四川省部分名校2023-2024学年高三上学期期末联合考试文科数学试题（含解析）

四川省部分名校2023-2024学年高三上学期期末联合考试
数学试题（文科）
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合的一个真子集可以为（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（ ）
A．28 B．30 C．32 D．36
4．（ ）
A． B． C． D．
5．某咖啡店门前有一个临时停车位，小轿车在此停车时长超过10分钟就会被贴罚单．某顾客将小轿车停在该车位后，来到该咖啡店消费，忽略该顾客从车内到咖啡店以及从咖啡店回到车内的时间，若该顾客上午10:02到达咖啡店内，他将在当天上午10:08至上午10:15的任意时刻离开咖啡店回到车内，则他的车不会被贴罚单的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．若某圆锥的底面半径，且底面的周长等于母线长，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量满足，，，且，则（ ）
A．5 B． C．10 D．
8．在梯形中，，，是边长为3的正三角形，则（ ）
A． B． C． D．
9．设，满足约束条件其中．若的最大值为10，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．若函数的图象关于直线对称，且是大于的最小正数，则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
11．已知为定义在上的奇函数，当时，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知双曲线的两个焦点为，，为上一点，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．若，则______．
14．已知圆经过抛物线的焦点，点在上，若点到的距离为6，则点的纵坐标为______．
15．函数的极大值为______．
16．在长方体中，，侧面的面积为6，与底面所成角的正切值为，则该长方体外接球的表面积为______．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
某校有3名百米短跑运动员甲、乙、丙，已知甲最近10次百米短跑的时间（单位：s）的数据如下表：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次
时间/s 12 12.4 12 12.5 12 11.8 12.2 11.5 11.6 12
（1）计算甲这10次百米短跑的时间的平均数与方差；
（2）经过计算，乙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12，0.08，丙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12.4，0.08，若要从甲、乙、丙三人中选一人代表学校参加市区的百米短跑比赛，请判断该选择谁，说明你的理由．
18．（12分）
在等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，是边长为2的正三角形，延长至点，使得为线段的中点．
（1）证明：平面．
（2）若，求四棱雉的体积．
20．（12分）
已知椭圆的长轴为线段，短轴为线段，四边形的面积为4，且的焦距为．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与相交于，两点，点，且的面积小于，求的取值范围．
21．（12分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：．
（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）点的极坐标为，为曲线上任意一点，为线段的中点，求动点的轨迹的直角坐标方程．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知．
（1）若，证明与中至少有一个小于0；
（2）若均为正数，求的最小值．
2024届高三数学试题参考答案（文科）
1．C 是集合的子集，但不是真子集，是集合的真子集．
2．A ．
3．A 由题意可知抽取到的男性职工人数为，女性职工人数为，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多．
4．D ．
5．C 依题意可得他在当天上午10:08至上午10:12的任意时刻离开咖啡店回到车内，他的车不会被贴罚单，故由几何概型可知他的车不会被贴罚单的概率为．
6．A 设该圆雉的高为，依题意可得，则，解得．
7．C 由题意可知，且，则，，所以．
8．B 因为是边长为3的正三角形，所以，．又，所以．由正弦定理得，则．
9．A 作出可行域（图略），当直线经过点）时，取得最大值，且最大值为，解得．
10．C 因为函数的图象关于直线对称，所以，得．又是大于的最小正数，所以，所以数列的前10项和为．
11．D 依题意作出的大致图象，如图所示．
令，得，
当时，，因为，所以由图可知，当时，直线与的图象有5个公共点，从而有5个零点．
12．D 如图，取线段的中点，连接，因为，，所以，且，所以．设，则，所以的离心率．
13． ．
14． 依题意可得，则，解得．
15．（或） ，当时，，当时，．
所以的极大值为．
16． 在长方体中，因为侧面的面积为6，所以，因为与底面所成角的正切值为，所以，所以，，所以该长方体外接球的表面积．
17．解：（1）甲这10次百米短跑的时间的平均数为，
方差为．
（2）因为百米短跑的时间越短，成绩越好，
所以从数据的平均水平看，甲与乙的成绩更好．
因为方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小，所以从数据的波动情况看，甲的成绩波动最大，乙和丙的波动水平相当，所以应该选乙参加市区的百米短跑比赛．
18．解：（1）设公差为，则，
解得，，
所以．
（2）由（1）知，
所以
．
19．（1）证明：连接，交于点，连接，
因为底面为矩形，所以为线段的中点．
又为线段的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：记的中点为，连接，，
因为是边长为2的正三角形，所以．
又平面平面，且平面平面，
所以平面，则．
又，，所以平面，
则．
因为四边形为矩形，所以，
则，
即，解得．
因为为线段的中点，所以到的距离等于到的距离的2倍，
所以四棱雉的体积．
20．解：（1）由题意可得
解得，，所以的标准方程为．
（2）点到直线的距离．
设，，联立方程组
整理得，
则，即，
，，
所以，
则的面积，
得，又，（由，，三点不共线可得），
所以的取值范围是．
21．（1）解：，
则，
因为，所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）证明：的定义域为，要证明，
只需证．
设函数，则．
当时，；当时，．
所以，．
设函数，则，
所以，从而，故．
22．解：（1）由，得，
则，
所以，所以的直角坐标方程为．
（2）因为点的极坐标为，所以点的直角坐标为．
设，，则，，得，．
因为在曲线上，所以，所以，
即，所以动点的轨迹的直角坐标方程为．
23．（1）证明：假设与中没有一个小于0，即，，
因为，所以，
这与矛盾，所以假设不成立，
所以与中至少有一个小于0．
（2）解：，
，
因为均为正数，所以由柯西不等式可得，
当且仅当时，等号成立．
故的最小值为．