课件11张PPT。 4.1 正弦和余弦
第1课时 正弦及30°角的正弦值 由题意，△ABC是直角三角形， 其中∠B =90o，∠A= 65o，∠A所对的边BC=2000m，求 斜边AC=？上述问题就是：知道直角三角形的一个为65o的锐角和这个锐角的对边长度，想求斜边长度，为此，可以去探究直角三角形中， 65o角的对边与斜边的比值有什么规律？ 一艘帆船从西向东航行到 B处时，灯塔A在船的正北方向，帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65o的方向．试问：C处和灯塔A的距离约等于多少米？（精确到1m）每位同学画一个直角三角形，其中一个锐角为65o ，量出65o角的对边长度和斜边长度，计算：的值，结论：在有一个锐角为65o的直角三角形中， 65o角的对边与
斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．做一做 已知：任意两个直角三角形△DEF和△D'E'F'，∠D =∠D ' =65o，∠E =∠E'= 90o,求证：∵ ∠E =∠E ' = 90o，∠D =∠D ' =65o，∴ △DEF ∽ △D'E'F ' ．∴因此在有一个锐角为65o的所有直角三角形中， 65o角的对边与斜边的比值是一个常数．于是E F · D' F '＝ E F · D' F '．∴现在解决帆船航行到C处时和灯塔A的距离约等于多少米的问题．解 在直角三角形ABC中，BC=2000m ，∠A= 65o，解得 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦，记作:类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．即: 在直角三角形ABC中， ∠C= 90o， BC=3，AB=5．（１）求∠A的正弦 ；
（２）求∠B的正弦 ． （１） ∠A的对边BC=3，斜边
AB=5．于是（２） ∠B的对边是AC．根据勾股定理，得于是 AC=4．因此例 题1．在直角三角形ABC中， ∠C= 90o， BC=5，AB=13．（１）求 的值；
（２）求 的值．2．小刚说：对于任意锐角α，都有你认为他说得对吗？为什么？0 ＜ ＜1练 习我认为他说得对，因为正弦值是相对直角三角形来说的，而在直角三角形中直角边比斜边小，所以直角边与斜边的比值小于1，又因为直角边和斜边的长度值都是正数，所以直角边与斜边的比值大于0.在直角三角形中，小结说一说1．在Rt △ABC 中， ∠C= 90o， BC=5，AB=6．求 ， 的值．做一做答案：答案：课件11张PPT。第2课时 45°，60°角的正弦值及用计算器求任意锐角的正弦值 4.1 正弦和余弦
如何求 的值？ 解 在直角三角形ABC中， ∠C= 90o， ∠A =45°． 于是 ∠B =45°．从而 AC=BC．根据勾股定理，得于是因此动脑筋 分别求 和 的值． 解 在直角三角形ABC中， ∠C= 90o， ∠A =30°．于是∠A 的对边因此又∠B=90°－30°=60°， ∠B的对边是AC ．根据勾股定理得于是例 题画一个直角三角形ABC，使得∠A = 50°，量出∠A的对边BC的长度为3cm，斜边AB的长度为3.9cm．则不足：角的大小、线段的长度都有测量误差，因此精确度不太高，且费时间，效率低．用计算器求．用计算器求锐角的正弦值,要用到 键: 例如：求sin16° ,sin42°的值.sinsin160.275 637 355420.669 130 606==由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用.sin1．用计算器求锐角的正弦值（精确到0.0001）：（２）（３）0.76600.93970.25882．用计算器求锐角的正弦值（精确到0.0001）． 操作 0.47720.8894如果已知sinα＝0.3688，如何用计算器求锐角α？ 关键是要先按计算器左上角的“SHIFT”键（有的型号的计算器写的是“2ndf”键）．已知正弦值，用计算器求相应的锐角α （精确到1′）．55°46′8°15′ 操作2ndfSin0.9816=Sin-1=0.9816
=78.991 840 39按键的顺序SinA=0.98161．用计算器求下列锐角的正弦值和（精确到0.0001）：0.9272 0.9994 0.1564 0.5045 0.9715 0.1673 0.9900 0.5736 35°68°88°9°30°18′76°18′9°38′81°53′角度 ( )练 习2．已知正弦值或余弦值，用计算器求相应的锐角α （精确到1′）．（1） sinα＝0.1087，则α≈（3） sinα＝0.3152，则α≈（2） sinα＝0.9358，则α≈练 习3.如图：小亮沿与地平面成32°18′的上坡走了80 米，那么他上升了多少米（精确到1米） AB=80米， ∠A= 32°18′练 习课件13张PPT。第3课时 余 弦 4.1 正弦和余弦
如图，△ABC 和 △DEF都是直角三角形，它们都有一个锐角等于α，即∠D =∠A = α．在
Rt △ABC 中， ∠A的相邻的直角边（简称邻边）为AC，斜边为AB；在Rt △DEF中，∠D的邻边为DF，斜边为DE．问成立吗？∠B =90°－α＝∠E ，AC 是∠B的对边，DF是∠E的对边，
依据正弦定理结论成立在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作 这证明了：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值等于角90°－α的对边与斜边的比值．根据上述证明过程看出：对于任意锐角α，有例 题1．在Rt △ABC 中， ∠C= 90o， AC=5，AB=7．求 ， 的值．3 ．对于任意锐角α，都有你能说出道理吗？0 ＜ ＜1∵AC＜AB∴ 0＜ ＜1．练 习答案：答案：答案：4．求下列各式的值（１）（３）（２）（１）（２）（３）考 虑对于任意角α是不是总有4．求下列各式的值（１）例如：求cos16°,cos42°的值. cos160.961 261 695cos420.743 144 825==由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用.用计算器求锐角的余弦值,要用到 键: cos1．用计算器求锐角的正弦值和余弦值（精确到0.0001）：（２）（３）（１）0.64280.34200.96592．用计算器求锐角的余弦值（精确到0.0001）． 操作0.45711．用计算器求锐角的正弦值和余弦值（精确到0.0001）： 操作3．已知余弦值，用计算器求相应的锐角α （精确到1′）．70°52′20°41′做一做 1.求下列各式的值：（１）（３）（２）（１）（３）（２）2．用计算器求下列锐角的正弦值和余弦值（精确到0.0001）：35°68°88°9°30°18′76°18′9°38′81°53′角度 ( )3．已知正弦值或余弦值，用计算器求相应的锐角α （精确到1′）．44°55′81°59′58°53′（1） cosα＝0.7081，则α≈（2） cosα＝0.1396，则α≈（3） cosα＝0.5168，则α≈第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第1课时 正弦及30°角的正弦值
要点感知1 在直角三角形中，锐角α的 与 的比叫作角α的正弦，记作sinα，即sinα= .
预习练习1-1 (2012·滨州)把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值( )
A.不变 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定
1-2 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是( )
A. B. C. D.
要点感知2 sin30°= .
预习练习2-1 (2011·日照)计算：sin30°-|-2|= .
知识点1 正弦的定义及简单应用
1.(2013·温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是( )
A. B. C. D.
2.(2012·营口)在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=6，AC=8，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
3.正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=( )
A. B. C. D.2
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是( )
A. B.3 C. D.
(2011·泉州)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB= ，sinA= .
6.如图，在平面直角坐标系内一点P(5，12)，那么OP与x轴的夹角α的正弦值是 .
7.根据图中数据，求sinC和sinB的值.
知识点2 30°角的正弦值
8.(2011·株洲)如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B处)，AB=80米，则孔明从A到B上升的高度BC是 米.
9.(2011·桂林)如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
10.(2012·贵港)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，1)和B(3，0)，则sin∠AOB的值等于( )
A. B. C. D.
11.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是( )
A. B. C. D.
12.(2013·淮安)sin30°的值为 .
13.(2013·荆门)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE= .
14.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.AD=4，CD=3.求sinA，sinB，sinα的值.
15.(2012·厦门)已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE=3，BC=9.
(1)求的值；
(2)若BD=10，求sinA的值.
16.如图所示，△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=2，求AB，BC的长.
挑战自我
17.(2013·眉山)在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD，AD于点E，F，连接BF.
(1)求证：△DEC∽△FDC；
(2)当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度.
参考答案
课前预习
要点感知1 对边 斜边
预习练习1-1 A 1-2 A
要点感知2
预习练习2-1 -
当堂训练
1.C 2.C 3.B 4.A 5. 5 6.
7.在Rt△ABC中，BC=，∴sinC==，sinB==.
8. 40
课后作业
9.C 10.A 11.C 12. 13.
14.∵CD⊥AB，AD=4,CD=3∴AC==5.
∴在Rt△ACD中，sinA==.
又∵∠ACB=90°，∴∠B=∠ACD，∠α=∠A，
∴sinB=sin∠ACD==，sinα=sinA=.
15.(1)∵DE∥BC，DE=3，BC=9，∴△AED∽△ACB.∴=.
(2)∵=，BD=10，∴=.∴AD=5.
∵∠C=90°，∴∠AED=90°,∴sinA==.
16.∵sinA=，∴=，∴AB=3BC.
∵AC2+BC2=AB2，∴22+BC2=(3BC)2，解得BC=.∴AB=.
17.(1)∵矩形ABCD,CF⊥BD,∠DEC=∠FDC=90°.
又∠DCE=∠FCD，∴△DEC∽△FDC.
(2)∵F为AD的中点，AD∥BC，
∴=，FB=FC，∴=,∴sin∠FBD===.
设EF=x，则FC=3x.CE=2x.
∵△DEC∽△FDC，∴.
∴，即6x2=12，解得x=.
∴CF=3.
在Rt△CFD中，DF=，
∴BC=2DF=2.
第2课时 45°，60°角的正弦值及用计算器求任意锐角的正弦值
要点感知1 sin45°= ，sin60°= .
预习练习1-1 计算sin45°的值等于( )
A. B. C.1 D.
要点感知2 用计算器求一个锐角的正弦值的方法是：先按功能键sin，再输入度、分、秒.如：sin→度→DMS→分→DMS→秒→DMS→=.
预习练习2-1 用计算器求sin62°20′的值正确的是( )
A.0.885 7 B.0.885 2 C.0.885 5 D.0.885 1
要点感知3 已知一个锐角的正弦值，用计算器求这个锐角的方法是：2ndF→sin→函数值→=.
预习练习3-1 已知sinα=0.368 8，则锐角α= (精确到1′).
知识点1 45°,60°角的正弦值
1.(2012·兰州)sin60°的相反数是( )
A.- B.- C.- D.-
2.在△ABC中，若sinA=，sinB=，下列判断中，你认为最确切的是( )
A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰直角三角形
C.△ABC是一般锐角三角形 D.△ABC是钝角三角形
3.已知锐角A满足sinA=1，则锐角A的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
4.(2013·栖霞模拟)如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于( )
A. B. C. D.
5.计算下列各题：
(1)2sin30°-sin45°； (2)sin245°+sin30°sin60°.
知识点2 用计算器求一个锐角的正弦值及根据已知正弦值求锐角
6.利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是( )
A.0.5 B.0.707 C.0.866 D.1
7.用计算器计算下列各锐角的正弦值(精确到0.000 1).
(1)20°； (2)23°13′.
8.已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角(精确到0.1°).
(1)sinα=0.822 1； (2)sinA=0.627 5.
9.已知α是等腰直角三角形的一个锐角，则sinα的值为( )
A. B. C. D.1
10.Rt△ABC中，∠C=90°，a∶b=3∶4，运用计算器计算，∠A的度数(精确到1°)( )
A.30° B.37° C.38° D.39°
(2011·潍坊)身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是( )
同学
甲
乙
丙
丁
放出风筝的线长
140 m
100 m
95 m
90 m
线与地面的夹角
30°
45°
45°
60°
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
已知α为锐角，且sin(α-10°)=，则α等于( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
13.(2013·鼓楼模拟)如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点M，N分别为OB，OC的中点，则sin∠OMN的值为( )
A. B.1 C. D.
14.用计算器计算下列各锐角的正弦值(精确到0.000 1).
(1)35°； (2)15°32′.
15.已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角(精确到0.1°).
(1)sinα≈0.737 2； (2)sinα≈0.128 8.
16.计算下列各题：
(1)sin230°+sin260°； (2)(sin30°-1)0-4sin45°sin60°.
挑战自我
17.因为sin30°=，sin210°=-，所以sin210°=sin(180°+30°)=-sin30°；因为sin45°=，sin225°=-22，所以sin225°=sin(180°+45°)=-sin45°，由此猜想，推理知：一般地，当α为锐角时有sin(180°+α)=-sinα，由此可知：sin240°=( )
A.- B.- C.- D.-
参考答案
课前预习
要点感知1
预习练习1-1 C
预习练习2-1 A
预习练习3 21°38′
当堂训练
1.C 2.D 3.B 4.C
5.(1)原式=2×-×=1-1=0.
(2)原式=()2+×=+.
6.A
7.(1)原式≈0.342 0. (2)原式≈0.394 2.
8.(1)原式≈55.3°. (2)原式≈38.9°.
课后作业
9.B 10.B 11.D 12.C 13.C
14.(1)原式≈0.573 6； (2)原式≈0.267 8.
15.(1)α≈47.5°； (2)α≈7.4°.
16.(1)原式=()2+()2=1.
(2)原式=1-4××=1-6=-5.
17.C
第3课时 余弦
要点感知1 在直角三角形中，锐角α的 与 的比叫作角α的余弦，记作cosα，即cosα= .
预习练习1-1 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosA的值是( )
A. B. C. D.
要点感知2
α
30°
45°
60°
cosα
预习练习2-1 计算： sin45°-cos45°= .
2-2 (2013·德州)cos30°的值是 .
要点感知3 对于任意的锐角α，cosα=sin ，sinα=cos .
预习练习3-1 已知sin48°=0.743 1，那么cos42°= .
要点感知4 用计算器求一个锐角的余弦值的方法是：先按功能键cos，再输入度、分、秒.如：cos→度→DMS→分→DMS→秒→DMS→=.
已知一个锐角的余弦值，求这个锐角的方法是：2ndF→cos→函数值→=.
预习练习4-1 cos52°18′≈ (精确到0.000 1).
4-2 已知cosα≈0.338 7，则α≈ °(精确到0.1°).
知识点1 余弦的定义
1.(2012·遂宁)在△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=5，则cosB的值是( )
A. B. C. D.
2.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，cosB=，则BC= .
3.在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，求cosA和cosB的值.
知识点2 特殊角(30°，45°，60°)的余弦值
4.计算：cos60°-sin45°=( )
A. B.- C. D.
5.计算：sin60°·cos30°-= .
知识点3 正弦、余弦之间的关系
6.已知0°<α<90°，sinα=cos55°，则α的值为( )
A.55° B.35° C.25° D.15°
7.已知∠A是锐角，sinA=，则5cosA=( )
A.4 B.3 C. D.5
知识点4 用计算器求一个锐角的余弦值或已知一个锐角的余弦值，求锐角
8.用计算器求下列锐角的余弦值(精确到0.000 1)：
(1)42°； (2)80°25′.
9.已知下列余弦值，用计算器求对应的锐角α(精确到0.1°).
(1)cosα=0.324 5； (2)cosβ=0.843 4.
10.如果α是锐角，且sinα=，那么cos(90°-α)=(A)
A. B. C. D.
11.(2013·连云港)在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosA的值为(D)
A. B. C. D.
12.正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为( )
A. B. C. D.2
13.计算：2sin245°+4cos260°=( )
A.2 B.1 C.0 D.-2
14.cos49°18′≈ .(精确到0.000 1)
15.已知cosα=0.585 8，则α≈ °.(精确到0.1°)
16.(2013·鞍山)△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长为 .
17.计算：2cos230°-sin45°cos60°.
18.(2013·邵阳改编)在△ABC中，若|sinA-|+(cosB-)2=0，求∠C的大小.
19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，CD⊥AB于D，AC=12，试求：
(1)sinA的值； (2)cos∠ACD的值； (3)CD的值.
挑战自我
20.(2013·湛江)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°=，cos30°=，则sin230°+cos230°= ；①
sin45°=，cos45°=，则sin245°+cos245°= ；②
sin60°=，cos60°=，则sin260°+cos260°= ；③
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A= .④
(1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
（2）已知∠A为锐角(cosA>0)且sinA=，求cosA.
参考答案
课前预习
要点感知1 邻边 斜边
预习练习1-1 A
预习练习2-1 0 2-2
要点感知3 90°-α 90°-α
预习练习3-1 0.743 1
预习练习4-1 0.611 5 4-2 70.2°
当堂训练
1.A 2.8
3.∵∠C=90°，AC=2，BC=1，∴AB=.
cosA===,cosB===.
4.B 5.14 6.B 7.A
8.(1)cos42°≈0.743 1.
(2)cos80°25′≈0.166 5.
9.(1)α≈71.1°.
(2)β≈32.5°.
课后作业
10.A 11.D 12.A 13.A 14.0.652 1 15.54.1 16.2
17.原式=2×()2-×=×-=.
18.由题意，得sinA-=0且cosB-=0，∴∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°.
19.(1)由BC=5，AC=12，得AB=13，sinA=；
(2)cos∠ACD=sinA=；
(3)∵sinA=，∴CD=AC·sinA=12×=.
或由面积公式，得13CD=5×12，得CD=.
20. 1 1 1 1
(1)过点B作BH⊥AC于点H，则
在Rt△ABH中，BH2+AH2=AB2，且sinA=，cosA=，
∴sin2A+cos2A=+==1；
(2)∵sin2A+cos2A=1，sinA=，∴cos2A=1-()2=.
∵cosA>0，∴cosA=.
