安徽省安庆市市安庆一中2023-2024学年高二上学期期末数学试卷(含解析）

2023-2024学年安徽省安庆市市安庆一中高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知抛物线的焦点为是上一点，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，为的导函数，则的图象是
( )
A. B. C. D.
4.直线与圆的位置关系是
( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与的值有关
5.命题“”是命题曲线表示双曲线的
( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6.在等比数列中，，数列是等差数列，且，则等于( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆：的右焦点为，右顶点为，以为直径的圆交直线于点不同于原点，设的面积为若，则椭圆的离心率为
( )
A. B. C. D.
8.已知函数为上的偶函数，且对于任意的满足，则下列不等式成立的是
( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线过点，若直线在轴和轴上的截距相等，则直线的方程可能为
( )
A. B. C. D.
10.过抛物线的焦点的直线与相交于，两点若的最小值为，则
( )
A. 抛物线的方程为
B. 的中点到准线的距离的最小值为
C.
D. 当直线的倾斜角为时，为的一个四等分点
11.已知等比数列的前项积为，，公比，且，，则( )
A. 当时，最小 B.
C. 存在，使得 D. 当时，最小
12.已知曲线在点处的切线为，且与曲线也相切．则
( )
A.
B. 存在的平行线与曲线相切
C. 任意，恒成立
D. 存在实数，使得任意恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知 是以点 为圆心， 为半径的圆上的点，则点 到原点的最小距离为 ．
14.已知双曲线 ： 的右焦点 到渐近线的距离为，则实轴长为 ．
15.古印度数学家婆什伽罗在丽拉沃蒂一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施子安贝古印度货币单位，以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月天计算，记此人第日布施了 子安贝其中 ， ，数列 的前项和为 若关于的不等式 恒成立，则实数的取值范围为
16.若关于不等式 的解集中的正整数有且只有一个，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在等差数列中，为其前项和若．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数，若函数在处取得极值．
求、的值；
求函数在上的最大值和最小值．
19.本小题分
已知圆经过两点，且圆心在直线上．
求圆的方程；
设，是圆上异于原点的两点，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过一定点，并求出该定点的坐标．
20.本小题分
已知各项均为正数的数列满足，，．
证明：数列为等比数列；
记，证明数列为等差数列，并求数列的前项和．
21.本小题分
已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆经过点，．
求椭圆的标准方程．
设过点的直线与交于，两点，点在轴上，且，是否存在常数使？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．
22.本小题分
已知函数．
若，求的极值
设，若函数有两个零点，，且，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了直线的斜截式方程，直线的倾斜角与斜率的应用，根据已知及直线的斜截式方程的计算，将直线的一般式方程化为直线的斜截式方程，可知直线的斜率，从而可得直线的倾斜角．
【解答】
解：将直线的一般式方程化为斜截式方程得，
所以直线的斜率为，
因为，
所以倾斜角为．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的准线方程，几何性质，属于基础题．
利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出．
【解答】
解：由抛物线可得，
准线方程，
是上一点，，．
，
解得．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的导数的图像，属于基础题．
先化简 ，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除，，确定导函数在 ， 上单调递减，从而排除，即可得出正确答案
【解答】
解：由 ，
，它是一个奇函数，
其图象关于原点对称，故排除，；
令
又 ，
当 时， ，
，
故函数在区间 ， 上单调递减，故排除，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查直线的定点问题，属于基础题．
确定直线过定点，点在圆内，得到答案．
【解答】
解：过定点，且，
故在圆内，
故直线和圆相交．
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判断以及双曲线的标准方程，属于基础题．
根据双曲线标准方程求出的范围，结合充分、必要条件的定义进行判断即可，
【解答】
解：：方程表示双曲线，
，
．
又：．
，，
故是的充分条件；反过来不成立，
则是的充分不必要条件
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列与等比数列的性质，属于基础题．
由等比数列的性质即可求得，再由等差数列的性质即可求解．
【解答】
解：因为在等比数列中，有，
所以，解得或舍，
所以，
因为数列是等差数列，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的性质，平面向量的数量积以及三角形的面积公式，属于中档题．
依题意，得，可求得点到直线的距离，由，可得，即，可求得离心率．
【解答】
解：依题意，得，点到直线的距离．
在中，，，
．，
，
其中，，
，即，
得．或舍，
椭圆的离心率为．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查构造函数判断函数值的大小问题，属于中档题．
根据题设可构造，则，从而在区间上是减函数，再结合选项逐一验证即可．
【解答】
解：偶函数对于任意的满足，
令，则，即为偶函数．
又，故在区间上是减函数，
所以，
即，故B正确；
，故A错误；
，故C错误；
，故D错误．
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求直线截距式方程，属于基础题．
分直线过原点和不过原点两种情况，讨论计算即可．
【解答】
解：当直线过原点时，设直线方程为，
因为直线过点，
所以，解得，
所以直线方程为，
即；
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为直线过点，
所以，解得，
所以直线方程为，
综上所述，直线的方程为或，
故选AC．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线及其性质，直线与抛物线之间的关系，圆锥曲线中的最值问题，涉及了韦达定理的应用，属于较难题．
由题意可知，当斜率不存在时，即过抛物线的焦点，且垂直轴，即为通径时，取得最小值，再结合抛物线的定义与性质，即可求解．
【解答】
解：当斜率不存在时，即过抛物线的焦点，且垂直轴，
，
，
当斜率存在时，设直线的方程为，
设，，
联立直线与抛物线方程，
可得，
由韦达定理，可得，
由抛物线的定义，可得，
综合以上两种情况可得，当斜率不存在时，即过抛物线的焦点，且垂直轴，取得最小值，
的最小值为，
，即，
抛物线的方程为，故A选项正确，
的中点到准线的距离最小值为，故B选项正确，
当斜率不存在时，两交点坐标为，，
，故C选项错误，
，解得，
当直线的倾斜角为时，可得，
将代入中，可得，解得两根为，，
不妨设，，，
由抛物线得的定义可得，，，
即，
，即为的一个四等分点，故D选项正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：对于选项B因为，，所以，
又因为，，所以，故B正确
对于选项A、因为，
所以，则，
又因为，可得，
则，故，且，，可知数列是单调递增数列，
当时，当时，
所以当时，最小，故选项A错误，选项D正确
对于选项C因为数列是单调递增数列，且当时，，
所以，故C错误故选：．
本题考查的知识要点：等比数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数中的恒成立和存在性问题，属于中档题．
由得，利用求得切线的方程，与相切求得的值，即可判断，；利用导数判断方程的根的个数，可以判断；构造，利用导数可以判断．
【解答】
解：由得，所以，
，
时，，
所以切线的方程为即．
代入得
，即，
与也相切，
，，所以，故 A正确
令，则，
设，则，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在时取得极小值，，
时，，，
所以有唯一零点，故B错误；
设，
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时，取得极小值，也是最小值，，
所以对任意，恒成立，故C正确；
由上述可知，在时的值域为，
所以不存在实数，使得对任意恒成立，
故D错误．
故选AC．
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查了两点间距离，属于基础题．
根据题意即可得到答案．
【解答】
解：原点到圆心的距离为，因此，点到原点的最小距离为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
根据题意得到焦点到渐近线的距离，求出和即可得到答案．
【解答】
解：双曲线的渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离，
所以，即，所以，所以，所以实轴长为，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前项和，考查不等式恒成立问题，属于中档题．
由题意可知，，，代入不等式，化解即可．
【解答】
解：由题意可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，故，
所以．
由，得，整理得，
对任意，且恒成立，
又，当且仅当，即时等号成立，所以，
即实数的取值范围是．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用导数求函数单调性及求参数的取值范围，属于中档题．
根据题意得到不等式等价于，令，，求导后分析即可得到答案．
【解答】
解：当时，任一正整数都满足不等式，故．
当，时，不等式等价于，
令，，当时，恒成立，
在上单调递增，，解得．
故答案为：
17.【答案】解：设等差数列的公差是，
由已知条件得
解得，，．
由知，，
，
．

【解析】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，裂项相消法求和，属于基础题．
设等差数列的公差是，由已知列式解得，，即可得到数列的通项公式；
由知，，利用裂项相消法求和即可．
18.【答案】解：因为函数，
所以，
又因为函数在处取得极值，
所以，且，
所以，
解得，．
由知，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，，
所以最大值为，最小值为．
【解析】本题考查利用导数根据极值求参以及利用导数求函数的最值不含参，属于中档题．
求出导函数，利用导数根据极值得到，结合，即可求出、的值．
由知和，利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的最值．
19.【答案】解：设．
因为圆心在直线上，所以．
又因为圆经过点和，
所以，即，
因此由解得，即，
所以圆的方程为，即．
证明：因为，是圆上异于原点的两点，
所以当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，．
由得，
由得，
且，．
又因为直线，的斜率分别为，，且，
所以
，即，
因此直线的方程为，所以直线必过定点．
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为．
由得，
因此，，
所以．
又因为，所以，即，
因此不成立，即直线的斜率一定存在．
综上所述，直线经过一定点．
【解析】本题考查了直线的倾斜角与斜率 ，直线系方程及其应用 ，两点间的距离公式 ，圆的标准方程 ，直线与圆的位置关系及判定 ，圆锥曲线中的定点与定值问题和分类讨论思想 ，属于较难题．
设，利用两点间的距离公式，结合题目条件得，再利用圆的标准方程的标准方程得结论
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，把直线的方程代入圆的方程得，，再利用过两点直线的斜率，结合题目条件得，从而得直线的方程为，再利用直线系方程得直线必过定点，当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，利用直线的方程和圆的方程解得，，再利用过两点直线的斜率得，从而得直线的斜率一定存在，最后综合得结论．
20.【答案】证明：因为，所以
又因为
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列
证明：由得
则
又，
所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列
所以，
因为，所以
所以，
两式作差得：
所以，
【解析】本题考查等差、等比数列的综合，错位相减法求和，属于中档题．
因为得即可证明；
因为，可得即可证明数列为等差数列，求出，进而求，利用错位相减法求和．
21.【答案】解：设椭圆的标准方程为，
把点，代入椭圆方程可得，
解得，，
所以椭圆的标准方程为．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，整理得，
所以，
设，，
则，，
所以，
因为，
所以线段的中点坐标为，
因为点在轴上，且，
所以为线段的垂直平分线与轴的交点，
当时，，，则，
当时，线段的垂直平分线方程为，
令，得，即，
所以，
所以，
当直线的斜率不存在时，．
所以或，满足，
综上所述，存在实数满足题意．
【解析】设椭圆的标准方程为，把点，代入椭圆方程，可得关于，的方程组，解得，，即可得出答案．
设，，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆的方程，得关于的一元二次方程，结合韦达定理可得，，由弦长公式可得，写出线段的中点坐标，由点在轴上，且，推出为线段的垂直平分线与轴的交点，分两种情况：当时，当时，分析，再验证斜率不存在的情况，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：当时，定义域为，
求导得，令，
求导得，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极大值，无极小值，
所以的极大值为，无极小值
依题意，，，因为函数有两个零点，，且，
而，则，
因此函数的两个零点，分别是直线与函数图象的两个交点横坐标，
，当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
而，时，恒有，于是，即，
令，显然有
则有，
令，，
求导得，
即函数在上单调递增，，
即有，从而，
又，
所以
【解析】本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用函数的极值，最值和导数之间的关系是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，属于难题．
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