课件13张PPT。2.4 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程的一般形式 方程的判别式
当?≥０时，方程才有解，可以用求根公式写出它的根
求根公式 这说明，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a ≠ 0）的根的值由方程的系数a，b，c来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？尝试与探索 填表，观察、猜想 问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
②x2+px+q=0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律.（1） x1+x2= ，（2） x1x2= .猜想结论 这表时，当?≥０时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系：
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数与二次项系数的比.证明过程利用求根公式证明 这个关系通常被称为韦达定理 例题讲解例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积：
（1） 2x2－3x＋1 = 0 ；
（2） x2－3x＋2= 10 ；
（3） 7x2－5 = x＋8 . 解：（1）x1＋x2= ，x1x2= .（2）整理，得 x2－3x－8= 0，所以
x1＋x2= －（－3）=3，x1x2=－8.（3）整理，得 7x2－x－13= 0，所以
x1＋x2= ，x1x2= . 例题讲解例2 已知方程５x2+kx-6=0的一个根是２，求它的另一根及 k的值． 解：设另一根为x,根据根与系数的关系，可知
得到 一元二次方程根与系数的关系
两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.1.不解方程，求下列方程两根的和与两根的积各是多少？
（1）x2-3x+1=0; （2）3x2-2x=2;
（3）2x2+3x=0 ; （4）3x2=1.x1+x2=3, x1x2=1.2.已知方程 5x2-7x+k=0 的一个根是2, 求它的另一个根及 k 的值.解：把x=2代入方程，得5×22-7×2+k=0.解得 k=-6.*2.4 一元二次方程根与系数的关系
要点感知 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= .即：两根的和等于一次项系数与二次项系数的 ，两根的积等于常数项与二次项系数的 .
注意：一元二次方程的根与系数的关系前提条件是：①a≠0；②≥0.
预习练习1-1 (2013·武汉)若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1·x2的值是( )
A.3 B.-3 C.2 D.-2
1-2 (2011·泉州)已知一元二次方程x2-4x+3=0的两根为x1，x2，则x1x2=( )
A.4 B.3 C.-4 D.-3
1-3 (2012·眉山)若m、n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是( )
A.-7 B.7 C.3 D.-3
知识点1 利用根与系数的关系求方程的两根的和与积
1.(2013·雅安)已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，则x1+x2的值是( )
A.0 B.2 C.-2 D.4
2.(2012·天门)如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2-2x1-2x2-5=0，那么a的值为( )
A.3 B.-3 C.13 D.-13
3.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积.
(1)2x2-4x-3=0； (2)x2-4x+3=7； (3)5x2-3=10x+4.
4.已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，试求下列代数式的值：
(1)x12+x22； (2)+； (3)(x1+1)(x2+1).
知识点2 利用根与系数的关系解决已知一根求另一根的问题
5.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2，求另一根及c的值.
知识点3 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系的综合运用
6.已知关于x的方程kx2+(k+2)x+=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使方程的两实数根的和等于0？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由.
7.(2011·南通)若3是关于方程x2-5x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根是( )
A.-2 B. 2 C.-5 D.5
8.(2012·株洲)已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=-2，则b与c的值分别为( )
A.b=-1，c=2 B.b=1，c=-2 C.b=1，c=2 D.b=-1，c=-2
9.(2013·湖北)已知α，β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为( )
A.-1 B.9 C.23 D.27
10.(2013·攀枝花)设x1，x2是方程2x2-3x-3=0的两个实数根，则+的值为 .
11.(2013·眉山)已知关于x的一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根分别为α、β，则(α+3)(β+3)= .
12.(2013·玉林)已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根-2，m.求m，n的值.
13.已知x1、x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根.求(x1+x2)2÷的值.
14.关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有两个实数根x1、x2.
(1)求m的取值范围；
(2)若x1、x2满足等式x1x2-x1-x2+1=0，求m的值.
15.(2012·孝感)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x1，x2是原方程的两根，且|x1-x2|=2，求m的值和此时方程的两根.
挑战自我
16.(2013·菏泽)已知：关于x的一元二次方程kx2-(4k+1)x+3k+3=0(k是整数).
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x1＜x2)，设y=x2-x1-2，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由.
参考答案
课前预习
要点感知 - 比的相反数 比
预习练习1-1 B
1-2 B
1-3 B
当堂训练
1.B 2.B
3.(1)x1+x2=-=2，x1x2==-.
(2)原方程整理为x2-4x-4=0，∴x1+x2=4，x1x2=-4.
(3)原方程整理为5x2-10x-7=0，x1+x2=2，x1x2=-.
4.∵x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，∴x1+x2=-6，x1x2=3.
(1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-6)2-2×3=30；
(2)+===10；
(3)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=3+(-6)+1=-2.
5.设x2-6x+c=0的另一根为x2，则2+x2=6，解得x2=4.
由根与系数的关系，得c=2×4=8.
因此，方程的另一根为4，c的值为8.
6.(1)由Δ=(k+2)2-4×k×>0，得k>-1.又∵k≠0，∴k的取值范围是k>-1且k≠0.
(2)不存在符合条件的实数k.理由：
设方程kx2+(k+2)x+=0的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系有x1+x2=，
假设存在，则有-=0，解得k=-2.
由(1)知k=-2时，Δ<0，原方程无实数根，∴不存在符合条件的实数k.
课后作业
7.B 8.D 9.D 10.- 11.9
12.∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根-2，m，
∴解得
即m，n的值分别是1、-2.
13.∵x1、x2是方程x2-4x+1=0的两个实数根，∴x1+x2=4，x1·x2=1.
∴原式=42÷=42÷4=4.
14.(1)原方程整理为x2-5x+6-m=0，∵Δ=b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-m)=1+4m≥0，∴m≥-.
(2)∵x1+x2=5，x1·x2=6-m，∴x1x2-x1-x2+1=x1x2-(x1+x2)+1=6-m-5+1=0，∴m=2.
15.(1)∵b2-4ac=(m+1)2+4＞0，∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=-(m+3)，x1·x2=m+1.
∵|x1-x2|=2，∴(x1-x2)2=(2)2，∴(x1+x2)2-4x1x2=8，
∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8，即m2+2m-3=0，解得m1=-3，m2=1.
当m=-3时，原方程化为x2-2=0，解得x1=，x2=-.
当m=1时，原方程化为x2+4x+2=0，解得x1=-2+，x2=-2-.
16.(1)根据题意得k≠0.
∵Δ=(4k+1)2-4k(3k+3)=4k2-4k+1=(2k-1)2，而k为整数，
∴2k-1≠0，∴(2k-1)2＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)y是变量k的函数.
∵x1+x2=，x1·x2=，
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1·x2=.
∵k为整数，∴2-＞0，而x1＜x2，
∴x2-x1=2-，∴y=2--2=-(k≠0且k为整数)，
∴y是变量k的函数.
