2023-2024学年安徽省宿州市省市示范高中高一上学期期末教学质量检测数学试卷(含解析）

2023-2024学年安徽省宿州市省市示范高中高一上学期期末教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.“角是第三象限角”是“”的
．( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知，，，则的最大值为
( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则，，的大小关系为
( )
A. B. C. D.
6.函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是
( )
A. B.
C. D.
7.已知是奇函数，当时，其中为自然对数的底数，则( )
A. B. C. D.
8.黎曼函数由德国著名数学家黎曼发现提出，黎曼函数定义在上，其解析式为：当为既约真分数分子与分母互质的真分数且，时，；当，或上的无理数时，若函数是定义在上的偶函数，且，，当时，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，则下列结论中正确的是
( )
A. B.
C. D.
10.下列叙述正确的是( )
A. 若幂函数的图象经过点，则该函数在上单调递减
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 函数的单调递增区间为
D. 函数与函数互为反函数
11.已知函数，则下列关于函数的图象与性质的叙述中，正确的有( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在上单调递增
C. 函数的图象关于直线对称
D.
12.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是
( )
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.________．
14.已知，，则的值为________．
15.如图，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图是如图的扇形，其中，，则扇面曲边四边形的面积是________．
16.已知函数有且仅有个零点，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，求的值．
已知角的终边过点，，，求的值．
18.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．
19.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，其图象经过点．
求实数，的值并指出的单调性不必证明；
求不等式的解集．
20.本小题分
国家质量监督检验检疫局于年月日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于毫克百毫升、小于毫克百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于毫克百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下，该函数模型如下，．
根据上述条件，回答以下问题：
试计算喝瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
试计算喝瓶啤酒后多少小时才可以驾车？时间以整小时计算参考数据：，，
21.本小题分
已知函数，且的图象过点．
求的值及的定义域；
求在上的最大值；
若，试比较与的大小．
22.本小题分
已知函数．
若为偶函数，求函数的定义域；
若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查并集运算，属于基础题．
化简，由并集运算即可求解．
【解答】
解：，
则
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
利用诱导公式即得结果．
【解答】
解：．
故选C
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的符号关系是解决本题的关键，比较基础．
结合角所在的象限，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】
解：当角是第三象限角时，，，于是，
所以充分性成立
当时，
角是第二或第三象限角，
所以必要性不成立，
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了指数幂的运算，以及基本不等式求最值，属于中档题．
由，得，再根据基本不等式可求出结果．
【解答】
解：由，得，得，即，
因为，所以，当且仅当，时，等号成立，
所以，即的最大值为．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了指数函数，对数函数的性质，属于基础题．
根据指数函数，对数函数的单调性比较即可．
【解答】
解： ，则 ，
又 ， ，
．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式．
【解答】
解：由图象可得，，
，
的图象过点，
，即，
，，
当时，，
．
故选D
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的函数值，属于基础题．
由是奇函数可得，则，代入已知可求．
【解答】
解：，
是奇函数，
当时，，
则．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数新定义，函数周期性，属于中档题．
求出函数周期为，从而可得，，从而得解．
【解答】
解：函数 是定义在上的偶函数，且对任意都有 ，
可得 ，故偶函数是周期为的周期函数，
故，
，
而，且为无理数，故，
所以 ，
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查诱导公式，属于基础题．
根据诱导公式判断相关三角函数的等式是否成立．
【解答】
解：根据诱导公式
，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复合函数的单调性、简单的幂函数的图象与性质、幂函数的函数值或解析式、全称量词命题与存在量词命题的否定、反函数，属于一般题．
根据题意，对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】
解：选项，设幂函数为常数，
幂函数图象过点，
，则，
，则函数在上单调递减，故A正确；
选项，命题“，”的否定是“，”，故B正确；
选项，由得：或，
即的定义域为或，
令，
在内单调递增，
而时，为减函数，时，为增函数，
故函数的单调递增区间为，故C错误；
选项，的反函数为，
所以函数与函数互为反函数，故D正确．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
去绝对值得到解析式，画出函数的部分图象，结合正切函数的图象与性质，对各选项进行分析即可．
【解答】
解：因为函数，画出函数的部分图象，如图所示：
对于，函数的最小正周期为，选项A正确；
对于，函数在上单调递增，选项B正确；
对于，根据函数的图象知，的图象关于直线对称，选项C正确；
对于，，所以选项D错误．
故选ABC．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次不等式的解法．
由题意可得，和是关于的方程的两根，从而得出，，进而逐项判断即可得出答案．
【解答】
解：因为不等式的解集为，所以，故A错误；
由题意可得，和是关于的方程的两根，
由韦达定理得
则，，则，选项正确；
不等式，即为，即，解得或，选项正确；
，当且仅当，即等号成立，选项正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查对数、指数运算，属于基础题．
由对数运算法则、指数运算分计算即可．
【解答】解：；
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二倍角公式，属于基础题．
由结合，求解即可．
【解答】
解：，，
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查扇形面积公式，属于基础题．
由题意扇面曲边四边形的面积，可得解．
【解答】解：由题意，，，扇面曲边四边形的面积．
16.【答案】，
【解析】【分析】
本题主要考查余弦型函数的零点，属于中档题题．
根据余弦函数图象性质及一次函数图象性质求解即可．
【解答】解：当，，
，且时即时，无零点，在上有三个零点，
当，，，即时，有一个零点，在上有两个零点，
时，有一个零点，在上有三个零点，不合题意，
综上，，
17.【答案】解：，
所以；
角的终边过点 ，，．
，，，
则．
【解析】本题主要考查同角三角函数关系式，两角和的余弦值，属于基础题．
利用正余弦齐次式的计算求值即可；
由两角和的余弦公式求值即可．
18.【答案】因为 ，
令 ，解得 ，
则 的单调递增区间是 ；
因为 ，
将 的图象向右平移 个单位长度，
可得 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
即 在区间 内的值域为 ．

【解析】【分析】
本题考查二倍角公式，正弦型函数的性质，三角函数图像的变换，属于中档题．
根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得；
根据图象变换规律可得，然后根据正弦函数的性质即得．
19.【答案】解：根据条件是上的奇函数，，
所以，即，
又，
解得，经检验，满足题意；
，于是在上严格减，
，于是不等式可化为
因是上的奇函数，所以，
于是，即，解得或，
所以原不等式的解集为．
【解析】本题主要考查了奇函数定义的应用，待定系数求解函数解析式，还考查了单调性及奇偶性在求解不等式中的应用，属于中档题．
由已知结合奇函数性质及函数图象经过点代入可求，；并可得出函数的单调性；
结合单调性及奇偶性即可求解．
20.【答案】本题主要考查了函数模型及其应用，以及求函数的最值，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．
由图可知，当函数取得最大值时，，此时，根据正弦函数的性质即可求出；
由题意可得，两边取对数，解得即可求出．
【解析】解：由图可知，当函数取得最大值时，．
此时．
当时，即时，函数取得最大值为，
故喝一瓶啤酒后小时血液中的酒精达到最大值，最大值是毫克百毫升
由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于毫克百毫升可以驾车，此时，
由，得，
两边取自然对数得，
即，
，
故喝一瓶啤酒后小时才可以驾车．
21.【答案】解：由题意得，，所以，，得．
由得，所以函数的定义域为；
由得，
因为，，
所以，当时，取最小值，
当时，取最大值
由，可得，，
因为，所以，，
所以，，
所以，即，
因为函数在上单调递增，
所以，
因为在其定义域上单调递减，
所以，
所以．
【解析】本题考查了对数型函数的定义域、值域、利用函数的单调性求最值和利用对数函数的图象与性质比较大小，是中档题．
由题意得，，得出，再由对数函数得出其定义域；
由得，由复合函数可得其在上的最大值
由，可得，，先得出，再研究其复合函数单调性，可得结论．
22.【答案】 解：为偶函数，所以，
，由可得，
，，
所以，，
所以的定义域是；
过点，，，
，
又，，
，
又对任意的，，都有成立，
，
，，
设，
则有图像是开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，在上单调递增，，
，解得，
当时，在上单调递减，
，所以，解得，
当时，，
，解得，，
综上所述：实数的取值范围为
【解析】本题考查了三角函数的性质及函数的奇偶性、最值、单调性等，属于较难题．
由题意可得，再结合余弦函数的性质求函数的定义域即可；
由题意可得，对任意的，，都有成立，转化为，，结合函数的单调性、最值即可求得．
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