课件17张PPT。4.2 正 切 如图，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°(在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m. 你能求出上海东方明珠塔的高BD吗？ 求东方明珠塔高的关键是求三角形ABC的边长BC，因为塔高等于BC加上仪器的高1.7m. 类似地，可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值也为一个常数.定义 在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作 tanα，即 如何求 tan 30°，tan60°的值呢？ 从而
AC2=AB2-BC2=(2BC)2-BC2=3BC2.tan 45°的值是多少？ 你能说出道理吗？ 答：tan 45°= 1. 现在我们把30°，45°，60°的正弦、余弦、正切值列表如下： 现在你能求出图中东方明珠塔的高BD吗？ 从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角α，都有唯一确定的比值sinα(或cosα，tanα)与它对应，因此我们把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数. 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，
BC=5，求 tan A，tan B 的值． 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=2，AB=3，求 tan A，tan B 的值. 3. 求下列各式的值：答：4.4.2 正切
要点感知1 如图，在直角三角形中，锐角α的 与 的比叫作角α的正切，记作tanα，即tanα= .
预习练习1-1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，那么tanA等于( )
A. B. C. D.
要点感知2
α
30°
45°
60°
tanα
1
预习练习2-1 （2013·包头）3tan30°的值等于( )
A. B.3 C. D.
要点感知3 用计算器求锐角的正切值，以及由已知正切值，求相应的锐角的度数的程序与用计算器求锐角的正弦值，以及由已知正弦值，求相应的锐角的度数的程序完全相同，只是按的键不同，将按sin键改成tan键即可.
预习练习3-1 已知tanα=0.324 9，则α约为( )
A.17° B.18° C.19° D.20°
要点感知4 锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数.
预习练习4-1 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=24，BC=7，求sinA，cosA，tanA.
知识点1 正切的定义
1.(2013·贵阳)如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则tanα等于( )
A. B. C. D.
2.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为( )
A. B. C. D.
知识点2 特殊角(30°，45°，60°)的正切值
3.(2013·重庆)计算6tan45°-2cos60°的结果是( )
A.4 B.4 C.5 D.5
4.(2013·孝感)式子2cos30°-tan45°-的值是( )
A.2-2 B.0 C.2 D.2
知识点3 用计算器求锐角的正切值或已知锐角的正切值求锐角
5.用计算器求值：tan78°8′= (精确到0.001).
6.已知tanα=3.415 3，那么锐角α= ° ′(精确到1′).
7.如果tanA<1，那么锐角A一定( )
A.小于45° B.大于45° C.小于60° D.大于60°
知识点4 锐角三角函数
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=8∶15，求∠A的三个三角函数值.
9.在△ABC中，∠C=90°，a=1，b=，则tanA等于( )
A. B. C. D.
10.(2013·佛山)如图，若∠A=60°，AC=20 m，则BC大约是(结果精确到0.1 m)( )
A.34.64 m B.34.6 m C.28.3 m D.17.3 m
11.计算cos245°+tan60°·cos30°等于( )
A.1 B. C.2 D.
12.(2013·安顺)在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则△ABC的面积为 .
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，tanA=，求sinA，cosB的值.
14.如图所示，根据图中给出的零件的数据，求∠α的大小.
15.(2012·西宁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知CD⊥AB，BC=1.
(1)如果∠BCD=30°，求AC；
(2)如果tan∠BCD=，求CD.
挑战自我
我们已知sin30°=，其求法是构造如图1所示的Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么sin30°==，在此基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan
15°的值.
(1)如图2所示，延长CB至点D，使DB=BA，连接AD，在Rt△ACD中，AC=1，AB=2，CD=BD+BC，易得BC= ，故CD= .所以在Rt△ACD中，tan∠ADC= = ，因为∠ABC=30°，且AB=BD，故∠D= °，所以tan15°= ；
(2)请根据上述材料所介绍的方法，求tan75°的值.
参考答案
课前预习
要点感知1 对边 邻边
预习练习1-1 C
预习练习2-1 A
预习练习3-1 B
预习练习4-1 在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB2=AC2+BC2，AC=24，BC=7，
∴AB==25，
∴sinA==，cosA==，tanA==.
当堂训练
1.C 2.B 3.D 4.B 5.4.759 6.73°41′ 7.A
8.设BC=8k，AC=15k，则AB==17k.
∴sinA==，cosA==，tanA==.
课后作业
9.D 10.B 11.C 12.24
13.∵∠C=90°，∴tanA=.∴BC=AC·tanA=6×=8.
又∵AB==10，∴sinA==，cosB==.
14.过点A作AC⊥BC，垂足为点C，则
在Rt△ABC中，∵AC=90 cm，BC=83-(145-118)=56（cm），
∴tanα==≈1.607 1.∴∠α≈58°6′.
15.(1)AC=BC·tan60°=3；
(2)在Rt△BDC中，∵tan∠BCD=，不妨设BD=k，则CD=3k.
由勾股定理，得k2+(3k)2=12，解得k1=，k2=-(不合题意，舍去).
∴k=，∴CD=.
16.(1) 2+ 2- 15° 2-
(2)∵BD=BA=2，∠ABC=30°，∠C=90°，∴在△ABD中，∠D=∠DAB=15°；
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=2.则BC=，AC=1.
在Rt△DAC中，DC=2+3，AC=1，tan∠DAC=tan75°==2+.
