2024年中考数学专题训练：二次函数综合压轴题 特殊四边形问题（含答案）

2024年九年级数学中考专题训练：
二次函数综合压轴题（特殊四边形问题）
1．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？
2．在如图所示平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)将该抛物线向上平移个单位得到新的抛物线，点E是新抛物线上一点，点F是已知抛物线对称轴上一点，若以点B、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，写出点E的坐标，并把求其中一个点E的过程写出来．
3．如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．综合与探究
如图，某一次函数与二次函数的图象交点为，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，点的坐标为　　　　；
(3)点为二次函数位于线段下方图象上一动点，过点作轴，交线段于点，求面积的最大值；
(4)在（2）的条件下，点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点，，，为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标．
5．如图，已知直线与抛物线：相交于点和点两点．
(1)求抛物线函数表达式；
(2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，以为相邻的两边作平行四边形，当平行四边形的面积最大时，求此时平行四边形的面积及点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P，到对称轴的距离等于到直线的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图,在平面直角坐标系中,抛物线(为常数)与一次函数(为常数)的图像交于两点,其中点坐标为．
(1)求点坐标．
(2)点为直线上方抛物线上一点,连接,当时,求点的坐标．
(3)将抛物线(为常数)沿射线平移个单位长度,平移后的抛物线与原抛物线相交于点,点为抛物线的顶点,点为轴上一点,在平面直角坐标系中是否存在点,使得以点为顶点且为对角线的四边形是菱形 若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由．
8．如图，已知抛物线的顶点为D点，且与x轴交于B，A两点（B在A的左侧），与y轴交于点C．点E为抛物线对称轴上的一个动点：
(1)当点E在x轴上方且时，求的值；
(2)若点P在抛物线上，是否存在以点B，E，C，P为顶点的四边形是平行四边形？请求出点P的坐标；
(3)若抛物线对称轴上有点E，使得取得最小值，连接AE并延长交第二象限抛物线为点M，从请直接写出的长度．
9．已知在直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）与轴交于点，点在该抛物线上，点，点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（1），点在直线上方的抛物线上，求面积的最大值；
(3)如图（2），在轴的正半轴上有一动点，当的外接圆与过抛物线顶点的直线相切时，求点的坐标；
(4)如图（3），在直线上有一点，坐标平面内有一点，若四边形是正方形，请直接写出点的坐标．
10．如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，过A，B两点的抛物线与x轴交于另一点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是直线上一动点，过点M作y轴的平行线与抛物线交于点D，若以M，D，O，B为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．
11．如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段上一动点，过点P作轴于点C，交抛物线于点D．
(1)若抛物线的解析式为，设其顶点为M，其对称轴交于点N．
①求点M和点N的坐标；
②在抛物线的对称轴上找一点Q，使的值最大，请直接写出点Q的坐标；
③是否存在点P，使四边形为菱形？并说明理由；
(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点是抛物线顶点，点P是直线下方的抛物线上一动点．
(1)这个二次函数的表达式为______．
(2)设直线的解析式为，则不等式的解集为______．
(3)连结，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)当四边形的面积最大时，求出此时P点的坐标和四边形的最大面积．
13．已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点，点关于该抛物线对称轴的对称点为点．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)是否存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点是直线上方的抛物线上一动点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？请求出此时的最大值和点的坐标．
14．如图，抛物线：与x轴相交于A，B两点(点A在点B左边)，与y轴相交于点C，连接
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)点p为抛物线上一动点，设点Р的横坐标为m，过点Р作与x轴相交于点E，当以点A，C，P，E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出m的值；
(3)将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，直线l：交于点N和点M，交x轴、y轴分别于点E、点F，若，求直线l经过的定点T的坐标．
15．如图，抛物线与轴交于点，两点，（点在点的左侧），与轴交于点．

(1)求该拋物线的解析式；
(2)若为拋物线的顶点，求的面积；
(3)若是平面直角坐标系内一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)抛物线的函数表达式为，顶点坐标为；
(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
2．(1)
(2)的面积取值最大值为，
(3)点E的坐标为或或
3．(1)；
(2)存在，点M的坐标为或或．
4．(1)
(2)
(3)
(4)
5．(1)；
(2)，；
(3)存在，或．
6．(1)
(2)，
(3)H点的坐标为或或或
7．(1)
(2)
(3)存在，
8．(1)
(2)存在 或或使得点B，E，C，P为顶点的四边形是平行四边形
(3)
9．(1)
(2)
(3)
(4)或或或
10．(1)
(2)点M的坐标为或
11．(1)①，，②，③不存在
(2)存在，或．
12．(1)
(2)或
(3)存在，
(4)，四边形的最大面积是
13．(1)
(2)存在，或或
(3)最大值为，
14．(1)点A、B、C的坐标分别为：
(2)2，
(3)
15．(1)该拋物线的解析式为；
(2)；
(3)点的坐标为或或．
答案第1页，共2页