青岛市重点中学2023-2024高三上学期期末考试数学试题
本试卷共6页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡
上，写在本试卷上的无效，
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，
1.集合A={血x≥1，B={x1
A.0
B.ec.{xe≤x<3}
D.x>1
2.1
知平面向量ā=(0,1)，b=(-L,1),则向量ā在向量b上的投影向量是()
2V2
2’2
2
B
e。〔
3.若复数z=(2-ai(i+1)的共轭复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范
围是()
A.(2,to)
B.(-0,-2)
C.(-2,2)
D.(0,2)
4已知函数f代)=c0s[@(c-了+(o>0)的图像关于原点中心对称，侧u的最小值为
A.
13
4
c.
5.(l0g43-1og3展开式的常数项为()
B、3
4
c
D.
高三数学试题第1页，共6页
6椭圆女
行+产=1(a>b>0)任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：2+'=a+b2,
这个圆称为椭圆的蒙日圆.在圆(x-4)2+(y-3)=2(>0)上总存在点P，使得过点P能作
箱圆兰+上-1的两条相互垂直的切线，斯的取值范围是()
54
A.[1,7]
B.[3,9
C.[3,71
D.[2,8]
7.1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比
定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用
sc(角)表示：锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用c3c（角)表示，则
csc10°-√3sec10°=.)
A.5
B.2V5
C.4
D.8
8.双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上，两条渐近线分别为1,2，经过右焦点F垂直于
的直线分别交，马于A,B两点已知OA、A丽、O成等差数列，且BF与反向则双曲
线的离心率为()
A.
B.√7
2
D.5
2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，：有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分，
9.已知0A.In(b-a)>0
B.
9bb+2
11
C.a-b<
D.、Q-ba+b
a b
Ina-Inb 2
10.有一组样本数据0,1,2,3,4，添加一个数X形成一组新的数据，且
P(X=)-=2k∈0，L2345》.则新的样本数据（)
1
5
A.众数是1的概率是
32
B.极差不变的概率是
32
C.第25百分位数不变的概率是3
D。平均值变大的概率是
2
高三数学试题
第2页，共6页2023-2024学年第一学期期末考试 ∵BD DE D，∴ AC 平面 BDE， X 可能取值为3,4,5，
设 AC，BD 交于 O，取 BE 的中点 G，连 FG，OG， C2C3 5 C1 4高三数学试题参考答案 P X 3 2 6 ,P X 4 2C6 15 5 5 ,
OG / /CF OG CF C 14 C 28， ，四边形 OCFG 是平行四边形 8 8
一、选择题 C02C
5 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 FG / / AC ， AC 平面 BDE∴ FG
6
平面 BDE， P X 5 C5 8 28
C D C B C D C D BCD ABD ABD 又因 FG 平面 BEF，∴平面 BEF 平面 BDE. X 的分布列为：
二、填空题 （2）以 O为坐标原点，OA，OB，
OG所在直线分别为 x、y、z轴建 X 3 4 5
12. 28 2 13. 30 14. 42 -3 立如图空间直角坐标系
3 5 15 3
∵BE与平面 ABCD所成的角为 P
三、解答题 45 ， BAD 60 14 28 28
tanB 115.（1）由 tanC sin B sinC，可得 ，所以
2 cosB 2cosC DE BD AB 2，OA 3 则 ；E X 3 5 4 15 5 3 15
2sin BcosC sinC cosB， D 14 28 28 40, 1,0 ， B 0,1,0 ，C( 3,0,0)， E 0, 1,2 ，
a2 b2 c2 a2 c2 b2 （2） 2 2列联表如下：
又由正弦定理和余弦定理，可得 2b c ， F( 3,0,1) .
2ab 2ac 抗体
疫苗 合计
2 2 BE (0, 2,2)，BF ( 3, 1,1)
3(c2 b2 ) a2 c b 1 抗体弱 抗体强整理得 ，所以 2 .a 3 2y 2z 0
设平面 BEF的法向量为 n (x, y, z)， ， A疫苗 20 m 80 m 100
（2）由a 21，且 ABC的周长为7 21，可得b c 7， 3x y z 0
B疫苗 40 m 60 m 1001
又由（1 2）可知， c b2 a2 7，即 (c b)(c b) 7 n (0,1,1)，所以
3
合计 60 140 200
b c 7 BC ( 3, 1,0)
，BF ( 3, 1,1)
c b 1，联立方程组 ，解得c 4,b 3，
c b 1 m (x, y, z) 2 200 80 m 40 m 60 m
2
20 m 2 10 m 2
设平面 BCF 的法向量 100 100 140 60 21
b2 c2 a2 32 42 ( 21)2 1
所以 cos A ， 3x y 0 2
2bc 2 3 4 6 m ( 1, 3,0) 2 10 m
3x y z 0
由题意可知， x ，
21 0.025
5.024
1 35 设二面角 B EF D的大小为 .
则 sin A 1 cos2 A 1 ( )2 ， 2
6 6 整理得， 10 m 52.752，解得m 2或m 18,m N，
cos | cos n,m | 3 6 .
35 2 35 2 2 4 又10 m 0,m N ，则m 10,m N ，所以m 2,m N ，故
所以边b上的高为 h c sin A 4 .
6 3 m的最大值为 2.
16.（1）∵DE 平面 ABCD， AC 平面 ABCD. 17.（1）从医学指标在 25,50 的志愿者中，按接种 A、B疫苗分层
2 2
∴DE AC .又∵底面 ABCD 是菱形，∴ AC BD . y x
8 2 6 18. （1）由题椭圆方程为A B 1抽取 人中，接种 疫苗有 人，接种 疫苗有 人，由题意可知， 4 3
高三数学试题参考答案 第 1页，共 4页
{#{QQABTQIQogggQAAAAAhCAwUYCgOQkBGCCKoGRBAAIAAASQFABAA=}#}
（2）由题意得设椭圆与双曲线的交点为 M
设 A x , y 2x x x x1 1 ， B x2 , y2 ，E x5 , y5 ，G x6 , y6 ， ae 1 e 1
g (x) ae
x e x (a 1) ae (a 1)e 1 x x
有图可知M
2 6
,
2
,F (0,1) 当直线 AB的斜率存在且不为零时，
e e
3 3
设直线 AB方程为 y kx 1 因为函数 g(x)k 0 既存在极大值，又存在极小值，，
则 g (x) 02 必有两个不等的实根，则 a 0，
1 6 1 令 g (x) 0可得 或 ，
k 3 则直线 EG方程为 y x 1
x 0 x lna
，
MF 2 6 12 k
所以 lna 0，解得a 0且a 1.
3 12 1 k 2 当 a (0,1)时， lna 0 .则有：
由（2）的过程可知： AB ，
4 3k 2 x ( ,0) 0 (0, ln a) lna ( ln a, )
6
若要产生如图 B、D、A、C 四点结构，可知 k
12 由 CD 4 1 k 2 1 1 ，以 替换 k，可得 EG 4 1 ，k k 2 g (x) + 0 0 +
设 直 线 AB 方 程 为 y kx 1 ， 设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，
所以
g(x) 极大 极小2
C x , y D x , y 12 1 k 2 24 1 k 2 3 3 ， 4 4 ， S 1 1 1 值 值AEBG AB EG 4 1 四边形 2 2 4 3k 2 2 k k 2 4 3k 2
y kx 1 极大值 g 0 a 1，极小值 g ln a 1 a (a 1)lna
2 2
联立 y2 x2 ，消去 y得： 4 3k x 6kx 9 0，
1 24
2
1 k 2 24 当 a (1, )时， lna 0 .则有： 4 3
3 1 k 2 2 2 1 k 2 16k 9 3 2
1 1
2 2则 x1 x2 ， x x ， 所 以 1 k 1 k 2 x ( , ln a) lna ( ln a,0) 0 (0, )4 3k 2 1 2 4 3k 2
12 1 k 2 1
AB 1 k 2 | x x | . 因为1 k 2 1，所以 0,11 2 1 k 2 ， SAEBG 8； g (x) + 0 0 +4 3k 2
抛物线K的方程为： x2 4y， 当直线 AB的斜率不存在时， AB 4， EG 4 极， g(x) 极大 小
值
y kx 1 S 1 1
值
所以 AB EG 4 4 8；
联立 2 ，消去 y得： x2 4kx 4 0， 四边形AEBG
x 4y
2 2
极大值 g ln a 1 a (a 1)lna，极小值 g 0 a 1.
综上所述： S 8四边形AEBG ，所以四边形 AEBG面积的最小值为8.
则 x3 x4 4k , x3x4 4， （ⅱ）由 a (1, )，所以 x1 lna， x2 0，
19. （1） f (x)为奇函数，有 f (0) 0，则a 1，经检验知 a 1满
所以 CD 1 k 2 16k 2 16 4 1 k 2 ， g x1 1 a (a 1)lna ， g x2 a 1，
足题意，所以 f (x) e x e x ， f (x) e x e x 所以 f (0) 0，
所以 AC BD AC AD BD AD CD AB f (0) 2 由题意可得1 a (a 1)lna k(a 1) 0对 a (1, ) 恒成立，,
12 1 k 2 4 1 k 2 3k 2 1 所以 f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程为 y 2x . 即 (k 1)(a 1) (a 1)lna 0 a 1 2 ， a 1 (k 1) lna 0 4 1 k ，2 2 0 a 14 3k 4 3k
g(x) f (x) (a 1)x ae x e x (a 1)x h(x) (k 1) x 1（2）（ⅰ） ， 令 ln x 0，其中 x 1，
AC BD . x 1即
（3）存在最小值，最小值为 8.
高三数学试题参考答案 第 2页，共 4页
{#{QQABTQIQogggQAAAAAhCAwUYCgOQkBGCCKoGRBAAIAAASQFABAA=}#}
h (x) 2 1 x
2 2kx 1
k 1
(x 1)2 x x(x 1)2
令 x2 2kx 1 0，则 4k 2 4 4 k 2 1 .
①当 0，即 1 k 1时， h (x) 0， h(x)在(1, )上是严
a 1
格增函数，所以 h(x) h(1) 0，即 (k 1) lna 0，符
a 1
合题意；
②当 0，即 k 1或 k 1时，
设方程 x2 2kx 1 0的两根分别为 x1， x2且 x1 x2，
当 k 1时，则 x1 x2 2k 0， x1x2 1 0，
则 x1 x2 0， h(x)在(1, )上是严格增函数，所以
h(x) h(1) 0 a 1，即 (k 1) lna 0，符合题意；
a 1
当 k 1时，则 x1 x2 2k 0， x1x2 1 0，
则0 x1 1 x2 ，则当1 x x2 时， h (x) 0，则 h(x)在
1, x a 12 上单调递减， h(x) h(1) 0，即 (k 1) lna 0 不a 1
合题意.
综上所述， k的取值范围是 1, .
高三数学试题参考答案 第 3页，共 4页
{#{QQABTQIQogggQAAAAAhCAwUYCgOQkBGCCKoGRBAAIAAASQFABAA=}#}