2023-2024学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
4.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是( )
A. B.
C. D. 且
5.椭圆的左、右顶点分别是，，椭圆的左焦点和中心分别是，已知是，的等比中项，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知等比数列的首项为，前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
7.若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知为双曲线左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心若，则点到焦点的距离是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线：，则( )
A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的虚轴长为
C. 双曲线的实半轴长为 D. 双曲线的渐近线方程为
10.三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，，则二面角的大小可能为( )
A. B. C. D.
11.已知，，直线，相交于，直线，的斜率分别为，，则( )
A. 当时，点的轨迹为除去，两点的椭圆
B. 当时，点的轨迹为除去，两点的圆
C. 当时，点的轨迹为除去，两点的双曲线
D. 当时，点的轨迹为除去，两点的抛物线
12.数列满足，，数列的前项和为，且，则下列正确的是( )
A. 是数列中的项
B. 数列是首项为，公比为的等比数列
C. 数列的前项和
D. 数列的前项和
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线：与：平行，则 ______．
14.已知抛物线：的焦点为，点是抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上点在第一象限，若，则 ______．
15.已知数列的前项的积为，且，则满足的最小正整数的值为______．
16.已知，两点均在双曲线：的右支上，若恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为的等比数列，且．
求数列和的通项公式；
求数列的前项和．
18.本小题分
已知圆：．
若直线过定点，且与圆相切，求的方程；
若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程．
19.本小题分
如图，在正三棱柱中，，，为侧棱上的点，且，点，分别为，的中点．
求异面直线与所成角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知数列的前项和为，，，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
21.本小题分
已知椭圆：的短轴长为，且椭圆经过点．
求椭圆的方程；
若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，动点满足：，．
求动点的轨迹的方程；
过点的直线交轨迹于，两点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与轨迹的另一交点为，的中点为，证明：，，三点共线．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设倾斜角为，直线的斜率为，
则，
，
．
故选：．
设倾斜角为，由题意可得，即可求出．
本题考查了直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，平面的法向量为，直线的方向向量为，，
若，即，又由，则有，
依次分析选项：
对于，，，，即成立，符合题意；
对于，，，，即不成立，不符合题意，
对于，，，，即不成立，不符合题意，
对于，，，，即不成立，不符合题意．
故选：．
根据题意，由平面法向量的定义，依次分析选项中向量是否满足，综合可得答案．
本题考查空间向量的应用，涉及直线与平面垂直的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为，，，，
小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，
，
解得，，
谷雨日影长为尺．
故选：．
设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为，，，，利用等差数列性质求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，
，
解得．
故选：．
根据题意建立不等式组，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：椭圆的左、右顶点分别是，，椭圆的左焦点和中心分别是，已知是，的等比中项，
可得，可得，
所以．
故选：．
利用已知条件，列出方程，转化求解离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为等比数列的首项为，
若，则，
所以，
所以，
．
故选：．
由已知结合等比数列的求和公式求出，再由通项公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为圆上总存在两个点到点的距离为，
所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，
所以圆与圆相交，
所以，即，
解得：且，
所以实数的取值范围是．
故选：．
将问题转化为圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，由圆与圆的位置关系建立不等式求解即可．
本题考查点与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意知，，，所以，，，
又由双曲线的定义可知，
设的内切圆的半径为，
因为，所以，
所以，
所以，所以，
设圆与的三边，，分别相切于，，三点，连接，，，
由内切圆的性质可得，，，
因为，所以，
即，由，
所以，，因为，，
所以，即点到焦点的距离是．
故选：．
根据双曲线的定义可得，根据，得的内切圆的半径为，再根据内切圆的性质可得，结合可求得，利用勾股定理可求得点到焦点的距离．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：双曲线：的标准方程为，
则双曲线的实半轴长、虚半轴长，半焦距，
所以双曲线的离心率，故A正确；
双曲线的虚轴长为，B正确；
双曲线的实半轴长为，故C错误；
双曲线的渐近线方程为，故D错误．
故选：．
根据给定的双曲线方程，求出实半轴长、虚半轴长、半焦距，再逐项计算判断作答．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，，
所以二面角的大小可能为或．
故选：．
计算，，即可得出答案．
本题考查二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意知：，，设，
对选项，，，
化简可得，，
点的轨迹为除去，两点的椭圆，选项正确；
对选项，，，
化简可得，，
点的轨迹为除去，两点的圆，选项正确；
对选项，，，
化简可得，，
点的轨迹为除去，两点的双曲线，选项正确；
对选项，，，
化简可得，，
点的轨迹不是除去，两点的抛物线，选项错误．
故选：．
针对各个选项，；利用“五步求曲“，即可分别求解．
本题考查轨迹方程的求解，圆锥曲线与圆的几何性质，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：数列满足，，
可得，即有，即，
由，可得，解得，
当时，由，可得，
两式相减可得，
即为，则，即数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确；
令，解得，不为整数，故A错误；
，则，故C正确；
，，，
两式相减可得，化为，故D正确．
故选：．
由等差数列的定义和通项公式求得，由数列的通项与前项和的关系，求得，结合数列的裂项相消求和、错位相减法求和，可得结论．
本题考查数列的递推式和等差数列、等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的裂项相消求和、错位相减法求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为两条直线平行，所以，解得．
故答案为：．
由两条直线平行的充要条件，可得的值．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：作垂直轴于点，
若，
则，
不妨设，
则，
由勾股定理可知，，
，
所以，解得，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合勾股定理，以及抛物线的性质，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：当时，有，所以；
当时，由，得，即，
所以数列是等差数列，其中公差为，首项为，
所以，即，
所以，
若，则，即，
因为数列是单调递增数列，且当时，；当时，，
所以满足的最小正整数的值为．
故答案为：．
利用，结合等差数列的定义与通项公式，可得，再根据等差数列的求和公式，求解即可．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握等差数列的定义、通项公式与前项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设的对称点仍在双曲线右支，由，
得，即恒成立，
恒为锐角，即，
其中一条渐近线的斜率，
，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
取的对称点，结合，可得，然后可得渐近线夹角，代入渐近线斜率计算即可求得．
本题考查了双曲线的性质，是中档题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，由，，
可得，，解得，，
则；
数列是公比为的等比数列，且，可得，
即有；
．
【解析】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求；
运用数列的分组求和与等差数列、等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：由圆：得圆心，半径，
设：，即，
所以，解得，
所以切线为，
经验证也是圆的切线，
所以直线的方程为：或；
设，则，
解得，；或，，
故所求圆的方程为或．
【解析】待定系数法设出切线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求切线的斜率，求出切线；
根据圆心在直线上，以及两圆外切的条件列出圆心坐标的方程组，求出圆心坐标即可．
本题考查圆的切线的求法以及圆与圆外切时的性质，属于中档题．
19.【答案】解：取的中点，连接，，
平面，，
平面，
，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空问直角坐标系，
则，，
所以，
由于，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
因为平面，所以平面的一个法向量为，
则，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】取的中点，连接，，利用已知条件可证，，两两垂直，然后建系利用向量法即可求解．
本题考查了向量法在解决空间角上的应用，属于中档题．
20.【答案】解：由得，，
即，
又，，
，
即数列是首项为，公比为的等比数列，
；
由知，，，
则，
，
数列的前项和．
【解析】由得，，即，进而证得数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；
由知，，则，再利用裂项相消法求和即可．
本题主要考查了数列的递推式，考查了裂项相消法求和，属于中档题．
21.【答案】解：由短轴长为，可得，即，
将代入可得：，解得，
所以椭圆的方程为：；
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
可得，，
因为，所以，
所以，
即，
即，
所以，
整理可得：，
解得，
所以直线的方程为：，
即．
【解析】由短轴长，可得的值，再将点的坐标代入椭圆的方程，可得的值，进而求出椭圆的方程；
由题意可得直线的斜率不为，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，因为，所以，整理可得参数的值，即求出直线的方程．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，用向量的方法解决两条直线的垂直，属于中档题．
22.【答案】解：由题意可知是线段的中点，因为，所以为的中垂线，
即，又因为，即点到点的距离与到直线的距离相等，
设，则，
化简得，
所以动点的轨迹的方程为．
证明：设直线的方程为，设点，，
联立，得，
由韦达定理可得，，
又因为直线的方程为，
将代入，可得，即点，
所以，
因为，则，
所以直线的方程为，
联立，
得，则，
故，，
故G，，三点共线．
【解析】由题意得点到点的距离与到直线的距离相等，设，则，化简可得结论；
设直线的方程为，设点，，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理求解即可．
本题考查抛物线的方程和性质，主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题．
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