2023-2024学年陕西省西安市高新重点学校高一（上）月考数学试卷（1月份）（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市高新重点学校高一（上）月考数学试卷（1月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是( )
A. B. C. D.
3.函数的零点所在的大致范围是( )
A. B. C. D.
4.已知角的终边经过点，则的值等于( )
A. B. C. D.
5.设，，，则( )
A. B. C. D.
6.荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍那么当“进步”的值是“退步”的值的倍，大约经过天参考数据：，，( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上所有零点之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 三角形的内角必是第一或第二象限角
C. 若且，则为第二象限角
D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
10.已知函数，则( )
A. 函数的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称 D. 在区间上有两个零点
11.下列命题不正确的是( )
A. 函数与函数是同一个函数
B. 关于的方程与的根分别为，，则
C. 函数的最小值为
D. 已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是
12.关于函数的叙述正确的是( )
A. 是偶函数 B. 在区间单调递减
C. 在有个零点 D. 是的一个周期
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则 ______．
14.已知，则 ______．
15.定义域和值域均为常数的函数和图象如图所示，则方程有______个解．
16.已知是定义在上的函数且图象关于点对称，是偶函数，若当时，，则 ______．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
化简；
已知关于的方程的两根为和，求实数以及的值．
18.本小题分
已知奇函数和偶函数满足：，．
分别求出函数和的解析式．
若，对恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
求的值；
设函数，证明：在上有唯一零点．
20.本小题分
已知函数，相邻两条对称轴的距离为．
当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值；
若为偶函数，设，求的单调递增区间；
若过点，设，若对任意的，都有，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，得，解得，
所以，
由，得，解得，
所以，
所以．
故选：．
利用指数函数的性质求出集合，解一元二次不等式求出集合，再求两集合的并集．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于，函数的最小正周期为，不符题意；
对于，函数是奇函数，不符题意；
对于，函数是偶函数，且最小正周期为，符合题意；
对于，函数是奇函数，不符题意．
故选：．
由三角函数的奇偶性、周期性逐一判断即可．
本题主要考查了三角函数的奇偶性、周期性，考查了函数思想，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：在上单调递增，在上单调递增，
函数在上单调递增，
又，，，
函数的零点所在的大致范围是，
故选：．
由题意得函数在上单调递增，根据函数零点的判定定理，即可得出答案．
本题考查函数零点的判定定理，考查转化思想，考查运算能力和逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为角的终边经过点，
所以，
．
故选：．
根据三角函数定义得到，再利用诱导公式求出的值．
本题考查三角函数定义、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为对数函数在上为减函数，
所以；
因为指数函数在上为减函数，所以；
因为是第四象限角，所以；
综上：．
故选：．
利用对数函数，指数函数的单调性和三角函数的符号进行判断．
本题考查利用中间值法比较大小，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：设经过天“进步”的值是“退步”的值的倍，
则，
，
故大约经过天．
故选：．
根据指数与对数的互化及对数的运算，即可求解．
本题考查函数的实际应用，对数的运算，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：由于函数在区间上单调递增，而，
故有，且，求得，
则的取值范围是．
故选：．
由题意，根据正弦函数的单调性可得，且，由此求得的取值范围．
本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：依题意函数为定义在上的奇函数，所以，
又，所以函数关于轴对称，且，
所以，即，
所以，
所以函数是周期为的周期函数，
且函数的图象关于中心对称；
令，得，
由反比例函数性质知，函数的图象关于中心对称，
又当时，，
结合对称性和周期性作出函数和的图象，如图所示．
由图可知，函数和的图象有个交点，且交点关于中心对称，
所以函数在区间上所有零点之和为．
故选：．
根据函数为奇函数及推理可得出函数的周期、对称中心，根据零点定义转化为方程解的关系，结合图象以及对称性即可求解．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A，，充分性成立，
但当时，或者，不一定等于，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误；
对于选项B，不属于第一或第二象限角，而三角形的内角范围为，而，故B错误；
对于选项C，当且，则为第二象限角，故C正确；
对于选项D，由扇形的弧长公式，因为，，所以，
由扇形的面积公式，得，故D正确．
故选：．
通过充分性必要性两方面验证判断，通过象限角定义判断，通过且确定的象限判断，利用扇形弧长公式和面积公式，求出扇形面积判断．
本题考查充分条件与必要条件的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：，
对于，，故A正确；
对于，，故B正确；
对于，，故C错误；
对于，当时，，
函数在上有两个零点，故在区间上有两个零点，故D正确．
故选：．
对于，利用周期公式判断；对于，通过计算判断；对于，通过计算判断；对于，将看成一个整体，通过函数的性质来判断．
本题考查三角函数的性质，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：与的定义域不同，不是同一函数，故A错误；
B.由题意，则，
所以，分别是、与的交点横坐标，
而、互为反函数，关于对称，与垂直，图象如下图．
由图象可知，故B正确；
C.由在上递增，在上递减，而上递减，
所以在上递减，在上递增，
故函数有最小值为，故C错误；
D.由题设为减函数，要使在上是减函数，
则在定义域上为增函数，且，即，故D正确．
故选：．
A.由同一函数对应法则、定义域相同判断；将问题化为，分别是、与的交点横坐标，结合指数和对数函数的关系及对称性判断；根据指数型复合函数的单调性求最值判断；由对数复合函数的区间单调性列不等式求范围即可．
本题考查了同一函数的判断，函数的单调性与最值，考查了数形结合思想，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为的定义域为，
又，所以是偶函数，故A正确；
B.当时，，在单调递减，故B正确；
C.当时，令，得或，又在上为偶函数，
所以在上的根为，，，有个零点，故C错误；
D.，则是的一个周期，故D正确．
故选：．
根据三角函数的奇偶性、单调性、零点、周期性对选项进行分析，由此确定正确选项．
本题主要考查三角函数的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，因为
所以，
所以．
故答案为：．
根据题意，根据分段函数的解析式可先求得，继而可求得的值．
本题考查函数值的计算，注意分段函数的解析式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，则，
原式．
故答案为：．
首先求，再将所求转化为齐次分式形式，并用表示，即可求解．
本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：令，则，
由函数的图象可得：
方程有个解，，，其中，，
由函数的图象可知：
函数在上单调递减，又值域为，
所以对于每一个，，，都存在唯一的与之对应．
所以方程有个解．
故答案为：．
先利用换元法将方程根的问题转化方程及根的问题，由图象可得方程在上有三个实数解，结合函数的单调性及值域即可求解．
本题考查函数的零点问题，数形结合思想，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，
所以是定义在上的奇函数，，
又因为函数是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，，
所以，
即函数是一个周期为的周期函数，
因为时，，所以，，
．
故答案为：．
由函数的对称性和奇偶性，得函数的奇偶性和周期性，再结合函数在时的解析式，求得的值．
本题主要考查函数性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：
，
即．
因为关于的方程的两根为和，
所以，，
所以，所以，
因为，所以，且，所以，
所以．
【解析】利用诱导公式化简即可；
利用韦达定理得到，，再将两边平方即可求出，最后由求出．
本题主要考查运用诱导公式化简求值，同角三角函数的基本关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：用替换条件等式中的得，
因为为奇函数，为偶函数，
所以，，所以，
与联立可得：；
因为在上单调递增，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递增，且为奇函数，
所以，
即，
即，
即，
即在恒成立，
令，则，即，
整理得，
当且仅当，即，即时，等号成立，所以．
【解析】用替换条件等式中的，再根据函数的奇偶性即可得出解析式；
根据的单调性和奇偶性得出关于实数的不等式，再由基本不等式得出答案．
本题考查了函数的恒成立问题，属于难题．
19.【答案】解：因为，
所以．
证明：，
因为函数在上单调递增，
函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，
，
所以，
所以，，即在上有且仅有一个零点．
【解析】先计算得出，再分组求和得出函数值即可；
先判断函数的单调性，再结合零点存在定理即可得证．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
20.【答案】解：由题设，又，则，
当，即时，，
此时；
由知为偶函数，所以，
所以，则，
所以，，即，，
所以单调递增区间为；
因为过点，所以，可得，
所以，又，所以，
所以，
对任意的，都有成立，
所以，即，
由，设，
则有图象是开口向下，对称轴为的抛物线，
当时在上单调递增，，即，解得，
所以；
当时在上单调递减，，即，解得
所以；
当时，，所以，解得，
所以，
综上所述：，
所以实数的取值范围为．
【解析】由得，进而写出解析式，根据正弦型函数性质求最值及对应值；
由题意得，进而确定解析式，应用余弦型函数的单调性求递增区间；
由题设有，设，结合二次函数性质、分类讨论研究的最值，即可求参数范围．
本题主要考查了正弦函数最值的求解及单调性区间的应用，还考查了换元法及二次函数性质在函数最值求解中的应用，属于中档题．
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