课件22张PPT。3.5 相似三角形的应用世界上最高的楼
——台北101大楼怎样测量这些非常高大物体的高度？新课导入世界上最宽的河
——亚马孙河怎样测量河宽？利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题教学目标 会应用相似三角形性质、判定解决实际问题． 通过利用相似三角形解决实际问题中不能直接测量的物体的长度的问题，让学生体会数学转化的思想，并体会如何用已学习的数学知识解决实际问题． 让学生体会用数学知识解决实际问题的成就感和快乐．∠P=∠P 分析：∵∠PQR=∠PST= 90° STPQRba得 PQ=90求河宽?∴ △PQR ∽△PST∴45m60m90m∴测距的方法 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 怎样测量旗杆的高度?6m1.2m1.6m物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，测量金字塔的高度.DEA(F)BO2m3m201m解：太阳光是平行线， 因此∠BAO= ∠EDF.又 ∠AOB= ∠DFE=90°,
∴△ABO∽△DEF.=BO == 134..AFEBO┐┐还可以有其他方法测量吗？=△ABO∽△AEFOB =平面镜1. 相似三角形的应用主要有两个方面：（1） 测高 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.（2） 测距课堂小结2. 解相似三角形实际问题的一般步骤：（1）审题.
（2）构建图形.
（3）利用相似解决问题.随堂练习 1. 铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高______m. 8 2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高为______. 4 3. △ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E.设正方形PQMN的边长为 x 毫米.
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC.
所以. 4. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.（设网球是直线运动）解：∵ED∥BC，
∴△AED∽△ACB.
∴ED：BC=AD：AB,
即0.8：BC=5：15.
∴BC=2.4m．
故答案为2.4m． 5. 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米？解：设此高楼的高度为h米，∵在同一时刻，有人测得一高为1.8米得竹竿的影长为3米，某高楼的影长为90米，
∴
解得h=54．
答：高楼的高度是54米. 6. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB． 解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD∽△ECD，解得AB=100.答：两岸间的大致距离AB为100米.3.5 相似三角形的应用
要点感知 相似三角形的应用主要体现在相似三角形的对应边成比例这一性质的应用，利用这一性质，通常可以解决测高，测宽问题.另外，测量无法到达顶部的物体的高度，通常还可以利用“在同一时刻物体的高与影长成比例”的原理解决.
预习练习1-1 如图，AB是斜靠在墙上的梯子，梯脚距墙2米，梯子上的D点距墙1.8米，BD长0.6米，则梯子的长为( )
A.5.60米 B.6.00米 C.6.10米 D.6.20米
1-2 某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为( )
A.6米 B.7米 C.8.5米 D.9米
知识点1 利用相似三角形测量宽度
1.(2013·北京)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE=20 m，EC=10 m，CD=20 m，则河的宽度AB等于( )
A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m
2.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为12 cm，AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是( )
A.8 cm B.10 cm C.20 cm D.60 cm
知识点2 利用相似三角形测量高度
3.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为( )
A.4.8米 B.6.4米 C.9.6米 D.10米
4.如图，王华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB=20米，镜子与王华的距离ED=2米时，王华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A，已知王华的眼睛距地面的高度CD=1.5米，则铁塔AB的高度是( )
A.15米 B.米 C.16米 D.16.5米
5.(2013·巴中)如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为_________ 米.
6.(2013·济宁)如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上.若光源到幻灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为 cm.
7.(2012·北京改编)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40 cm，EF=20 cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，求树AB的高度.
8.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外任选一点C，连接AC，BC，分别取其三等分点M，N，量得MN=38 m.则AB的长是( )
A.76 m B.104 m C.114 m D.152 m
9.如图，身高1.6米的学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是( )
A.6.4米 B.7米 C.8米 D.9米
10.如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是(D)
A.cm B. cm C. cm D.1 cm
11.现有一个测试距离为5 m的视力表(如图)，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3 m的视力表，则图中的的值为( )
A. B. C. D.
12.某同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为( )
A.2米 B.11.6米 C.1.2米 D.10米
13.阳光通过窗口照到室内，在地上留下2.7 m宽的亮区(如图)，已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=8.7 m，窗口高AB=1.8 m.求窗口底边离地面的高度BC.
挑战自我
14.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D，然后测出两人之间的距离CD=1.25 m，颖颖和楼之间的距离DN=30 m(C，D，N在一条直线上)，颖颖的身高BD=1.6 m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8 m.你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？
参考答案
课前预习
预习练习1-1 B 1-2 D
当堂训练
1.B 2.A 3.C 4.A 5.1.5 6.18
7.∵∠DEF=∠DCB=90°，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB，∴.
∵DE=40 cm=0.4 m,EF=20 cm=0.2 m,AC=1.5 m,CD=8 m,
∴，∴BC=4 m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5（m）.
课后作业
8.C 9.C 10.D 11.D 12.D
13.根据光沿直线传播可知AE∥BD，则△BCD∽△ACE，
∴，CD=CE-ED=8.7-2.7=6（m），
∴CB==4(m)，∴BC=4 m.
14.过点A作CN的平行线AF交BD于点E，交MN于点F.
由已知可得FN=ED=AC=0.8 m，AE=CD=1.25 m，EF=DN=30 m.
∵∠AEB=∠AFM=90°，∠BAE=∠MAF，
∴△ABE∽△AMF，∴，即，解得MF=20.
∴MN=MF+FN=20+0.8=20.8(m)，
即住宅楼的高度为20.8 m.
综合练习 相似三角形的判定与性质的综合应用
1.(2011·潍坊)如图，△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论：(1)DE=1；(2)△ADE∽△ABC；(3)△ADE的面积与△ABC的面积之比为1∶4.其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.(2011·铜仁)已知：如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是( )
A.= B.= C.= D.=
3.(2013·哈尔滨)如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为( )
A. B. C. D.
4.(2012·庆阳)如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE.
5.如图，l1∥l2∥l3，AB=AC，DF=10，那么DE= .
6.(2012·随州)如图，点D，E分别在AB，AC上，且∠ABC=∠AED.若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为 .
7.(2012·滨州)如图，锐角三角形ABC的边AB、AC上的高线EC、BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形： .(用相似符号连接)
8.如图，在正方形网格上的三角形①，②，③中，与△ABC相似的三角形有 个.
9.(2011·佛山)如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD.若AD=2，BD=4，∠ACD=∠B，求AC的长.
10.(2011·河源)如图，点P在□ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q.
(1)求证：△DQP∽△CBP；
(2)当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长.
11.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点.△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.
(1)求证：△ACB∽△DCE；
(2)求证：EF⊥AB.
12.如图,□ABCD中，AE∶EB=2∶3，DE交AC于F.
(1)求△AEF与△CDF的周长之比；
(2)如果△CDF的面积为20 cm2，求△AEF的面积.
13.(2013·巴中)如图，在□ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长.
14.(2011·怀化)如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40 cm，AD=30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD与HG的交点为M.
(1)求证：；
(2)求这个矩形EFGH的周长.
15.如图，有一边长为5 cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5 cm，QR=8 cm，点B，C，Q，R在同一条直线l上，当C，Q两点重合时，等腰△PQR以1 cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t s后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为S cm2，当t=3 s时，求S的值.
参考答案
1.D 2.C 3.B
4.∠D=∠B或∠AED=∠C或AD∶AB=AE∶AC或AD·AC=AB·AE(答案不唯一)
5.4 6.10 7.△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE 8.2
9.在△ABC和△ACD中，∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD.
∴=，即AC2=AD×AB=AD×(AD+BD)=2×6=12.∴AC=2.
10.(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AQ∥BC.∴∠Q=∠CBP，
又∠QPD=∠BPC，∴△DQP∽△CBP.
(2)∵△DQP≌△CBP，∴DP=CP=CD.
∵AB=CD=8，∴DP=4.
11.(1)∵=，==，∴=.
又∠ACB=∠DCE=90°，∴△ACB∽△DCE.
(2)∵△ACB∽△DCE，∴∠B=∠E.
又∠B+∠A=90°，∴∠E+∠A=90°.∴∠EFA=90°.∴EF⊥AB.
12.(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD.
∴∠EAF=∠DCF，∠AEF=∠CDF，∴△AEF∽△CDF.
∴==.
(2)=()2=.
∵S△CDF=20，∴S△AEF=.
13.(1)∵□ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC.
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C.∴△ADF∽△DEC；
(2)∵□ABCD，∴CD=AB=8.
由(1)知△ADF∽△DEC，∴，∴DE===12.
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6.
14.(1)∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴△AHG∽△ABC.
又∵AD⊥BC，∴AM⊥HG.∴=；
(2)由(1)得=，设HE=x，则HG=2x.
∵AD⊥BC，∴DM=HE.
∴AM=AD-DM=AD-HE=30-x.可得.解得x=12，2x=24.
所以矩形EFGH的周长为2×(12+24)=72(cm).
15.作PE⊥QR，E为垂足.
∵PQ=PR，∴QE=RE=QR=4(cm2).∴PE==3(cm).
当t=3时，QC=3.设PQ与DC交于点G.
∵PE∥DC，∴△QCG∽△QEP.∴=()2.
∵S△QEP=×4×3=6(cm2)，∴S=()2×6=.
