高三数学试题（B）参考答案
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．C 2．B 3．C 4．A 5．C 6．B 7．B 8．A
二、多项选择题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分．
9．ACD 10．BD 11．AD 12．BC
三、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在答题卡的相应位置．
2π 13 1 12 4 6
13． 14． 15． 16． ,+∞
3 14 e 3
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10 分）
2
解:（1）因为2cos 2C = 3 5cos (23π 2C )=3 5cos (π 2C )=3 + 5cos2C， ...........2 分
1
所以2cos22C 5cos2C 3 = 0，解得cos2C = 或cos2C = 3（舍去），
2
1
所以2cos
2
C 1 = ，即cosC = ±
1
， ...........4 分
2 2
< < π π因为0 C ，所以C = . ...........5 分
2 3
（2）如图，因为BD = 2AD，BD =CD，设 AD =m，
BD = CD = 2m，
在 ABC中，由余弦定理得9m2 = AC2 +BC2 AC BC，
在 BCD中，由余弦定理得
2 2
∠ = BD +CD BC
2
= (2m)
2 + (2m)2 BC2 2= 8m BC
2
cos BDC ， .........6 分
2BD CD 2 × 2m × 2m 8m2
在 ADC中，由余弦定理得
AD2 2∠ = +CD AC
2 m2 + (2m)2 AC2 5m2= = AC
2
cos ADC ， .........7 分
2AD CD 2m × 2m 4m2
因为∠BDC + ∠ADC = π ，所以cos∠BDC + cos∠ADC = 0 ，
8m2 BC2 + 5m
2 AC2
即 = 0，所以18m2 BC2 2AC2 = 0，
8m2 4m2
2 (AC 2 + BC 2 AC BC ) BC 2 2AC 2所以 = 0 ，
因为BC ≠ 0，所以BC = 2AC， ...........9 分
AC = 1所以 . ...........10 分
BC 2
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18.（12 分）
an+1 an
解:（1）由已知得 = 2 ， ...........1 分
an an 1
令 cn 1 =
an = an+1 cc n *，则 n ，即 = 2 (n ≥ 2,n∈N )，
an 1 an cn 1
所以数列{cn}
a2
为首项为c1 = =1，公比为 2 的等比数列， ...........3 分
a1
c = 2n ( a1 ≥ n+1 n 1 *所以 n 2,n∈ *Nn )，即 = 2 (n ≥ 2,n∈N )， an
a3 = a = 2 a a4所以 2, 2 , 5 = 23 , n+1 = 2n 1，
a2 a3 a4 an
a n(n 1)3 a a5 a4 n+1 = 2× 22 × 23 × 2n 1 a所以 ，即 n+1 = 2 2 ， ...........5 分
a2 a3 a4 an a2
n(n 1) (n 1)(n 2+ )则 1 +1a = 2 2 ，故a = 2 2 ；经检验满足题意； ...........6 分
n+1 n
log2 2 1
（2）由已知得bn = loga 2 = =+ ， ...........7 分 n 1 log2 an+1 log2 an+1
n(n 1) +1 n n 1
= ( ) n
2 n + 2
其中 log2 an+1 log 2
2 = +1 = ， ...........8 分 2
2 2
所以bn =
2 < 2 = 2 = 1 1 2
2 + 2
，
n n 2 n n n (n 1) n 1 n
当n = 2时，b1 +b2 =1+
1 ≤ 5 2 ，
2 2 2
+ 1 1 1 1 1 1 1 所以b1 b2 + b3 + + bn ≤1+ + 2 + + +
2 2 3 3 4 n 1 n
= 3 + 12
1 = 5 2 . ...........12 分
2 2 n 2 n
19.（12 分）
解:（1）当a =
1
时，设 g (x) = f ( x) ln x + x 1 = e x 1 ln x 1，
e
′( 1则 g x) = ex 1 ( x > 0) x 1 1，设u ( x) = e (x > 0)， ...........1 分
x x
由函数 y = ex 1
1
和 y = 在(0,+∞)上单调递增，
x
u (x) u (1) = g′(1) = e0知函数 在(0,+∞)上单调递增，且 1 = 0， ...........3 分
所以当 x∈ (0,1)时， g′( x) < 0，即 g (x)在 (0,1) 上单调递减，
当 x∈(1,+∞)时， g′(x) > 0，即 g (x)在(1,+∞)上单调递增，
所以 g (x) = g (1) = 0
min
即 f (x) ln x + x 1 ≥ 0在(0,+∞)上恒成立； ...........6 分
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（2）由 f ( x) = aex x = 0，得a = x ，令h ( x) = x
ex ex
，
则 f (x)有 2 个零点，等价于函数 y = h(x) 与 y = a的图象有 2 个交点，
1 x
令h′(x) = = 0x ，得 x =1， ...........8 分 e
当 x∈ (-∞,1)时h′(x) > 0 ，当 x∈ (1,+∞)时 h′(x) < 0，
则函数h ( x)在(-∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
故h (x) = h ( 11) = ， ...........10 分
max e
当 x < 0 时，h ( x ) < 0，当 x趋向于正无穷时， y = ex趋向于正无穷的速率远远比 y = x
大，故h ( x)趋向于 0，
作出函数h ( x)的大致图象如下：
1 x
结合图象可知，当0 < a < 时，h ( x) = 与 y = a的图
e ex
象有 2 个交点，
1
故 a的取值范围是 0, ． ...........12 分
e
20.（12 分）
解:（1）连接OM ,MN ,BM ，因为M ,N是底面半圆弧AB上的两个三等分点，
所以有∠MON = ∠NOB = 60°，又因为
OM =ON =OB = 2，
所以 MON , NOB都为正三角形， ......1 分
所以MN = NB = BO =OM，四边形OMNB是菱形，
记 ON与 BM的交点为Q，Q为 ON和 BM的中点，
因为∠PON = 60°,OP =ON，所以三角形 OPN为正
三角形，
1
所以PQ = 3 = BM ，所以PB ⊥ PM ， ...........3 分
2
因为 P是半球面上一点，AB是半球 O的直径，所以PB ⊥ PA，
因为PM ∩ PA = P，PM ,PA 平面PAM ，
所以PB ⊥ 平面PAM ． ...........5 分
（2）因为点 P在底面圆内的射影恰在 ON上，
由（1）知Q为 ON的中点， OPN为正三角形，所
以 PQ ⊥ ON，所以PQ⊥底面 ABM， .....6 分
因为四边形OMNB是菱形，所以MB ⊥ ON，即
QM、QN、PQ两两互相垂直，
以点Q为坐标原点，QM ，QN，QP分别为 x，y，
z轴，建立空间直角坐标系Q xyz，如图所示，
则O (0, 1,0) ,M ( 3,0,0) ,B ( 3,0,0) ,N (0,1,0) ,P (0,0, 3 )，
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{#{QQABSQQUogiIAAJAAQhCAwUaCACQkAAACIoOgBAEIAAASBNABAA=}#}
( 所以PM = 3,0, 3 )，OP = (0,1, 3 )，OB = ( 3,1,0)， ...........8 分
设平面PAB的一个法向量为m = (x, y, z )，
m OP = 0, y + 3z = 0,
则 所以 取 x =1，则m = (1, 3, 1)， ........10 分
m OB = 0, 3x + y = 0,
3 + 3 10
设直线 PM与平面 PAB的所成角为θ ，所以sinθ = cos PM ,m = = ，
6 × 5 5
10
故直线 PM与平面 PAB所成角的正弦值为 ． ...........12 分
5
21.（12 分）
3 2
解:（1）因为 P (A B) = ， P (B A) = ，
5 3
3
所以对杭州亚运会项目了解的女生为 ×50 = 30 ，...........1 分
5
30 = 45
了解亚运会项目的学生为 2 ，...........2 分
3
结合男生和女生各 50 名，填写 2×2 列联表为：
了解 不了解 合计
男生 15 35 50
女生 30 20 50
合计 45 55 100
...........4 分
零假设 H0：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，
100×
χ 2 (15× 20
2
30× 35) 100
根据列联表中的数据 = = ≈ 9.091<10.828 = x ，
× × 0.00150 50 45× 55 11
依据 α＝0.001 的独立性检验，可以推断 H0成立，
即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关............6 分
（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取 9 名学生，
15
其中男生人数为 ×9 = 3（人）；...........7 分
15 + 30
30
女生人数为 ×9 = 6（人），...........8 分
15 + 30
由题意可得，随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3..........9 分
0 4 1 3
P (X = 0) C= 3C6 = 5 C C 10P X =1 = 3 6 =4 ， ( ) ，
C9 42 C
4 21
9
C2 2 3 1
P (X = 2) = 3C6 C C= 5 ， P (X = 3) = 3 6 = 1 .
C4 14 C4 219 9
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{#{QQABSQQUogiIAAJAAQhCAwUaCACQkAAACIoOgBAEIAAASBNABAA=}#}
随机变量 X的分布列如下：
X 0 1 2 3
5 10 5 1
P
42 21 14 21
( ) = × 5 + × 10 5 1 4则 E X 0 1 + 2× + 3× = ............12 分
42 21 14 21 3
22.（12 分）
2 2 2 2
7 1 1 1
解:（1）由椭圆定义知 PF1 + PF2 = + + + = 2 2 = 2a，
3 3 3 3
解得 = .又c =1，所以b2a 2 = a 2 c 2 = 1， ...........3 分
2
x
故椭圆 C的方程为 + y2 = 1. ...........4 分
2
α = π π（2）①当 时，由对称性得β = ,α β = 0 . ...........5 分
2 2
α ≠ π②当 时，设直线AB的方程为 y = k ( x 1) ,k = tanα ，
2
且 k ≠ 0，
A(x1, y1 ) ,B (x2 , y2 ) ,M ( x3 , y3 ) ,N ( x4 , y4 )，当 x1 ≠ 1时，
y1
设直线 AF y = k x +1 k =1 的方程为 1 ( )， 1 x1 + ， 1
y = k1 ( x + 1) , (1+ 2k 2 ) x2 + 4k 2 2由 x2 得2 1 1 x + 2k1 2 = 0，易知 > 0，
+ y = 1,
2
2 2 22k 2 2y21 2( x1 +1) 2 x21 2( x +1)= 1 = = 1 = 3x
2
1 4x则 x 11x3 2 2 2 ， 1+ 2k1 ( x1 +1) + 2y21 (x +1) + 2 x2 2x1 + 31 1
3x1 4 y1
得 x3 = , y =+ 3 + . ...........7 分 2x1 3 2x1 3
y2
同理，当 x2 ≠ 1时，设直线BF的方程为 y = k2 (x +1) ,k =1 2
x2 +
，
1
= 3x2 4 = y2则 x4 , y4 . ...........8 分
2x2 + 3 2x2 + 3
y1 y2
y y 2x + 3 2x + 3 k (x 1 2x + 3 k x 1 2x + 3
则 tan β = 4 3 = = 1
) ( 2 ) ( 2 )( )1 2 1
x x 3x + 4 3x + 44 3 1 2 (3x1 + 4) (2x2 + 3) (3x2 + 4)(2x1 + 3)
2x1 + 3 2x2 + 3
5k ( x
= 1
x2 ) = 5k = 5 tanα .
x1 x2
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{#{QQABSQQUogiIAAJAAQhCAwUaCACQkAAACIoOgBAEIAAASBNABAA=}#}
2
当 x1 =
( 11 ) 2时， + y2 =1，解得 y = ± ，
2 2
2
由椭圆的对称性，不妨设 A 1, ，
2
2
由于F
0
2 (1,0)，故 = 2 ， k tanα = 2 =
1 0 4
此时直线 AB : y = 2 (x 1)，联立椭圆方程得5x2 2x 7 = 0，
4
7 7 2 7 2
解得 x = 或 1（舍去），当 x = 时， y = × 1 = ，
5 5 4 5 10
7 2 2 41 2
故B , ，同理可得M 1, ，N , ，
5 10 2 29 58
2 + 2
则 tan β = 58 2 = 5 2 ，满足 tan β = 5 tan α . ...........10 分
41 + 41
29
tan (α β ) = tanα tan β = 4k = 4
所以 1+ tanα tan β 1+ 5k 2 1 .
5k +
k
α β ∈ π 当 k > 0时， , 0, , tan (α β ) < 0,α β < 0 .
2
当 k < 0时，α
π
, β ∈ , π ,α β ∈
π π
, ，
2 2 2
此时 tan (α β ) > 0 ，故α β > 0，
(α β ) = 4 = 4 ≤ 2 5tan 5
所以 + 1 + 1 5 ，当且仅当 k = 时等号成立.
5k 5k
k
5
k
综上，当α β 5 5取得最大值时，直线 AB的方程为 y = x + . ........12 分
5 5
高三数学答案（B）第 6 页（共 6 页）
{#{QQABSQQUogiIAAJAAQhCAwUaCACQkAAACIoOgBAEIAAASBNABAA=}#}菏泽市2023-2024 学年度第一学期期末考试高三数学试题 (B)
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1、若集合 满足 , 则 与 之间的关系是
A. B. C. D.
2、复数 等于它共轭复数的倒数的充要条件是
A. B. C. D.
3、二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌, 体现着我国古代劳动人民的智慧. 四句诗歌 “春雨惊春清谷天, 夏满芒夏暑相连; 秋处露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒” '中, 每一句诗歌的开头一字代表着季节, 每一句诗歌包含了这个季节中的 6 个节气. 若从 24 个节气中任选 2 个节气, 这 2 个节气恰好在一个季节的概率为
A. B. C. D.
4、已知 , 则
A. B. C. D.
5、我们把由数字 0 和 1 组成的数列称为 数列, 数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用, 把斐波那契数列 中的奇数换成 0 , 偶数换成 1, 可得到 数列 , 若数列 的前 项和为 , 且 , 则 的值可能是
A. 100 B. 201 C. 302 D. 399
6、如图所示, 正三棱柱 的所有棱长均为 1 , 点 分别为棱 的中点, 点 为线段 上的动点. 则
A. 直线 与直线 可能相交
B. 直线 与直线 始终异面
C. 直线 与直线 可能垂直
D. 直线 与直线 不可能垂直
7、已知双曲线 的左、右焦点分别是 , 点 是 的右支上的一点（异于顶点), 过 作 的角平分线的垂线, 垂足是 是原点, 则
A. 随 点变化而变化 B. 5 C. 4 D. 2
8、物种多样性是指一定区域内动物、植物、微生物等生物种类的丰富程度, 关系着人类福祉,是人类赖以生存和发展的重要基础. 通常用香农——维纳指数 来衡量一个群落的物种多样性. , 其中 为群落中物种总数, 为第 个物种的个体数量占群落中所有物种个体数量的比例. 已知某地区一群落初始指数为 , 群落中所有物种个体数量为 , 在引入数量为 的一个新物种后, 指数
A. B.
C. D.
二、多项选择题: 本大题共 4 个小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.
9、已知 , 则
A. B. C. D.
10、对于数列 ,定义: , 称数列 是 的“倒差数列”,则
A. 若数列 单调递增, 则数列 单调递增
B. 若 , 则数列 是周期数列
C. 若 , 则数列 没有最小值
D. 若 , 则数列 有最大值
11、已知是坐标原点,平面向量 , 且 是单位向量, , ,则
A.
B. 若 三点共线, 则
C. 若向量 与 垂直, 则 的最小值为 1
D. 向量 与 的夹角正切值的最大值为
12、勒洛四面体是一个非常神奇的 “四面体” , 它能在两个平行平面间自由转动, 并且始终保持与两平面都接触, 因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机. 勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心, 以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示, 若正四面体 的棱长为2，则
甲 乙
A. 勒洛四面体 被平面 截得的截面面积是
B. 勒洛四面体 内切球的半径是
C. 勒洛四面体的截面面积的最大值为
D. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
三、填空题: 本大题共 4 个小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答题卡的相应位置.
13、若函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位所得到, 且函数 在区间 上是减函数, 则 ___________________
14、有 8 件产品, 其中 4 件是次品, 从中取 3 件, 若 表示取得次品的件数, 则 ___________
15、若直线 与曲线 相切, 则实数 的最小值为____________
16、已知圆 , 抛物线 . 若对于 上任意一点 , 使得对圆 上的任意两点 , 总有 , 则 的取值范围是________________
四、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、(10 分) 在锐角 中, 内角 的对边分别为 .
(1) 求角 ;
(2) 若点 在 上, , 求 的值.
18、(12 分) 已知正项数列 中， .
(1) 求 的通项公式;
(2) 若 , 证明: .
19、(12 分) 已知函数 .
（1）当 时, 证明: 在 上恒成立;
（2）若 有 2 个零点, 求 的取值范围.
20、(12 分) 如图, 是半球 的直径, 是底面半圆弧 上的两个三等分点, 是半球面上一点, 且 .
(1) 证明: 平面 ;
(2) 若点 在底面圆内的射影恰在 上, 求直线 与平面 所成角的正弦值.
21、（12 分） 2023 年 9 月 23 日第 19 届亚运会在杭州开幕, 本届亚运会共设 40 个竟赛大项,包括 31 个奥运项目和 9 个非奥运项目. 为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况,某学校进行了一次抽样调查, 分别抽取男生和女生各 50 名作为样本, 设事件 “了解亚运会项目” , “学生为女生”, 据统计 .
(1) 根据已知条件, 填写 列联表, 并依据 的独立性检验, 能否认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关
(2) 现从该校了解亚运会项目的学生中, 采用分层随机抽样的方法随机抽取 9 名学生, 再从这 9 名学生中随机抽取 4 人, 设抽取的 4 人中男生的人数为 , 求 的分布列和数学期望.
附: .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
22、(12 分) 已知椭圆 的两焦点分别为 , 并且经过点 .
(1) 求椭圆 的方程;
(2) 过 的直线交椭圆 于 两点, 设直线 与 的另一个交点分别为 ,记直线 的倾斜角分别为 , 当 取得最大值时, 求直线 的方程.
