2023-2024学年江西省上饶市高一上学期期末教学质量测试数学试卷(含解析）

2023-2024学年江西省上饶市高一上学期期末教学质量测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数的零点所在区间为
( )
A. B. C. D.
4.若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点，在直线上的概率是
( )
A. B. C. D.
5.已知是上的减函数，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是
( )
A. B.
C. D.
7.已知，，，均为实数，则下列命题中正确的是
( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
8.若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据：，，，，，，，则这组数据的( )
A. 极差为 B. 众数为
C. 平均数为 D. 第百分位数为
10.下列式子中，使不等式成立的充分不必要条件可以是
( )
A. B. C. D.
11.北京时间年月日时分，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．某高中学校在有名同学的“航天”社团中随机抽取名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取人；若按性别比例分层随机抽样，则男生抽取人．则下列结论正确的有( )
A. 样本容量为 B. 名社团成员中男生有人
C. 高二与高三年级的社团成员共有人 D. 高一年级的社团成员中女生最多有人
12.德国著名数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一．以他的名字命名的函数“狄利克雷函数”改变了数学家们对“函数是连续的”的认识．已知狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集．则下列关于“狄利克雷函数”的命题中，属于真命题的有
( )
A. 方程的解为
B. 对任意，都存在，
C. 对任意，，恒成立
D. 存在三个点，，，，，，使得为等边三角形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数且图象恒过的定点坐标为________．
14.若函数是上的偶函数，则的值为________．
15.据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之．”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．现从名男生和名女生中任选人参加围棋比赛，则所选人中至少有名男生的概率为________．
16.定义：如果函数在区间上存在满足，则称为函数在区间上的一个均值点．已知在上存在均值点，则实数的取值范围是________．( )
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，，
求，；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
若不等式的解集为，求实数的值；
求不等式的解集．
19.本小题分
某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的名学生中随机抽取名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于分到分之间满分分，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
求第七组的频率，并完成频率分布直方图；
用样本数据估计该校的名学生这次考试成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值；
求出中位数．
20.本小题分
甲、乙两人组成“博学队”参加上饶市中学“博学少年”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．
21.本小题分
随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为万元，年最大产能为台．每生产台，需另投入成本万元，且由市场调研知，该产品每台的售价为万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
写出年利润万元关于年产量台的函数解析式利润销售收入成本；
当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
22.本小题分
已知，．
求函数在区间上的最小值．
对于任意，，都有成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查交集及其运算，是基础题，
直接利用交集的定义进行运算即可．
【解答】
解：，，
．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查含有一个量词的否定， 全称量词命题与存在量词命题的否定关系，属于基础题．
利用全称量词命题的否定是存在量词命题写出结果即可．
【解答】
解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定是， ．
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数零点的判定定理，属于基础题．
根据零点存在定理进行判断．
【解答】
解：易知为增函数，
又，，，
，，
故零点所在的区间是．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】本题考查古典概型的概率计算，属于基础题．
连续抛掷两次骰子，每个结果出现的机会都是等可能的，利用分步计数原理求出所有的基本事件个数，再求出点落在直线上包含的基本事件个数，利用古典概型的概率公式计算即可．
【解析】
解：连续抛掷两次骰子出现的结果共有，其中每个结果出现的机会都是等可能的，
点在直线上包含的结果有，，共个，
所以点在直线上的概率是，
故选C．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数单调性的应用，涉及分段函数的应用，关键是熟悉函数单调性的定义及性质，属于中档题．
根据题意，由函数在上是减函数，分析可得，解得的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，若函数是上的减函数，
则有，解得，
即的取值范围是
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了奇函数的性质及利用图象解不等式，属于中档题．
根据的解析式及函数为奇函数，作出的图象，再分和求解即可．
【解答】
解：函数在上是奇函数，当时，，
根据题意，作出的图象，如图所示．
由得，
则或
观察图象得或，
即不等式的解集是．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，属于基础题．
取特殊值判断；根据不等式的性质判断；作差判断．
【解答】
解：对于，取，，，，易得，故A错
对于，取，，，则，，故B错
对于，由题知，不等式两边同时乘，故C对
对于，，
，，故D错．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的整数解，函数图象的应用，属于中档题．
数形结合可知 ，进而可得 个整数解分别为 ， ， ， 所以 ，即可解得 的取值范围．
【解答】
解：不等式恰好有个整数解，
当时，满足不等式的解有无数个图，
，不合题意
当时，满足不等式的解有无数个图，
，不合题意；
当时，若，不等式解集有无数个，要使不等式恰有个整数解，则，且直线和射线有两个交点，交点横坐标记为，，
则区间内有，，三个整数解，
由，解得，即，解得，
故实数的取值范围是 ，
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查众数、极差、平均数、百分位数，属于基础题．
根据极差、众数、平均数和百分位数的定义进行求解即可．
【解答】
解：由题知，这组数据的极差为，A正确
众数为，B正确
平均数为：，C正确
由，则第百分位数是第个数，D错误．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合子集关系是解决本题的关键．
求出不等式的等价条件，结合充分不必要条件的定义转化为集合的真子集关系进行求解即可．
【解答】
解：由得，则，
则使“”成立的充分不必要条件，其对应范围是的真子集，
即，满足条件．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了样本容量定义和分层随机抽样，是基础题．
根据样本容量定义和分层随机抽样逐一判定即可．
【解答】解：由题意可知，随机抽取的名同学中的为样本容量，故A对
人中有人是男生，人是女生，所以男女生比例为，故名社团成员中有个男生，故B对；
有分层抽样比例知，高一年级与高二高三年级社团成员比例为，所以高二高三社团成员共有，故C对
高一年级社团成员共有人，故 D错．
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查函数的新定义问题，属于中档题．
利用题中所给定义，判断自变量是否属于有理数，判断；利用举反例判断即可．
【解答】解：当时，，，故A对
当时，，则，，
当时，，则，，故B对
取，，，，，
，故C错
取，，，可使为等边三角形，故D对．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数函数过定点，属于简单题．
令，即可求解．
【解答】
解：令，解得，故函数过定点
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，属于基础题．
根据偶函数性质得到，，即可求解．
【解答】
解：由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，则有，解得
，又由，解得，故．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查古典概型，属于基础题．
列出所有情况与符合题意的情况，利用古典概型即可求解．
【解答】
解：两名男生记为，，两名女生记为，，名学生中选名学生参加围棋比
赛的所有可能情况有，，，，，，共种选法，所选人中至少
有一个男生的选法有，，，，，共种，所以概率为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的新定义问题，属于中档题．
结合题中所给定义，将问题转化为在上有解，再用换元法，即可求解．
【解答】
解：由均值点定义知，存在满足，即在
上有解，即在上有解，令，，
，
故．
17.【答案】解：集合，，
，
或
或；
若，
，
，
即的取值范围是．
【解析】本题考查子集、补集、交集的混合运算，并求出参数的范围，属于基础题
利用交集，并集，补集运算法则可得；
利用确定参数的取值范围
18.【答案】解： 由题意可知，关于的一元二次方的两根分别为、，
则，整理得，解得
不等式即为．
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为．
【解析】本题考查二次函数与二次不等式的关系、解含参数的一元二次不等式，属中档题．
由题意得，，是方程的两个根，代入求出即可；
化简不等式为，讨论即可．
19.【答案】解：由频率分布直方图得第七组的频率为：，
完成频率分布直方图如下：
用样本数据估计该校的名学生这次考试成绩的平均分为：
，
第一组的频率为；
第二组频率为；
第三组频率为；
第四组频率为；
前组的频率和为，
前组的频率和为，
故中位数在之间，设为
则，解得．
故中位数为．

【解析】本题主要考查了频率分布直方图、平均数的问题，属于基础题．
根据所有频率之和等于求出第七组的频率，然后绘图即可；
利用平均数计算公式计算即可；
先判断出中位数在之间，设为，列方程，解方程即可．
20.【答案】解：记事件“甲两轮至少猜对一个数学名词”，
则 方法一：
甲在两轮比赛中有两种结果，一种是猜对一轮猜错一轮；一种是两轮都猜对，
方法二：事件为甲两轮比赛都猜错了，
，
记事件““博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词”
则甲乙两人在两轮比赛猜的四个名词中对了三个，即甲乙两人中一人猜对两个，一人猜对一个，
．
【解析】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题题．
法一：根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；法二：由对立事件的概率求解；
两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案．
21.【答案】解：当时，
当时，，
所以
若，，
当时，万元．
若，，
当且仅当时，即时，万元．
，
则该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元．
【解析】本题考查分段函数模型的实际应用，考查二次函数求最值和基本不等式的应用，属于中档题．
利用分段函数模型即可求解；
利用二次函数求最值和基本不等式即可求解．
22.【答案】解：令，，，
，，
，当且仅当时等号成立，
，
；
由题意，，，都有成立，
，
由知，在恒成立即可，
在上恒成立，
在上恒成立，
整理得：在上恒成立，
，
的取值范围是．
【解析】本题考查了指数函数和对数函数的单调性与最值，是较难题．
令，由基本不等式求最值；
由题意得对于任意成立，即在上恒成立，整理化简，可得的取值范围．
第1页，共1页