2023-2024学年山西省晋中市高一上学期期末调研数学试题(含解析）

2023-2024学年山西省晋中市高一上学期期末调研数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，的否定是
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，，则
( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.下列函数是偶函数且在上单调递减的是
( )
A. B. C. D.
5.已知，，则“”是“”的
( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知，，，则
( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是
( )
A. B. C. D.
8.已知点，分别以，为起点同时出发，沿单位圆为坐标原点逆时针做匀速圆周运动，若点的角速度为，点的角速度为，则，第二次重合时的坐标为
( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则
( )
A. B. C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则
( )
A. 的最小正周期为 B.
C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增
11.设分别是方程与的实数解，则
( )
A. B. C. D.
12.已知，，均为不等于零的实数，且满足，则下列说法正确的是
( )
A. B. 当时，的最大值为
C. 当时，的最大值为 D. 当时，的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数若，则 ．
14.已知扇形的周长为，面积为，则这个扇形的圆心角正角的弧度数为 ．
15.为了践行“绿水青山就是金山银山”的生态环保理念，某地计划改善生态环境，大力开展植树造林活动该地计划每年都植树造林，若森林面积的年增长率相同，则需要年时间使森林面积变为原来的倍，为使森林面积变为原来的倍以上，至少需要植树造林 年结果精确到整数，参考数据：
16.已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知不等式的解集为．
求不等式的解集；
设非空集合，若是的充分不必要条件，求的取值范围．
18.本小题分
已知，，且，．
求，；
求．
19.本小题分
已知函数是奇函数．
求实数的值；
求关于的不等式的解集．
20.本小题分
某工厂生产某种产品，受生产能力、技术水平以及机器设备老化等问题的影响，每天都会生产出一些次品，根据对以往产品中次品的分析，得出每日次品数万件与日产量万件之间满足关系式其中为小于的正常数对以往的销售和利润情况进行分析，知道每生产万件合格品可以盈利万元，但每生产万件次品将亏损万元，该工厂需要作决策定出合适的日产量．
求每天的利润万元与的函数关系式；
分别在和的条件下计算当日产量为多少万件时可获得最大利润．
21.本小题分
已知函数，，满足，．
求的解析式；
将的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．
22.本小题分
已知函数的定义域为，且，，都有成立．
求，的值，并判断的奇偶性．
已知函数，当时，．
判断在上的单调性；
若均有，求满足条件的最小的正整数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，由此求解出结果．
【解答】
解：变为，的否定为，
所以原命题的否定为“，”，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
先求出，根据定义依次判断即可．
【解答】
解：因为，所以，
对于选项，因为，故 A选项错误；
对于选项，因为，故 B选项错误；
对于选项，因为，故 C选项正确；
对于选项，，故 D选项错误．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
利用齐次化运算求解．
【解答】
解：．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】
根据余弦函数，指数函数，幂函数的奇偶性和单调性逐一判断即可．
【解答】
解：对于，，为奇函数，选项 A错误；
对于，，为奇函数，选项 B错误；
对于，，即函数不单调，选项 C错误；
对于，，，故为偶函数，
又函数在上单调递减，选项 D正确．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】
运用诱导公式，和充分必要条件的定义判断求解
【解答】
解：，，，
，，即成立
反之，，若，则不成立
所以“”是“”成立的必要不充分条件，
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】
根据指数函数单调性可判断的大小，根据对数函数单调性可判断的正负，由此可判断的大小关系．
【解答】
解：由指数函数单调性可知：，
由对数函数单调性可知：，
由上可知：，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
首先根据定义域排除、选项，再由趋于正无穷时的符号，结合排除法即可得到答案．
【解答】
解：对于，，当趋于正无穷时，是一个负数，即为负数，排除选项；
因为和的定义域都为不满足所给图象，排除、选项；
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】
设运动时间为，明确，点的坐标随时间变化，问题转化为追及问题求解．
【解答】
解：设运动时间为，则点坐标为，点坐标为，
则，第二次重合时，，
此时点坐标为：即．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
采用取特殊值法判断；利用不等式的性质判断．
【解答】
解：对于：取，此时，即，故 A错误；
对于：因为，所以，又因为，所以成立，故 B正确；
对于：因为，所以，又因为，所以，所以，
又因为，且，，所以，故 C正确；
对于：取，此时，显然不成立，故 D错误；
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
根据图象先求解出的值，然后根据图象过求解出的值，由此可求的解析式，然后逐项检验即可．
【解答】
解：由图象可知：，，所以，
所以，代入，所以，
所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，故 A正确；
因为，故 B正确；
因为，所以不是对称中心，故 C错误；
当时，令，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，故 D正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
利用反函数性质结合图像求解即可．
【解答】
解：方程与分别变形为：
因为和互为反函数，且关于对称，
所以，故 CD正确，
画出和，的图像，易知 A正确；
又因为，结合图像，易知，故 B错误．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
利用特值排除选项A，利用基本不等式判断，利用特值排除选项C，利用基本不等式判断．
【解答】
解：对于选项A，当，因为，可得，但是此时，故选项 A错误；
对于选项B，因为，，，
所以，故，所以，且，所以的最大值为，故选项B正确；
对于选项C，当时，因为，所以可求，
所以的最大值不为，故选项C错误；
对于选项D，因为，，所以，
所以，因为，所以时取等号，
所以，且，所以的最大值为，故选项D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
利用，代入解析式可求答案．
【解答】
解：因为所以，
解得．
故答案为：
14.【答案】或
【解析】【分析】
设扇形的半径为，弧长为，根据题意列方程组求出、的值，即可求出扇形的圆心角．
【解答】
解：如图所示，
设扇形的半径为，弧长为，由题意可得
解得，或
当，时，扇形的圆心角为；
当，时，扇形的圆心角为；所以该扇形的圆心角为或．
故答案为：或
15.【答案】【答案】
【解析】【分析】
先求出年增长率，再列出不等式求出即可．
【解答】
解：设森林面积为，森林面积的年增长率为，
则年时间森林面积变为，则，
若需要植树造林年，使得森林面积变为原来的倍以上，则有，
即，则有，
所以为使森林面积变为原来的倍以上，至少需要植树造林年．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】
分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可．
【解答】
解：当时，，令得，符合题意；
当时，是二次函数，对于方程，
只需，即，解得，且，
当时，，此时，得或，符合题意，
当时，，此时，得或，符合题意，
综上，实数的取值范围为．
故答案为：．
思路点睛：本题考查函数零点分布讨论和两种情况，当时，可判断判别式大于零，结合零点存在性定理运算求解．
17.【答案】解：因为不等式的解集为，
所以方程的解为，
所以，，得，，
则不等式即，
解得，故解集；
由知，，而是的充分不必要条件，
则是的真子集，
所以，解得，
综上所述的取值范围是．

【解析】先根据不等式的解集求出，再根据一元二次不等式的解法即可得解；
由是的充分不必要条件，可得是的真子集，分和两种情况讨论即可．
18.【答案】解：由题意知，，
因为，所以，所以，
所以．
由，，可得，，
所以，
，
因为，所以．

【解析】根据二倍角的余弦公式求解出的值，然后判断出的范围，再根据平方和关系求解出的值；
根据条件先判断出的范围，然后根据平方和关系求解出，利用角的配凑可得，结合两角和的正弦公式求解出的值，再根据的范围可求结果．
19.【答案】解：因为是奇函数，
所以对定义域内的任意恒成立，
则对任意定义域内的任意恒成立，所以，，
当时，定义域为，不关于原点对称，舍去，
当时，，符合条件．
所以．
，的定义域为．
当时，，解得，
当时，，解得．
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．

【解析】由题意，，可得，结合奇函数定义域关于原点对称，确定；
利用和不同范围时对数函数的性质解不等式．
20.【答案】解：由题意得：
当时，，
当时，，
综上，．
令，则，
若，当时，每天的利润为，
当时，，在上单调递减，
故最大值在即时取到，为；
若，当，每天的利润为，
当时，，，当且仅当时等号成立，
故最大值在，即时取到，为，
综上，若，则当日产量为万件时，可获得最大利润；
若，则当日产量为万件时，可获得最大利润．

【解析】根据题意列出万元与的函数关系式即可；
利用函数的单调和基本不等式可求最值．
21.【答案】解：
，
由题意可知：在处取到最大值，
则，解得，
又因为，故只有时成立，得，
所以；
将的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，再将得到的图象向左平移个单位长度，
得的图象．
令，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，
当时，，当时，，
故在上的值域为．

【解析】利用三角恒等变换可得，根据题意结合正弦函数最值分析求解；
根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数的有界性分析求解．
22.【答案】解：令，得，解得，
令，得，故．
令，得，即，
又的定义域为，关于原点对称，所以是奇函数．
由，可得，
即．
，且，
有，
因为，所以，
从而，得，
因此在上单调递减．
因为，，所以是偶函数．
，而在上单调递减，
则有或，由题可知，只需考虑成立，
从而有．
因为，所以，则的最大值在处取到，
故只需．
综上，满足条件的最小的正整数．

【解析】利用赋值法，根据函数的奇偶性的定义证明即可；
根据函数的单调性的定义证明即可；根据函数单调性和奇偶性的性质得到关于的不等式，解出即可．
点睛：本题难点在证明单调性时，构造，结合已知进行证明，属于难题．
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