2023-2024学年四川省宜宾市高一上学期期末学业质量监测数学试卷(含解析）

2023-2024学年四川省宜宾市高一上学期期末学业质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数则( )
A. B. C. D.
4.角的终边过点，则的值为
( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为
．( )
A. B.
C. D.
6.已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
7.函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，则
10.下列式子中正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数的部分图象如图所示，则
( )
A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
12.已知函数则下列说法正确的是
( )
A. 当，时，
B. 对于，，
C. 若方程有个不相等的实根，，，，则的范围为
D. 函数有个不同的零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域为 ．
14.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”明增广贤文是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍．甲乙两位同学以相同分数考入某高中，甲同学每天以饱满的热情去学习，每天都在“进步”，乙同学沉迷于手机，每天都在“退步”如果甲每月的“进步”率和乙每月的“退步”率都是，那么甲“进步”的是乙“退步”的倍需要经过的时间大约是 个月四舍五入，精确到整数参考数据：，
15.已知，则 ．
16.已知函数满足：若函数在区间上单调，且，则当取得最小值时， ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，集合．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知定义在上的函数是奇函数．
判断的单调性，并用定义证明；
解不等式．
19.本小题分
已知．
若，求的值；
若，，求的值．
20.本小题分
已知函数，且满足________．
求函数的解析式；
若关于的方程在区间上有两个不同解，求实数的取值范围．
从的图象与直线的两个相邻交点之间的距离等于；的两个相邻对称中心之间的距离为这两个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．
21.本小题分
第届世界大学生夏季运动会于年月日至年月日在成都举办．成都大运会吉祥物“蓉宝”以熊猫“芝麻”为原型创作，手中握有“”字样火焰的大运火炬．成都大运会激发了全世界对“国宝”熊猫的喜爱，与熊猫有关的商品销量持续增长．现有某工厂代为加工成都大运会吉祥物“蓉宝”玩偶，已知该工厂代加工玩偶需投入固定成本万元，每代加工万件玩偶，需另投入万元．现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工万件时，获得的利润为万元．
求该工厂代加工成都大运会吉祥物“蓉宝”玩偶的利润单位：万元关于代加工量单位：万件的函数解析式；
当代加工量为多少万件时，该工厂代加工成都大运会吉祥物“蓉宝”玩偶的利润最大？并求出利润的最大值．
22.本小题分
对于函数，，若存在，使得，则称函数为“不动点”函数，其中是的一个不动点；若存在，使得，则称函数为“次不动点”函数，其中是的一个次不动点．
判断函数是否为不动点函数，并说明理由；
若函数在区间上有且仅有两个不同的不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据集合的交运算即可求解．
【详解】，故选：
2.【答案】
【解析】【分析】根据命题的否定即可求解．
【详解】命题“，”的否定是：，，
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】根据分段函数的性质，代入即可求解．
【详解】，
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】利用三角函数的定义及正切的二倍角公式计算即可．
【详解】由三角函数的定义知，
所以根据正切的二倍角公式有．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象．
【详解】由函数的解析式得：，则函数为偶函数，其图象关于坐标轴对称，、D错误；
当时，， D错误．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】幂函数为偶函数，解得，函数在区间上为单调函数，利用二次函数的性质，列不等式求实数的取值范围．
【详解】为幂函数，则，解得或，
时，；时，．
为偶函数，则．
函数在区间上为单调函数，
则或，解得或，
所以实数的取值范围为．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】先利用必过定点确定的坐标，后利用基本不等式的代换处理即可．
【详解】在中，当时，，故，
将代入直线方程中，化简得，
故，
当且仅当时取等，即的最小值为．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】利用三角函数的图象与性质结合整体代换思想计算即可．
难点点睛：注意整体的思想得出，利用三角函数的图象与性质计算即可．
【详解】由题意可知时，，
根据正弦函数的图象与性质知．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】利用不等式的性质结合特例一一判定选项即可．
【详解】对于项，若，则，故 A错误；
对于项，因为，，所以，利用同向可加性有，故 B正确；
对于项，若，，则，故 C错误；
对于项，可利用糖水不等式说明：假设克溶液里有克糖，此时溶液浓度为，
若加入克糖，此时溶液浓度为，显然溶液浓度变高了，即，
或可直接作差得，综上 D正确．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】利用指数式和对数式的运算规则，化简各算式验证选项．
【详解】，选项正确；
，选项正确；
，选项错误；
，选项正确．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】利用图象求函数解析式，根据解析式求函数最小正周期和区间内的值域，求出函数图象变换后的解析式，判断新图象的对称中心．
【详解】由函数图象可知，，的最小正周期为，选项正确；
，，，
则，由，得，
所以．
当时，，，的值域为，选项错误；
将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，选项错误；
将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数的图象，
，函数的图象关于点对称，选项正确．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】作出函数图象，根据函数单调性和对称性以及零点分布情况一一代入选项分析即可．
关键点睛：本题选项的关键是利用函数的局部对称性得到，再根据分段函数关系式得到，最后减少变量即可判断整体和的范围．
【详解】作出函数图象如下图所示：
对，当时，，
时，，
当，时，，
，故 A正确；
对，取，，则，故 B错误；
对，根据函数图象可知当时，有四个不同的实根，
，由得，
由得，则，
则，故 C正确；
对，令，则，令，则，
当时，则，解得或，
当时，，解得，
观察图象知，当或时，直线与函数图象各有一个交点，
当时，直线与函数图象有四个交点，
则函数有个不同的零点，故D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据定义域的求法：为偶数、．
【详解】由题意得
【点睛】常见函数定义域的求法：
为偶数
14.【答案】
【解析】【分析】依题意得，利用对数的运算性质即可求解．
【详解】经过个月后，“进步”的是“退步”的比，
所以，两边取以为底的对数得，解得．
要使“进步”的是“退步”的倍，则大约需要经过个月．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】根据二倍角公式及诱导公式计算即可．
【详解】由，
所以．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数式，三角函数的图象与性质先计算得，再计算何时取最小值即可得结果．
难点点睛：现根据确定的值，得出解析式，利用三角函数的单调性、对称性计算即可．
【详解】易知，
若，由辅助角公式得，
其中，
因为，则，
则，所以，
若，则，
其中，同上，与前提矛盾，舍去，
故，
易知以为对称中心，
根据题意函数在区间上单调，且，则
则当取得最小值时，．
故答案为：．
17.【答案】解：由解得，
所以，
当时，，
所以．
因为，所以，
因为，所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．

【解析】根据分式不等式化简集合，即可根据并集的运算求解，
根据包含关系即可列不等式求解．
18.【答案】解：由题意知，
所以，经检验满足题意，所以，
，，不妨设，
则，
因为，所以，，，
从而，即，所以在上单调递增；
由题意，，
于是，解得，所以实数的取值范围为．

【解析】根据题意求出，求出，，，不妨设，求出，判断其正负即可求解；
，据此即可求解．
19.【答案】解：由题意可得
，
因为，
所以，
所以；
若，则，两边平方得，
所以，由，，
所以，，
所以，
所以．

【解析】利用诱导公式化简可得，再利用弦化切计算可得答案；
对两边平方得，利用平方关系求出，再由两角和与差的正弦公式计算可得答案．
20.【答案】解：
．
若选择条件：的图象与直线的两个相邻交点之间的距离等于，
函数的的最小值为，则函数的最小正周期为，即，所以，
若选择条件：的两个相邻对称中心之间的距离为，
则函数的最小正周期为，即，所以，
所以．
关于的方程在区间上有两个不同解，即在区间上有两个不同解，
当时，，所以，
解得，即实数的取值范围为．

【解析】由二倍角公式和诱导公式化简函数，由选择的条件利用周期求出，得的解析式；
即，由方程在区间上有两个不同解，利用正弦函数的图象与性质，列不等式求实数的取值范围．
21.【答案】解：当时，
当时，
因为时，，
解得
当时，，
当时，，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，又，
所以当代加工量为万件时，该工厂代加工“蓉宝”玩偶的利润最大，最大利润为万元．

【解析】利用时，，计算出，再根据已知模型计算即可；
利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可．
22.【答案】解：假设为不动点函数，则，使得，
令，
易知函数在定义域内为增函数，
且，，
根据零点存在性定理可知，函数在区间上存在唯一的零点，
所以为不动点函数．
函数在区间上有且仅有两个不同的不动点，
所以方程在区间上有两个不同的解，
则，
令，因为在区间上单调递增，所以，
所以．
要使与在上有两个交点，则．
又函数在区间上有且仅有个次不动点，
所以方程在区间上有唯一解，
则，，
令，在单调递增
要使，与在上有个交点，则．
所以经检验满足在区间上恒成立，所以实数的取值范围为．

【解析】根据“不动点”函数的概念，结合函数零点的存在性判定方法，判断函数是否为不动点函数．
利用换元法，转化为二次函数在给定区间上的函数值的问题，结合函数的图象和单调性，判断解的个数．
关键点点睛：第问中，根据“不动点”函数的概念，问题转化为函数有零点的问题是关键，再利用零点的存在性定理进行判断；
第问中，利用换元的思想，把问题转化为二次函数在给定的区间上一个函数值可以有两个和一个自变量与之对应的问题，是解决问题的关键．
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