有个根；
当时，方程有个根，其中满足的有个根，满足的有个根，此时有个根，即方程有个根；
当时，方程有个根，满足，此时有个根，即方程有个根，
综上，方程的实数根个数可能为，，，．
故答案为：
17.【答案】解：当时，，则，
所以或．
因为，则当时，，因此，
当时，，解得，
所以的取值范围为．

【解析】把代入，利用交集、补集的定义求解即得．
利用包含关系，按集合是否为空集分类列式求解．
18.【答案】解：；
，
又因为，为第二象限角，所以．
所以原式．

【解析】根据指数幂和对数的运算求解；
先根据诱导公式将所求式子化简，利用平方关系求出，得解．
19.【答案】解：因为函数是偶函数，所以，
作出图象如图所示：
，且，有
，
由得，
所以，
即，
所以函数在区间上单调递增．

【解析】由偶函数可得，可以先画出时的图象，然后利用关于轴对称画出另一半即可．
由函数单调性的定义证明即可．
20.【答案】解：由题意可知所以
即
所以
所以
所以的单调减区间为
因为，所以，
所以，所以，
所以函数在上的值域为．

【解析】根据余弦型函数周期公式及余弦型函数单调性求解即可；
根据自变量范围，利用整体替换思想结合余弦函数求解．
21.【答案】解：由题意可得
即．
当时，，
当时，取最大值，万元；
当时，，
，
万元，当且仅当，即时，等号成立，
因为，
故当年产量为千部时所获利润最大，最大利润为万元．

【解析】由已知条件，根据销售额和成本计算利润；
由利润的函数解析式，结合函数性质和基本不等式，求最大值．
22.【答案】解：因为，
所以，
所以得，又，所以，
所以，
函数为奇函数．
证明如下：
因为，所以，
所以函数的定义域为，
都有，
，
所以为奇函数．
因为，
由，所以，
因为函数有零点，
所以有根，
即，
有，
所以，
令，得，
所以，
令，由对勾函数单调性知，在区间上单调递减，
所以，
所以得．
综上，的取值范围是．

【解析】根据条件运算求得，利用奇偶性定义判断证明；
函数有零点，转化为，换元令，即，令，根据单调性求出的值域得解．
思路点睛：第二问，函数有零点，即有根，转化为有解，换元令，上式转化为，令，根据单调性求出的值域得解．
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