3.4 相似三角形的判定与性质
3.4.1 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形判定的基本定理
要点感知 的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形 .如图，如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC.这两个基本图形，我们把它形象地记为“A”字型和“X”字型.
(“A”型) (“X”型)
预习练习1-1 如图，DE∥FG∥BC，图中相似三角形共有( )
A.4对 B.3对 C.2对 D.1对
1-2 (2013·厦门)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC= .
1-3 如图，QS∥RT，则x= .
知识点 用基本定理判定两个三角形相似
1.如图，ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图，△ABC中，若DE∥AC，=2，DE=4 cm，则AC的长为( )
A.8 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm
3.(2013·河南)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③.其中正确的有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
4.如图，△ABC中，D，E是边AB，AC上的点，要使△ADE∽△ABC，还需要添加一个条件为 .
5.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3 cm，BD=2 cm，则△ADE与△ABC的相似比为 .
6.如图，D，E，F分别是△ABC的AB，AC，BC边上的点，且DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
7.如图，△ABC中，DE∥AB，DE与AC，BC的交点分别为D，E，若=，则等于( )
A. B. C. D.
8.如图，在ABCD中，EF∥AB，DE∶DA=2∶5，若CD=8，则EF的长为( )
A. B. C.6 D.4
9.(2011·威海)如图，在ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF∶CF=( )
A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.2∶5
10.(2013·重庆)如图，在ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3 cm，则AF的长为( )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
11.如图，已知△ABC与△DEF均为等边三角形，则图中的相似三角形有 对.
12.(2013·雅安)如图，在ABCD中，E在AB上，CE，BD交于F，若AE∶BE=4∶3，且BF=2，则DF= .
13.如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3.
(1)求的值；
(2)求BC的长.
14.已知，如图，DF∥BC，交AC于E，CF∥AB.求证：△ABC∽△CFE.
挑战自我
15.如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD=6，BC=10，AE=3，AB=5，求EG，FG的长.
参考答案
课前预习
要点感知 平行于三角形一边 相似
预习练习1-1 B 1-2 6 1-3 137.5
当堂训练
1.B 2.D 3.A 4.DE∥BC 5.
6.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
又∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC.
∴△ADE∽△EFC.
课后作业
7.B 8.B 9.A 10.B 11.3 12.
13.(1)∵AD=4，DB=8，∴AB=AD+DB=4+8=12，∴=.
(2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴=.
∵DE=3，∴=，∴BC=9.
14.∵DF∥BC，交AC于E，∴△ADE∽△ABC，
∵CF∥AB，∴△ADE∽△CFE，∴△ABC∽△CFE.
15.∵在△ABC中，EG∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴.
∵BC=10，AE=3，AB=5，∴，∴EG=6.
∵在△BAD中，EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴.
∵AD=6，AE=3，AB=5，∴，∴EF=.∴FG=EG-EF=.
第2课时 相似三角形的判定定理1
要点感知 分别相等的两个三角形相似.如图所示，△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么△ABC∽△A′B′C′.
预习练习1-1 ∠1=∠2是下列四个图形的共同条件，则四个图中不一定有相似三角形的是( )
1-2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中的相似三角形共有( )
A.4对 B.3对 C.2对 D.1对
知识点 两角分别相等的两三角形相似
1.如图，D是BC上的点，∠ADB=∠BAC，则下列结论正确的是( )
A.△ABC∽△DAC B.△ABC∽△DBA C.△ABD∽△ACD D.以上都不对
2.(2013·长春)如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为( )
A. B. C.2 D.3
3.如图，其中相似三角形共有( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
4.如图，请你添加一个条件 ，使△AOB∽△COD.
5.如图，在△ABC中，AC⊥BC，D是BC延长线上的一点，E是AC上的一点，连接ED，∠A=∠D.求证：△ABC∽△DEC.
6.如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE.求证：△ABE∽△ACD.
7.结合图形及所给条件，下图中无相似三角形的是( )
8.如图，已知AB∥DE，∠AFC=∠E，则图中共有相似三角形( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=6，AB=9，则AD的长是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
10.如图，∠1=∠2，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE.
11.(2012·新疆)如图所示，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD= .
12.(2013·怀化)如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF.
13.已知：如图，△ABC中，AD=DB，∠1=∠2.求证：△ABC∽△EAD.
14.如图，△ABC是等边三角形，且点E，D在直线BC上，且∠DAE=120°.
(1)写出图中所有的相似三角形；
(2)在(1)中选出你喜欢的一对相似三角形进行判定.
挑战自我
15.如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F.
(1)△ABE与△DFA相似吗？请说明理由；
(2)若AB=6，AD=12，AE=10，求DF的长.
参考答案
课前预习
要点感知 两角
预习练习1-1 D 1-2 B
当堂训练
1.B 2.B 3.D 4.∠A=∠C或∠B=∠D(答案不唯一)
5.∵AC⊥BC，∴∠ACB=∠DCE=90°.
又∵∠A=∠D，∴△ABC∽△DEC.
6.∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，∴∠ABE=∠ACD.
又∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC.∴∠DAC=∠EAB.
∴△ABE∽△ACD.
课后作业
7.C 8.C 9.C 10.∠C=∠E或∠B=∠ADE(答案不唯一) 11.
12.在△ABC中，∠B=180°-∠A-∠C=79°，
在△ABC和△DEF中，.
∴△ABC∽△DEF.
13.∵AD=DB，∴∠B=∠BAD.
∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE，∴∠C=∠ADE.
∴△ABC∽△EAD.
14.(1)△EAB∽△EDA，△DAC∽△DEA，△BEA∽△CAD.
(2)∵∠DAE=120°，△ABC是等边三角形，∴∠ABE=120°=∠DAE，∴△EAB∽△EDA.
15.(1)△ABE∽△DFA.理由：
∵在矩形ABCD中，DF⊥AE，∴∠ABE=∠DFA=90°，∠BAE+∠FAD=90°.
而∠FAD+∠FDA=90°，∴∠BAE=∠FDA，∴△ABE∽△DFA.
(2)∵△ABE∽△DFA，∴，∴DF===7.2.
第3课时 相似三角形的判定定理2
要点感知 两边 且 相等的两个三角形相似.如图所示，△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，，那么△ABC∽△A′B′C′.
预习练习1-1 如图，不等长的两对角线AC，BD相交于O点，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若OA∶OC=OB∶OD=1∶2，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是( )
A.甲丙相似，乙丁相似 B.甲丙相似，乙丁不相似
C.甲丙不相似，乙丁相似 D.甲丙不相似，乙丁不相似
1-2 如图，AB与CD相交于点O，OA=3，OB=5，OD=6.当OC= 时，图中的两个三角形相似.
知识点 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
1.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，在下列条件中：①∠AED=∠B；②；③，能够判断△ADE与△ACB相似的是( )
A.①，② B.①，③ C.①，②，③ D.仅①
2.(2012·海南)如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是( )
A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC C. D.
3.(2012·安顺)如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB， .
4.如图，判断图中△AEB和△FEC是否相似?
5.已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP.
6.已知如图，甲、乙中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图乙中AB，CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( )
A.都相似 B.都不相似 C.只有甲相似 D.只有乙相似
7.(2013·南通模拟)如图，已知∠C=∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是( )
A.∠BAD=∠CAE B.∠B=∠D C. D.
8.(2013·宜昌)如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( )
A.(6，0) B.(6，3) C.(6，5) D.(4，2)
9.(2012·衡阳)如图所示，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC=OD，OC∶OA=1∶2)量得CD=10 mm，则x= mm.
10.如图，点B，C在△ADE的边AD，AE上，且AC=3，AB=6，AD=8，AE=16，求证：△ABC∽△AED.
11.如图，△ABC中，点D，E分别在AC，AB边上，且=，BC=6，求DE的长.
挑战自我
12.如图，在△ABC中，AC=8厘米，BC=16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1 cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2 cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
参考答案
课前预习
要点感知 成比例 夹角
预习练习1-1 B 1-2
当堂训练
1.A 2.C 3.∠B=∠E或(答案不唯一)
4.∵，，∴.
又∠AEB=∠FEC，∴△AEB∽△FEC.
5.∵四边形ABCD是正方形，M为CD中点，∴CM=MD=AD.
∵BP=3PC，∴PC=BC=AD=CM.∴=.
∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP∽△ADM.
课后作业
6.A 7.D 8.B 9.2.5
10.∵，=，且∠A=∠A，∴△ABC∽△AED.
11.∵∠A为公共角，，∴△ADE∽△ABC，∴=.
又∵BC=6，∴DE=BC=×6=3.
12.设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-x，CQ=2x，
①当CP与CA是对应边时，，即，解得x=4.
②当CP与BC是对应边时，，即，解得x=.
故经过4 s或s，两个三角形相似.
第4课时 相似三角形的判定定理3
要点感知 三边 的两个三角形相似.如图所示，△ABC和△A′B′C′中，==，那么△ABC∽△A′B′C′.
预习练习1-1 如图，两个三角形的关系是 (填“相似”或“不相似”)，理由是 .
预习练习1-2 下列数据分别表示两个三角形的边，则两个三角形相似的是( )
A.3，2，4与9，12，6 B.2，4，5与4，9，12
C.3，4，5与2，2.5，1 D.2.5，5，4与0.5，1.1，1.5
知识点 三边对应成比例的两个三角形相似
1.甲三角形的三边分别为1，，，乙三角形的三边分别为5，，，则甲乙两个三角形( )
A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断是否相似
2.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.已知△ABC的三边长分别为6 cm、7.5 cm、9 cm，△DEF的一边长为4 cm，这两个三角形相似，则△DEF的另两边长可以是下列哪一组( )
A.2 cm，3 cm B.4 cm，5 cm C.5 cm，6 cm D.6 cm，7 cm
4.(2012·荆门)下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )
5.△ABC和△A′B′C′符合下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似.BC=2，AC=3，AB=4；B′C′=，A′C′=，A′B′=2.
6.如图，在△ABC中，DE是中位线，求证：△ADE∽△ABC.
7.能使△ABC和△DEF相似的条件是( )
A.AB=c,AC=b,BC=a,DE=,EF=
B.AB=1,AC=1.5,BC=2,DE=12,EF=8,DF=1
C.AB=3,AC=4,BC=6,DE=12,EF=8,DF=6
D.AB=,AC=,BC=,DE=,EF=3,DF=3
8.把△ABC的各边都扩大为原来的4倍，得到△A1B1C1，则下列结论不正确的是( )
A.△ABC∽△A1B1C1 B.△ABC和△A1B1C1的各对对应角相等
C.△ABC与△A1B1C1的相似比为 D.△ABC与△A1B1C1的相似比为4
9.(2013·佛山)网格图中每个方格都是边长为1的正方形.若A，B，C，D，E，F都是格点，试证明△ABC∽△DEF.
10.已知，如图，，点B，D，F，E在同一条直线上，请找出图中的相似三角形，并说明理由.
11.如图，O是△ABC内一点，D，E，F分别OA，OB，OC，上的点，DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC.求证：△DEF∽△ABC.
挑战自我
12.(2012·菏泽)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明△ABC是直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的3个格点，并且与△ABC相似.
参考答案
课前预习
要点感知 成比例
预习练习1-1 相似 三边对应成比例的两个三角形相似 1-2 A
当堂训练
1.A 2.C 3.C 4.B
5.在△ABC中，AB>AC>BC，
在△A′B′C′中，A′B′>A′C′>B′C′，
,,2.
∴≠≠,∴△ABC与△A′B′C′不相似.
6.∵DE是△ABC中位线，∴=.
又=，∴==.
∴△ADE∽△ABC.
课后作业
7.C 8.D
9.∵AC=，BC=，AB=4，
DF=，EF=，ED=8，
∴=2，∴△ABC∽△DEF.
10.△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE.理由：
∵==，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE.
∵=，∴，∴△BAD∽△CAE.
11.∵DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC，
∴====，即.
∴△DEF∽△ABC.
12.(1)根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，显然有AB2+AC2=BC2.
根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形.
(2)△ABC和△DEF相似.根据勾股定理，得
AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2.
，∴△ABC∽△DEF.
(3)如图：△P2P4P5.
3.4.2 相似三角形的性质
第1课时 与相似三角形的高、中线、角平分线等有关的性质
要点感知1 相似三角形对应高的比等于 .
预习练习1-1 △ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶3，则对应边上的高的比等于( )
A.2∶3 B.3∶2 C.4∶9 D.9∶4
要点感知2 相似三角形对应的角平分线的比等于 .
预习练习2-1 两个相似三角形对应高之比为3∶1，那么它们对应角平分线之比为( )
A.1∶3 B.3∶1 C.1∶4 D.1∶8
要点感知3 相似三角形对应边上的中线的比等于 .
预习练习3-1 如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
知识点1 相似三角形对应高的比等于相似比
1.已知△ABC∽△DEF，AB=1，DE=4，那么它们的对应边上的高的比为( )
A.1∶2 B.3∶2 C.2∶1 D.1∶4
2.如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，且AD=6，BE=9，A′D′=4，求B′E′的长.
知识点2 相似三角形对应角平分线的比等于相似比
3.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF对应边上的高之比为1∶2，则△ABC与△DEF对应的角平分线之比为( )
A.2∶1 B.1∶2 C.1∶4 D.1∶
4.如图，已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条角平分线，且AB=10 cm，DE=5 cm，AM=12 cm，求DN的长.
知识点3 相似三角形对应中线的比等于相似比
5.两个相似三角形对应高之比为1∶2，那么它们对应中线之比为( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶8
6.如图，△ABC∽△BDC，E，F分别为AC，BC的中点，已知AC=6，BC=4，BE=3，求DF的长.
7.已知△ABC∽△A′B′C′，=12，AB边上的中线CD长4 cm，则△A′B′C′的A′B′边上的中线C′D′分别长( )
A.2 cm B.8 cm C.1 cm D.16 cm
8.(2013·徐汇模拟)如果两个相似三角形对应角平分线的比是2∶3，那么它们对应高的比是 .
9.已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，AB边上的高为6，则A′B′边上的高 .
10.如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线.求证：AD·B′E′=BE·A′D′.
11.如图，要在一块△ABC的纸片上截取正方形DEFG模型.其中，G，F在BC边上，D，E分别在AB，AC边上，AH⊥BC交DE于M，若BC=12 cm，AH=8 cm，求正方形DEFG的边长.
12.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC=∠ACD=90°，BM⊥AC于点M，CN⊥AD于点N，且BC=12，BM=8，CD=15.求CN的长.
挑战自我
13.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F.已知AC=8，BC=6.
(1)求的值；
(2)求四边形DECF的面积.
参考答案
课前预习
要点感知1 相似比
预习练习1-1 A
要点感知2 相似比
预习练习2-1 B
要点感知3 相似比
预习练习3-1 B
当堂训练
1.D
2.∵△ABC∽△A′B′C′，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，∴==，
又∵AD=6，BE=9，A′D′=4，∴，∴B′E′=6.
3.B
4.∵△ABC∽△DEF，∴.
又∵AB=10 cm，DE=5 cm，AM=12 cm，∴，∴DN=6(cm).
5.A
6.∵△ABC∽△BDC，E，F分别为AC，BC的中点，∴，∴.∴DF=2.
课后作业
7.B 8.2∶3 9.8
10.∵△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线.
∴=，=.∴=，即AD·B′E′=BE·A′D′.
11.设正方形的边长为x，则AM=AH-HM=(8-x)cm.
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得x=4.8.
即这个正方形的边长为4.8 cm.
12.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD.
又∵∠ABC=∠ACD=90°，∴△ABC∽△ACD.
又∵BM⊥AC，CN⊥AD，∴.
又∵BC=12，BM=8，CD=15，∴，∴CN=10.
13.(1)∵∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD.
在Rt△ACD和Rt△CBD中，∵∠B=∠ACD，∠ADC=∠CDB，∴△ACD∽△CBD.
又∵DF⊥BC，DE⊥AC，∴.
又∵BC=6，AC=8，∴=.
(2)由(1)可知，设DF=3x，则DE=4x.
∴S△ACD=AC·DE=×8×4x=16x，S△BCD=BC·DF=×6×3x=9x.
又S△ABC=AC·BC=×8×6=24.∴16x+9x=24，解得x=.
∴S四边形DECF=DE·DF=4x·3x=12x2=12×()2=.
第2课时 与相似三角形的面积有关的性质
要点感知1 相似三角形的面积比等于相似比的 .
预习练习1-1 (2013·重庆)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3∶4，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A.4∶3 B.3∶4 C.16∶9 D.9∶16
1-2 两相似三角形的面积比是1∶4，则它们的对应边的比是( )
A.1∶4 B.1∶2 C.1∶1 D.1∶3
1-3 (2013·无锡)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于O，AD=1，BC=4，则△AOD与△BOC的面积比等于( )
A. B. C. D.
1-4 如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC.若DE∶BC=2∶3，则S△ADE∶S△ABC为( )
A.4∶9 B.9∶4 C.2∶3 D.3∶2
要点感知2 相似三角形的周长比等于 .
预习练习2-1 (2013·南岸模拟)若△ADE∽△ABC，且AD∶AB=1∶2，则△ADE与△ABC的周长之比是( )
A.1∶2 B.1∶3 C.2∶1 D.1∶4
知识点 相似三角形的面积比等于相似比的平方
1.(2013·柳州模拟)△ABC和△DEF相似，且相似比为，那么△DEF和△ABC的面积比为( )
A. B. C. D.
2.(2013·台州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且=，则S△ADE∶S四边形BCED的值为( )
A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
3.(2013·钦州)如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积的比是 .
4.如图所示，是同一个三角形地块的甲、乙两张地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比分别为多少.
知识点 2相似三角形的周长比等于相似比
5.如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3、5、6，△DEF的最短边长为9，那么△DEF的周长等于( )
A.14 B. C.21 D.42
6.△ABC∽△DEF，它们的周长之比为∶1，则它们的对应高比及面积比分别为( )
A.1∶；2∶1 B.∶1；2∶1 C.2∶1；∶1 D.1∶2；∶1
7.如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积.
8.(2011·台州)若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶16
9.如图，△ABC∽△ACD，相似比为2，则面积之比S△BDC∶S△DAC为( )
A.4∶1 B.3∶1 C.2∶1 D.1∶1
10.(2013·内江)如图，在□ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF∶S△ABF=4∶25，则DE∶EC=( )
A.2∶5 B.2∶3 C.3∶5 D.3∶2
11.(2012·上海)在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，那么边AB的长为 .
12.(2013·眉山)如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC上的两点，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为 .
13.如图，已知在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE∶S四边形BCED=1∶2，BC=26，试求DE的长.
14.如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD.
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积.
挑战自我
15.如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.
参考答案
课前预习
要点感知1 平方
预习练习1-1 D 1-2 B 1-3 D 1-4 A
要点感知2 相似比
预习练习2-1 A
当堂训练
1.D 2.C 3.1∶4
4.甲地图与乙地图的相似比==.面积的比为()2=.
5.D 6.B
7.在△DEF和△ABC中，由AB=2DE，AC=2DF，易得=.
又∠A=∠D，∴△DEF∽△ABC，并且相似比为.
∴△DEF的周长=×24=12，面积=()2×48=12.
课后作业
8.A 9.B 10.B 11.3 12.16
13.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，
∴=()2.
又∵=，可设S△ADE=k，则S四边形BCED=2k，
∴S△ABC=3k，∴()2==，∴DE2=BC2=×24=8，∴DE=2.
14.(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB∥CD.∴∠ABF=∠CEB.
∴△ABF∽△CEB.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB平行且等于CD.
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
∵DE=CD，∴=()2=，=()2=.
∵S△DEF=2，∴S△CEB=9S△DEF=9×2=18，S△ABF=4S△DEF=4×2=8.
∴S四边形BCDF=S△BCE-S△DEF=18-2=16，
∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.
15.(1)∵DC=AC，CF平分∠ACB，∴AF=DF.
∵点E是AB的中点，∴EF是△ABD的中线，∴EF∥BD，即EF∥BC.
(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴=()2.
又∵AE=AB，∴=.
∴=，∴S△AEF=S△ABD，
∴S△ABD-6=S△ABD.
∴S△ABD=8.
课件10张PPT。 3.4.1 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形判定的基本定理 在八年级上册，我们已经探讨了两个三角形全等的条件，下面我们来探讨两个三角形相似的条件. 为了研究满足什么条件的两个三角形相似，我们先来探究下述问题.
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
（1）△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
（2）分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？
（3）△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？我发现只要DE∥BC，那么△ADE与△ABC是相似的.下面我们来证明：
在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∵DE∥BC，DF∥AC，如图，过点D作DF∥AC，交BC于点F.∴∵四边形DFCE为平行四边形，∴DE=FC.∴∴△ADE∽△ABC由此得到如下结论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.例1 如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边
的中点.求证：△ADE∽△ABC.证明 ∵点D，E分别是AB，AC边的中点，∴DE∥BC.∴△ADE∽△ABC.例2 如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F，使DE=EF.
求证：△CFE∽△ABC.证明 ∵DE∥BC，点D为△ABC
的边AB的中点，∴AE=CE.∴△ADE∽△ABC.又DE=FE，∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△CEF.∵DE∥BC，∴△CFE∽△ABC.跟踪练习1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.解：∵四边形EFCD是正方形，∴ED∥BC,ED=DC=FC=EF.跟踪练习2.如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥BC，OF∥CD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由.解：∵OE∥BC，OF∥CD，∴∠AEO=∠ABC,∠AOE=∠ACB,∠AOF=∠ACD,∠AFO=∠ADC.∴∠AOE+∠AOF=∠ACB+∠ACD,即∠EOF=∠BCD.又∵OE∥BC，OF∥CD，
∴△AOE~△ACB,△AOF~ACD.∴四边形AEOF与四边形ABCD相似.课件11张PPT。第2课时 相似三角形的判定定理13.4.1 相似三角形的判定
三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？三个内角对应相等.相
似思考 画三角形 ，使三个角分别为60°，45°, 75° .①同桌分别量出两个三角形三边的长度；
②同桌这两个三角形相似吗? 即： 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______．
相似一定需三个角吗？ 观察相似三角形的判定定理1 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.CC'∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'（两角分别相等的两个三角形相似）下面每组的两个三角形是否相似？为什么？①①②③④ABCFDEACBDEFBACDFE30o30o30o30o55o30o例1 如图，△ABC中，
DE∥BC，EF∥AB，
求证：△ADE∽△EFC. 解: ∵ DE∥BC，EF∥AB∴∠AED＝∠C，
∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC. （两角分别相等的两个三角形相似．）举
例举
例例2 已知：如图， ∠ABD=∠C, AD=2 AC=8，求AB. 解： ∵ ∠ A= ∠ A ，∠ABD=∠C， ∴ △ABD ∽ △ACB .
∴ AB : AC=AD : AB.
∴ AB · AB = AD · AC.
∵ AD=2 AC=8，
∴ AB =4.1.如图，已知：在△ABC中，EF∥BC．
求证：△AEF∽△ABC. ∴ ∠AEF=∠ABC.(两直线平行，同位角相等)∴ △AEF∽△ABC. 又∵ ∠A是公共角，2.已知：在△ABC与△DEF中，∠A=48°，
∠B=82°，∠D=48°，∠F=50°.
求证：△ABC∽△DEF.∠E = 180°-∠D -∠F
= 180°-48°-50°
= 82°.∵ ∠A = ∠D = 48°，∠B=∠E=82°，∴ △ABC∽△DEF. (两角对应相等的两个三
角形相似) 18 DBCA课件12张PPT。第3课时 相似三角形的判定定理23.4.1 相似三角形的判定如果有点E在边AC上，点D在边AB上,那么点E,D可以在什么位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？ 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？ 相似三角形的判定定理2 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. ∠A=∠A'，那么 ΔABC ∽ ΔA'B'C'想一想：如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？例 1 已知在Rt△ABC与Rt△ 中，
∠C =∠C′= 90°，AC=3cm，BC=2cm，
= 4.2cm， = 2.8cm.
求证：△ ∽△ABC.举
例△ABC为锐角三角形，BD、CE为高 .
求证：△ ADE∽ △ ABC.举
例例2证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABD+∠A=90°，
∠ACE+∠A= 90°.
∴ ∠ABD= ∠ACE.
又∵ ∠A= ∠A，
∴△ ABD ∽ △ ACE.
∴
∵ ∠A= ∠A，
∴ △ ADE ∽ △ ABC.
如图，在△ABC与△DEF中，∠B=∠E=40°，AB=4.2cm，AC=3cm，DE=2.1cm，DF=1.5cm. △ABC与△DEF有两边对应成比例吗？有一个角对应相等吗？这两个三角形相似吗？ 从上述例子你能得出什么结论？图3-21
有两边对应成比例.图中∠B=∠E，而∠A≠∠D，故这两个三角形不相似. 在两个三角形中，有两边对应成比例，如不是这两边的夹角相等，则这两个三角形不相似.有两边对应成比例.图中∠B=∠E，而∠A≠∠D，故这两个三角形不相似.在两个三角形中，有两边对应成比例，如不是这两边的夹角相等，则这两个三角形不相似.1. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是 （ ）
A. AC:BC=AD:BD
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
D. AB2=BD·BCD2.已知在Rt△ABC与Rt△ 中，∠A =∠A′= 90°，AB=6cm，AC=4.8cm， =5cm， =3cm.
求证：△ ∽△ABC.3.在正方形ABCD中，E为AD上的中点, F是AB的四分一等分点，连结EF、EC；△AEF与△DCE是否相似?说明理由.ABCDFE△AEF∽△DEC.课件14张PPT。第4课时 相似三角形的判定定理33.4.1 相似三角形的判定 是否有△ABC∽△A’B’C’？ABC三组对应边成 比例 请同学们利用刻度尺在所发的方格上任意画一个三角形,再画一个三角形，注意使它的三条边都是第一个三角形的三边长的相同倍数，然后用量角器量一量它们的三个角，看看对应角是否相等，你能得出什么结论吗?理由是什么？ 与你的同伴交流，大家的结论一样吗？那么 △ABC∽△相似三角形的判定定理3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 例1 在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，A′B′=18cm，B′C′=24cm，A′C′=30cm．试判定△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.(三边对应成比例的两个三角形相似)举
例举
例 例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△ 中，
∠C =∠C ′= 90°，且
求证：△ ∽△ABC. 证明：由已知条件得 从而由此得出，因此△ ∽△ABC.
(三边对应成比例的两个三角形相似) 还可以根据相似三角形的判定定理2，来证明这两个直角三角形相似. 在例2的证明中，还可以根据哪个判定定理说明△ ∽ △ABC ？1. 已知△ABC和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似.(3) AB=12， BC=15， AC＝24
DE＝16， EF＝20， DF＝30(2) AB=4， BC=8， AC＝10
DE＝20， EF＝16， DF＝8(1) AB=3， BC=4， AC＝6
DE＝6， EF＝8， DF＝9是否否（大对大，小对小，中对中） 2.已知ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似 （ ）
A. 2cm，3cm； B. 4cm，5cm；
C. 5cm，6cm； D. 6cm，7cm . C解：它们相似， 相似比为2:14.如图,O为△ABC内一点，D、E、F
分别是OA、OB、OC中点. 求证：△ABC∽△DEF.证明：△ABC∽△DEF.5.如图， ,
求证：∠1=∠2.△ABC∽△DEF.课件13张PPT。3.4.2 相似三角形的性质
第1课时 与相似三角形的高、中线、角平分线等有关的性质展开想象的翅膀:
相似三角形的对应角、对应边、
对应高、对应中线及对应角平分线
有何关系？相似三角形的性质——对应角相等，对应边成比例
我们来研究其它性质 我们把对应边的比值称为相似比
猜想:
相似三角形对应高的比是否等于相似比？ 如图，△ ∽△ABC，相似比为k，
分别作BC， 上的高AD， ．
求证：∴ ∠B′= ∠B．又∵ =∠ADB =90°，∴△ ∽△ABD. (两角对应相等的两个三
角形相似)定理：
相似三角形的对应高的比等于相似比.
猜想下列问题,并说明你的理由.∽猜想与推理对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比 相
似
三
角
形都等于相似三角形的性质归纳小结相似比对同一对相似三角形而言，我们可以发现：对应高的比＝对应中线的比＝对应角平分线的比＝相似比例 已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求EH的长.解：∵ △ABC∽△DEF， 解得EH＝3.2(cm).答：EH的长为3.2cm.（相似三角形对应角平
线的比等于相似比），（口答下列各题）2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的角平分线的比为______.2∶ 31．两个相似三角形的相似比为 , 则对应高的比为_________, 则对应中线的比为_________.3．两个相似三角形对应中线的比为 ，
则对应高的比为______ .课堂练习:跟踪练习1．若△ABC∽△A’B’C’,由图中已知条件，可知这两个三角形对应中线AD，A’D’的比是 .
2：3跟踪练习2．若两个相似三角形对应高的比为1:3,则这两个三角形的的相似比是______.
1：33．△ABC∽△A’B’C’，AD和A’D’是
它们的对应角平分线，已知AD=4cm,
A’D’=10cm，那么对应高的比
是________.
2：5跟踪练习课件14张PPT。第2课时 与相似三角形的面积有关的性质3.4.2 相似三角形的性质
展开想象的翅膀:
相似三角形的周长、面积
有何关系？相似三角形的性质 若△ ∽△ABC，相似比为k，
那么它们的周长比是多少？面积比是多少？相似三角形周长的比等于相似比，
相似三角形面积的比等于相似比的平方. 例1 已知： ，
它们的周长分别为60cm和72cm，
且AB=15cm，∽△ △=24cm.求：BC，AC，A′B′，A′C′.且它们的周长分别为60cm和72cm，∴它们的相似比为60：72=5：6.∴A′B′=18，BC=20.∴A′C′=72-24-18=30，AC=60-15-20=25.例2 如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2 ，且 . 求四边形BCDE的面积.∴它们的相似比为5：3，面积比为25：9.又∵△ABC的面积为100 cm2 ，∴△ADE的面积为36 cm2 .∴四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2） .解：∵∠BAD=∠DAE，且 ，全等三角形与相似三角形性质比较类比学习对应边____
对应角______
对应高______对应中线_____对应角平分线____
对应边______对应角_____对应高的比等于__________对应中线的比等_________对应角平分线的比等于________
相似比
相似比
相似比
周长_____面积______
周长的比________________面积的比________________??相等相等相等相等相等相等相等成比例相等
课堂小结跟踪练习1.连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______,面积比等于_______.2.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12 ，则较小三角形的周长____cm，面积为____ .1:21:4124/3跟踪练习3. 若△ABC ∽△ ，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm， =24cm，求BC，AC，
， 的长. 答： BC = 20cm， AC = 25cm，
cm，跟踪练习4. 若△ABC ∽△ ，AB=3， =4.5，且
S△ABC + S△ = 78，求△ 的面积. 答：S△ = 54 .5. 相似三角形面积的比等于对应高的比的平方吗？
为什么？ 答： 相似三角形面积的比等于对应高的比的平方.(提示：因为相似三角形对应高的比等于相似比，而面积比等于相似比的平方.)
