课件14张PPT。2.3 一元二次方程根的判别式尝试与探索 我们在运用公式法解一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）时，总是要求b2-4ac≥0.这是为什么？我们知道,任何一个一元二次方程∵a≠0∴4a2>0∵a≠0 ∴4a2>0方程没有实数根.1.3.2. 我们把 叫做一元二次方程
的根的判别式，
用符号“ ”表示，即 .记住了，别搞错! 例题讲解例 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况.
（1） 3x2－x＋1 = 3x ；
（2） 5（x2＋1）= 7x ；
（3） x2－4x = －4 .方程要先化为一般形式，再求判别式 解：（1）原方程化为一般形式为：
3x2－4x＋1 = 0 . 解：（2）原方程化为一般形式为：
5x2－7x＋5 = 0 . 解：（3）原方程化为一般形式为：
x2－4x＋4 = 0 . （1）今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它。
（2）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。
（3）一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)（△=b2-4ac） 1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是 （ ）
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
D2.方程x2-3x+1=0的根的情况是 （ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D.只有一个实数根A3.下列一元一次方程中，有实数根的是 （ ）
A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0
C.x2+x-1=0 D.x2+4=0C 4.若方程 2x2-(k-1)x+8=0 有两个相等的实数根，求k的值.解：又∵方程有两个相等的实数根,2.3 一元二次方程根的判别式
要点感知 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△= .
（1）△>0原方程有 的实数根，其根为x1= ，x2= .
(2)△=0原方程有 的实数根，这两个根为x1=x2=.
(3)△<0原方程 实数根.
注意：在运用一元二次方程根的判别式时，要注意二次项系数a 的条件.
预习练习1-1 (2013·昆明)一元二次方程2x2-5x+1=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
1-2 (2013·大连)若关于x的方程x2-2x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是( )
A.m＜-1 B.m＞-1 C.m＜1 D.m＞1
1-3 (2012·梧州)关于x的一元二次方程(a+1)x2-4x-1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(B)
A.a＞-5 B.a＞-5且a≠-1 C.a＜-5 D.a≥-5且a≠-1
知识点1 不解方程，判断根的情况
1.(2013·泰州)下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是( )
A.x2-3x+1=0 B.x2+1=0 C.x2-2x+1=0 D.x2+2x+3=0
2.一元二次方程ax2+bx+c=0中a，c异号，则方程的根的情况是( )
A.b为任意实数，方程有两个不等的实数根 B.b为任意实数，方程有两个相等的实数根
C.b为任意实数，方程没有实数根 D.无法确定
3.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：
(1)3x2-2x-1=0； (2)2x2-x+1=0； (3)4x-x2=x2+2.
知识点2 根据根的情况，确定字母系数的取值范围
4.(2013·钦州)关于x的一元二次方程3x2-6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A.m＜3 B.m≤3 C.m＞3 D.m≥3
5.已知(m-1)x2+2mx+(m-1)=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A.m> B.m<且m≠1 C.m>且m≠1 D.＜m＜1
6.(2013·张家界)若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是 .
7.已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0，问当k取什么值时，
(1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根；
(3)方程没有实数根.
8.(2013·成都)一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
9.(2013·西宁)已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k-1=0根的情况是( )
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
10.(2013·广州)若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是( )
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法判断
11.(2013·潍坊)已知关于x的方程kx2+(1-k)x-1=0，下列说法正确的是( )
A.当k=0时，方程无解 B.当k=1时，方程有一个实数解
C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解 D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解
12.(2013·新疆)如果关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是 .
13.(2013·兰州)若|b-1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是 .
14.不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)3x2-5x-1=0； (2)x2-8x+16=0； (3)2x2+3x+4=0.
15.已知关于x的方程2x2+kx-1=0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.
挑战自我
16.(2013·乐山)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值.
参考答案
课前预习
要点感知 b2-4ac (1)两个不相等 (2)两个相等 (3)没有≠0
预习练习1-1 A
1-2 D
1-3 B
当堂训练
1.A 2.A
3.(1)Δ=(-2)2-4×3×(-1)=16＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
(2)Δ=(-1)2-4×2×1=-7＜0，∴方程没有实数根.
(3)原方程可整理为x2-2x+1=0，∴Δ=(-2)2-4×1×1=0，∴方程有两个相等的实数根.
4.A 5.C 6.1
7.∵a=2，b=-(4k+1)，c=2k2-1，∴Δ=b2-4ac=[-(4k+1)]2-4×2×(2k2-1)=8k+9.
(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即8k+9＞0，解得k＞.
(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=0，即8k+9=0，解得k=-.
(3)∵方程没有实数根，∴Δ＜0，即8k+9＜0，解得k<-.
课后作业
A 9.C 10.A 11.C 12.k≤4
13.k≤4且k≠0
14.(1)Δ=(-5)2-4×3×(-1)=37>0，∴方程有两个不相等的实数根.
(2)Δ=(-8)2-4×1×16=0，∴方程有两个相等的实数根.
(3)Δ=32-4×2×4=-23<0，∴方程没有实数根.
15.(1)∵b2-4ac=k2-4×2×(-1)=k2+8，无论k取何值，k2≥0，∴k2+8＞0，即b2-4ac＞0，
∴方程2x2+kx-1=0有两个不相等的实数根.
(2)由题意得2×(-1)2-k-1=0，∴k=1，
∴原方程为2x2+x-1=0.解得x1=，x2=-1.
即k=1，方程的另一个根为x=.
16.(1)∵Δ=(2k+1)2-4(k2+k)=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
(2)一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0的解为x=，即x1=k，x2=k+1.
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4.
所以k的值为5或4.
