章末综合测评(一) 空间向量与立体几何
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)，则a·(a＋3b)＝( )
A．(0,34,10) B．(－3,19,7)
C．44 D．23
C [a＋3b＝(－3,2,5)＋3(1,5，－1)＝(0,17,2)，则a·(a＋3b)＝(－3,2,5)·(0,17,2)＝0＋34＋10＝44．]
2．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于( )
A．1 B．2 C． D．3
B [若l1⊥l2，则a⊥b，∴a·b＝0，
∴1×(－2)＋2×3＋(－2m)＝0，解得m＝2．]
3．在空间四边形ABCD中，若向量＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为( )
A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)
B [取AC中点M，连接ME，MF(图略)，
则＝＝，＝＝，
所以＝－＝(－2，－3，－3)，故选B．]
4．如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若＝＋x＋y，则( )
A．x＝－，y＝
B．x＝，y＝－
C．x＝－，y＝－
D．x＝，y＝
A [＝＋＋＝－＋＋(＋)＝－＋＋＋＝－＋＋，∴x＝－，y＝．]
5．已知A(2，－5,1)，B(2，－4,2)，C(1，－4,1)，则与的夹角为( )
A．30° B．60° C．45° D．90°
B [由题意得＝(0,1,1)，＝(－1,1,0)，cos〈，〉＝＝＝，所以与的夹角为60°．]
6．在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是( )
A． B． C． D．
C [以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．
设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A1(1,0,1)，D(0,0,0)，
＝(－1,0,1)，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，
设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1，－1，－1)．
设直线BC1与平面A1BD所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝，
所以直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是．
故选C．]
7．如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离( )
A．等于a
B．和EF的长度有关
C．等于a
D．和点Q的位置有关
A [取B1C1的中点G，连接PG，CG，DP，则PG∥CD，所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关，B错．又A1B1∥平面PGCD，所以点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错．
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则C(0，a,0)，D(0,0,0)，A1(a,0，a)，P，∴＝(0，a,0)，＝(a,0，a)，＝，
设n＝(x，y，z)是平面PGCD的法向量，
则由得
令z＝1，则x＝－2，y＝0，所以n＝(－2,0,1)是平面PGCD的一个法向量．
设点Q到平面PEF的距离为d，则d＝＝＝，A对，C错．故选A．
]
8．如图所示，ABCD A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
B [以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6,3,0)，F(3,6,0)时，A1，E，F，C1共面，设平面A1DE的法向量为n1＝(a，b，c)，依题意得
可取n1＝(－1,2,1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1,1)，
故平面A1DE与平面C1DF的夹角的余弦值为＝．故选B．]
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)
9．已知正方体ABCD A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有( )
A．＋与＋是一对相反向量
B．－与－是一对相反向量
C．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
D．－与－是一对相反向量
ACD [∵O为正方体的中心，∴＝－，＝－，故＋＝－(＋)，同理可得＋＝－(＋)，故＋＋＋＝－(＋＋＋)，∴AC正确；∵－＝，－＝，∴－与－是两个相等的向量，∴B不正确；∵－＝，－＝＝－，∴－＝－(－)，∴D正确．]
10．在以下选项中，不正确的命题有( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面
D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底
ABC [A．|a|－|b|＝|a＋b| a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；B．b需为非零向量，故不正确；C．因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；D．由基底的定义知正确．]
11．如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2，下面选项正确的有( )
A．BF∥平面ADE
B．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为
C．若平面BDE与平面BDF夹角的余弦值为，则线段CF的长为
D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为
ABC [由题意知，AB、AD、AE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
设CF＝t，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，F(1,2，t)，
对于A，＝(0,2，t)，平面ADE的法向量为m＝(1,0,0)，
因为m·＝0，所以BF∥平面ADE，所以A正确；
对于B，平面BDE的法向量为n＝(2,2,1)，＝(－1，－2,2)，
直线CE与平面BDE所成角的正弦值为＝＝，所以B正确；
对于C，＝(－1,1,0)，＝(0,2，t)，设平面BDF的法向量为k＝(x，y，z)，则令y＝t，k＝(t，t，－2)，
平面BDE与平面BDF夹角的余弦值为＝＝，解得t＝，所以C正确；对于D，由B知D错误；
故选ABC．]
12．如图1是一副直角三角板的示意图．现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD，如图2所示，则下列结论中正确的是( )
图1 图2
A．·＝0
B．平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直
C．异面直线BC与AD所成的角为60°
D．直线DC与平面ABC所成的角为30°
AD [以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设BD＝2，则
B(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0，2，0)，A(0，，)，∴＝(2,0,0)，＝(0，，－)，＝(0,2，0)，＝(2，－，－)，＝(－2,2，0)．
∴·＝(2,0,0)·(0，，－)＝0，A正确；易得平面BCD的一个法向量为n1＝(0,0，)，平面ACD的一个法向量为n2＝(，1,1)，n1·n2≠0，B错误；
|cos〈，〉|＝＝＝≠，C错误；易得平面ABC的一个法向量为＝(2,0,0)，设直线DC与平面ABC所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，故D正确．]
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．
[设M(x，y，z)，又＝(－1,1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，由题意得∴
∴点M的坐标为．]
14．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c共面，则λ＝________．
[易知a与b不共线，由共面向量定理可知，要使a，b，c共面，则必存在实数x，y，使得c＝xa＋yb，即解得]
15．已知A(0,0，－x)，B(1，，2)，C(x，，2)三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且＝x＋2x＋4，则x＝________，与的夹角为________．
－1 [由A，B，C，M四点共面可知x＋2x＋4＝1，∴x＝－1．
∴A(0,0,1)，C(－1，，2)，
∴＝(1，，1)，＝(－1，，1)，
∴cos〈，〉＝＝，
即与的夹角为．]
16．如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，A1A⊥平面ABCD，A1A＝A1D1＝1，AB＝AD＝2，则直线C1C与平面ACD1所成角的正弦值为________．
[根据题意，建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(2,2,0)，D1(0,1,1)，D(0,2,0)，C1(1,1,1)，＝(1,1，－1)，＝(2,2,0)，＝(0,1,1)．
设n＝(x，y，z)为平面ACD1的法向量，
则所以
可取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1,1)．
设直线C1C与平面ACD1所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，
所以直线C1C与平面ACD1所成角的正弦值为．]
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝．
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；
(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．
[解] (1)∵c∥，∴存在实数m，
使得c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)．
∵|c|＝3，
∴＝3|m|＝3，∴m＝±1．∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1．
又∵|a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－．
(3)∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，
∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，
∴k＝2或k＝－．
∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－．
18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
(1)求证：B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD．
[解] 如图，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)．
(1)设BA＝a，则A(a,0,0)．
所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)．
所以·＝0，
·＝0＋4－4＝0．
所以B1D⊥BA，B1D⊥BD．
又BA∩BD＝B，
所以B1D⊥平面ABD．
(2)由题意及(1)，知E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，所以＝，＝(0,1,1)．
所以·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0．
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF．
又EG∩EF＝E，
所以B1D⊥平面EGF．
由(1)，知B1D⊥平面ABD，
故平面EGF∥平面ABD．
19．(本小题满分12分)如图，已知四边形ABCD为矩形，四边形ABEF为直角梯形，FA⊥AB，AD＝AF＝FE＝1，AB＝2，AD⊥BE．
(1)求证：BE⊥DE；
(2)求点F到平面CBE的距离．
[解] ∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，
又AD⊥BE，AB∩BE＝B，
∴AD⊥平面ABEF，
又AD 平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ABEF．
∵FA⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
∴FA⊥平面ABCD．∴FA⊥AD．
(1)证明：如图，建立空间直角坐标系，
则B(0,2,0)，C(1,2,0)，
D(1,0,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，
∴＝(0，－1,1)，＝
(－1,1,1)，
∴·＝0×(－1)＋(－1)×1＋1×1＝0，
∴⊥，∴BE⊥DE．
(2)由(1)得＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，＝(0,1,0)，
设n＝(x，y，z)是平面CBE的法向量，则由
得
令y＝1，得z＝1，
∴n＝(0,1,1)是平面CBE的一个法向量．
设点F到平面CBE的距离为d，
则d＝＝＝．
∴点F到平面CBE的距离为．
20．(本小题满分12分)图1是直角梯形ABCD，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝2，DC＝3，AD＝，＝2，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1＝，如图2．
图1 图2
(1)求证：平面BC1E⊥平面ABED；
(2)已知点P为线段DC1上一点，且PC1＝2PD，求直线BP与平面ABC1所成角的正弦值．
[解] (1)证明：如图，连接AE，由题意可知，AE＝2，
因为CE∥BA且CE＝BA＝AE，
所以四边形ABCE为菱形，
连接AC交BE于点F，则CF⊥BE，
在Rt△ACD中，AC＝＝2，
所以AF＝CF＝，在图2中，AC1＝，
因为AF2＋C1F2＝AC，所以C1F⊥AF，
又C1F⊥BE，BE∩AF＝F，BE，AF 平面ABED，
所以C1F⊥平面ABED，又C1F 平面BC1E，
故平面BC1E⊥平面ABED．
(2)以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则D(0,0,0)，A(，0,0)，B(，2,0)，C1，设P(x，y，z)，
则＝，＝(－x，－y，－z)，因为＝2，
则＝2(－x，－y，－z)，
解得x＝，y＝，z＝，
故点P，
所以＝(0,2,0)，＝，
设平面ABC1的法向量为n＝(a，b，c)，
则即
令a＝2，则c＝1，故n＝(2,0,1)，
又＝，
所以|cos〈，n〉|＝
＝＝，
故直线BP与平面ABC1所成角的正弦值为．
21．(本小题满分12分)如图所示的几何体中，BE⊥BC，EA⊥AC，BC＝2，AC＝2，∠ACB＝45°，AD∥BC，BC＝2AD．
(1)求证：AE⊥平面ABCD；
(2)若∠ABE＝60°，点F在EC上，且满足EF＝2FC，求平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值．
[解] (1)证明：在△ABC中，BC＝2，AC＝2，∠ACB＝45°，
由余弦定理可得AB2＝BC2＋AC2－2×BC×AC×cos 45°＝4，所以AB＝2(负值舍去)，
因为AC2＝AB2＋BC2，
所以△ABC是直角三角形，AB⊥BC．
又BE⊥BC，AB∩BE＝B，
所以BC⊥平面ABE．
因为AE 平面ABE，所以BC⊥AE，
因为EA⊥AC，AC∩BC＝C，
所以AE⊥平面ABCD．
(2)由题易得EB＝2AB＝4，由(1)知，BC⊥平面ABE，所以平面BEC⊥平面ABE，如图，
以B为原点，过点B且垂直于平面BEC的直线为z轴，BE，BC所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系Bxyz，则C(0,2,0)，E(4,0,0)，A(1,0，)，D(1,1，)，
因为EF＝2FC，所以F，
易知＝(0,1,0)，＝，
设平面FAD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝，则x＝9，所以n＝(9,0，)．
由(1)知EA⊥平面ABCD，所以＝(－3,0，)为平面ABCD的一个法向量．
设平面FAD与平面ADC的夹角为α，
则cos α＝＝＝，
所以平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值为．
22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，F为棱PD的中点．
(1)在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE？说明理由；
(2)当平面DFC与平面FBC夹角的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．
[解] (1)在棱AB上存在点E，使得AF∥平面PCE，且E为棱AB的中点．
理由如下：如图，取PC的中点Q，连接EQ，FQ，
由题意得，FQ∥DC且FQ＝CD，
因为AE∥CD且AE＝CD，
所以AE∥FQ且AE＝FQ．
所以四边形AEQF为平行四边形．
所以AF∥EQ．
又EQ 平面PCE，AF 平面PCE，
所以AF∥平面PCE．
(2)连接BD，DE．由题意知△ABD为正三角形，所以ED⊥AB，即ED⊥CD，
又∠ADP＝90°，所以PD⊥AD，且平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD＝AD，所以PD⊥平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设FD＝a，则由题意知F(0,0，a)，C(0,2,0)，
B(，1,0)，
则＝(0,2，－a)，＝(，－1,0)，
设平面FBC的法向量为m＝(x，y，z)．
则
令x＝1，则y＝，z＝，
所以m＝，
易知平面DFC的一个法向量n＝(1,0,0)，
因为平面DFC与平面FBC夹角的余弦值为，
所以|cos〈m，n〉|＝＝，即＝，解得a＝1(负值舍去)．
因为PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，
所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，
由题意知在Rt△PBD中，tan∠PBD＝＝＝1，所以∠PBD＝45°，
所以直线PB与平面ABCD所成的角为45°．章末综合测评(一) 空间向量与立体几何
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)，则a·(a＋3b)＝( )
A．(0,34,10) B．(－3,19,7)
C．44 D．23
2．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于( )
A．1 B．2 C． D．3
3．在空间四边形ABCD中，若向量＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为( )
A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)
4．如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若＝＋x＋y，则( )
A．x＝－，y＝
B．x＝，y＝－
C．x＝－，y＝－
D．x＝，y＝
5．已知A(2，－5,1)，B(2，－4,2)，C(1，－4,1)，则与的夹角为( )
A．30° B．60° C．45° D．90°
6．在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是( )
A． B． C． D．
7．如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离( )
A．等于a
B．和EF的长度有关
C．等于a
D．和点Q的位置有关
8．如图所示，ABCD A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)
9．已知正方体ABCD A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有( )
A．＋与＋是一对相反向量
B．－与－是一对相反向量
C．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
D．－与－是一对相反向量
10．在以下选项中，不正确的命题有( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面
D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底
11．如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2，下面选项正确的有( )
A．BF∥平面ADE
B．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为
C．若平面BDE与平面BDF夹角的余弦值为，则线段CF的长为
D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为
12．如图1是一副直角三角板的示意图．现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD，如图2所示，则下列结论中正确的是( )
图1 图2
A．·＝0
B．平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直
C．异面直线BC与AD所成的角为60°
D．直线DC与平面ABC所成的角为30°
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．
14．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c共面，则λ＝________．
15．已知A(0,0，－x)，B(1，，2)，C(x，，2)三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且＝x＋2x＋4，则x＝________，与的夹角为________．
16．如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，A1A⊥平面ABCD，A1A＝A1D1＝1，AB＝AD＝2，则直线C1C与平面ACD1所成角的正弦值为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝．
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；
(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．
18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
(1)求证：B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD．
19．(本小题满分12分)如图，已知四边形ABCD为矩形，四边形ABEF为直角梯形，FA⊥AB，AD＝AF＝FE＝1，AB＝2，AD⊥BE．
(1)求证：BE⊥DE；
(2)求点F到平面CBE的距离．
20．(本小题满分12分)图1是直角梯形ABCD，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝2，DC＝3，AD＝，＝2，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1＝，如图2．
图1 图2
(1)求证：平面BC1E⊥平面ABED；
(2)已知点P为线段DC1上一点，且PC1＝2PD，求直线BP与平面ABC1所成角的正弦值．
21．(本小题满分12分)如图所示的几何体中，BE⊥BC，EA⊥AC，BC＝2，AC＝2，∠ACB＝45°，AD∥BC，BC＝2AD．
(1)求证：AE⊥平面ABCD；
(2)若∠ABE＝60°，点F在EC上，且满足EF＝2FC，求平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值．
22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，F为棱PD的中点．
(1)在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE？说明理由；
(2)当平面DFC与平面FBC夹角的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．
