2023-2024学年湖北省十堰市高二上学期期末调研考试数学试题(含解析）

2023-2024学年湖北省十堰市高二上学期期末调研考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则( )
A. B. C. D.
3.直线与圆的公共点个数为( )
A. B. C. D. 不确定
4.数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
5.过点作圆的两条切线，两条切线的夹角的余弦值为，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，点在平面内，则的坐标可以是( )
A. B. C. D.
7.已知是抛物线的焦点，的准线与轴的交点为，点在上，且，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.若，是函数的两个不同的零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的公差为，且，，则( )
A. B. C. D.
10.点，到直线的距离相等，则的值可能为( )
A. B. C. D.
11.在正四棱柱中，，，，分别是，的中点，是棱上一点，则下列结论正确的有( )
A. 若为的中点，则
B. 若为的中点，则到的距离为
C. 若，则平面
D. 的周长的最小值为
12.某玩家玩掷骰子跳格子的游戏，规则如下：投掷两枚质地均匀的骰子，若两枚骰子的点数均为奇数，则往前跳两格，否则往前跳一格从第格起跳，记跳到第格的概率为，则
( )
A. B.
C. 数列为等差数列 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.向量在向量方向上的投影向量的模为 ．
14.用，，这三个数字组成无重复数字的三位数，则这个三位数比大的概率为 ．
15.已知正项等比数列的前项和为，且，，则 ．
16.是双曲线的左焦点，是右支上一点，过作与直线夹角为的直线，并与相交于点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线，圆．
求与垂直的的直径所在直线的一般式方程
若圆与关于直线对称，求的标准方程．
18.本小题分
甲、乙、丙三人独立地解答一道试题，各人能答对的概率分别为，，，其中．
若，求这三人中恰有一人答对该试题的概率
当这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，求这三人中至少有两人答对该试题的概率．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线．
求的方程
若，是上两点，且线段的中点为，求．
20.本小题分
在等差数列中，，，若数列，对任意，都有，成立，且，．
求数列，的通项公式
设数列，的前项和分别为，，若，求的最小值．
21.本小题分
在图所示的平面多边形中，四边形为菱形，，，与均为等边三角形分别将，，，沿着，，，翻折，使得，，，四点恰好重合于点，得到四棱锥，．
若，证明：．
若二面角的余弦值为，求的值．
22.本小题分
已知是椭圆上一点．
求的离心率．
过点作两条互相垂直且斜率均存在的直线，，与交于，两点，与交于，两点，，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，试判断是否为定值若是，求出该定值若不是，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义的应用，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质，属于基础题．
已知椭圆标准方程，由椭圆定义知即可得到结果
【解答】
解：是椭圆上的点，，分别为的左、右焦点，
由椭圆定义知．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率加法公式，属于基础题．
由，代入可得结果．
【解答】解：因为，，，
所以．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
根据已知直线与圆的方程，得到直线过定点即可判定．
【解答】
解：由题可知，直线：过定点，则在圆的内部，
故直线与圆有个公共点．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的函数特性及数列递推式，考查学生的运算求解能力，属基础题．
由所给数列递推式可推得数列 的周期，根据数列的周期性可求得答案．
【解答】
解：，，，，，
可知是周期数列，则．
5.【答案】
【解析】【分析】本题考查圆的一般方程和标准方程的互化，考查直线与圆的切线问题，属于基础题．
先把一般方程化为标准方程，再结合几何性质可求得结果．
【解答】解：将的方程转化为，可知的半径为．
两切线夹角的余弦值为，则夹角为，则．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的坐标运算，属于基础题．
根据点在平面内得到、和关系求出未知数即可．
【解答】
解：因为点在平面内，所以，得，
只有中算出，，符合题意．
故选D
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线位置关系，点到直线距离，属于中档题．
根据抛物线标准方程作图作准线的垂线，然后利用三角函数求解即可．
【解答】
解：如图，
过作准线的垂线，垂足为，则，设，
则，，
则，
设点到直线的距离为，则，则．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，属于基础题．
由一元二次方程根与系数的关系得到再由，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，列关于，的方程组，求得，后得答案．
【解答】
解：由题可知，则
因为，，这三个数可适当排序后成等比数列，则必是等比中项，则．
，，这三个数可适当排序后成等差数列，则必不是等差中项，
若是等差中项，则，解得，，则，
故，
若是等差中项，则，解得，，
则，故．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式与性质，属于基础题．
根据题干列出方程组解出公差与首项即可求解．
【解答】
解：已知为等差数列，且，，
所以，解得，则．
故选AD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两条直线平行的判定，属于基础题．
根据，在的同侧，则直线，，在的两侧分类讨论，由此可求出的值．
【解答】
解：若，在的同侧，则直线，则，解得；
若，在的两侧，则经过线段的中点，即，可得．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量解决空间向量问题和多面体上的最短距离，属于中档题．
建立空间直角坐标系，由可判断选项A，由到的距离可判断选项B，由与平面的法向量垂直可判断选项C，将平面沿着翻折至与平面共面，当，，三点共线时，最小，可判断选项D．
【解答】
解：以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的一个法向量为．
则
取，可得平面的一个法向量为，
若为的中点，则，
，，则与不垂直，A错误；
，，则到的距离，B正确；
若，则，，，则，
因为平面，所以平面，C正确；
的周长为，其中，
将平面沿着翻折至与平面共面，
当，，三点共线时，最小，此时，
故的周长的最小值为，D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查古典概型及其计算，等差数列、等比数列的通项公式，属于中档题．
由题意求得，，判断、；可得数列为常数列，也是等差数列，判断；可得是以为首项，为公比的等比数列，求得，判断．
【解答】
解：对于，，两枚骰子的点数均为奇数的概率，故玩家每次往前跳两格的概率为
，往前跳一格的概率为，则，，A正确，不正确．
对于，由题可知，，则
，故数列为常数列，也是等差数列，C正确．
对于，由，得，因为，所以数列
是以为首项，为公比的等比数列，则，则
，D正确．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查投影向量，属于基础题．
由可求解．
【解答】
解：
向量在向量方向上的投影向量的模为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查古典概型及其计算，属于基础题．
求出三位数的样本数，比大的样本数，利用古典概型可得这个三位数比大的概率．
【解答】
解：三位数的样本空间，比大的样本空间
，，故所求的概率．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等比数列性质，属于基础题．
由为正项等比数列，所以，，，也成等比数列，求解即可．
【解答】
解：因为为正项等比数列，所以，，，也成等比数列，
则，解得或舍去，
则，解得．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线的定义，点到直线的距离，属于中档题．
由双曲线的定义，将问题转化为右焦点到直线的距离即可．
【解答】
解：
过作的垂线，垂足为，因为与的夹角为，所以．
设的右焦点为，则，到的距离，
故，当且仅当，，三点共线时，等号成立．
17.【答案】解：将的方程转化为，可知的圆心为，半径为．
因为，所以可设的一般式方程为，
将代入，解得，
故的一般式方程为．
设的圆心为，由与关于直线对称，
可得
解得
所以的标准方程为．
【解析】本题考查两条直线垂直的判定、点、直线间的对称问题，求圆的标准方程等知识，属于中档题．
可设的一般式方程为，再将圆心的坐标代入直线方程，求出即可；
设的圆心为，由与关于直线对称可得，的方程组，解得，的值即可．
18.【答案】解：因为，所以这三人中恰有一人答对该试题的概率．
这三人都没答对该试题的概率，当且仅当时，等号成立，
此时这三人中恰有一人答对该试题的概率，
则这三人中至少有两人答对该试题的概率．
【解析】本题考查对立事件的概率公式，相互独立事件的概率计算，属于基础题．
根据已知条件设恰有一人答对该试题的概率，利用概率加法公式求解即可；
先求出这三人都没答对该试题的概率，此时这三人中恰有一人答对该试题的概率，然后利用对立事件的概率公式求解即可．
19.【答案】解：设，，则，．
由，可得，
整理得的方程为．
设，，则
则，
因为线段的中点为，所以，
则直线的方程为，经过点．
由可知，是以为焦点的抛物线，所以．
【解析】本题考查了圆锥曲线中的轨迹问题和直线与抛物线的位置关系，属于较难题．
设，由，化简可得的方程
先由点差法得出直线的方程为，经过点，由抛物线的定义可得答案．
20.【答案】解：设的公差为，由，得，
则，解得，，
所以，即．
由，，两式相减得
因为，所以，，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以．
由，得，
所以，
所以，得．
因为，，所以当时，，当时，，
故的最小值为．
【解析】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、分组并项法求和，是中档题．
设的公差为，由等差数列的通项公式得数列的通项公式判定得是首项为，公比为的等比数列，所以得的通项公式
由，得，再结合分组并项法求和可求得答案．
21.【答案】证明：若，的中点为，
由题可知，，所以，，
又，所以平面，
设，则，由平面，可得，则；
解：连接，易证得平面，过点作，垂足为，则平面，
以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，得，，，从而，，
则，，，，
则，，．
设平面的法向量为，
则由，得
令，得，
由图可知，平面的一个法向量为，
因为二面角的余弦值为，所以，
解得．
【解析】本题考查异面直线关系判定，空间直角坐标系的建立以及二面角求余弦值，属于中档题．
若，的中点为，然后证明平面，然后取即可得到结果
证明平面然后建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，解出，，然后结合平面的一个法向量为以及二面角余弦值已知求解即可．
22.【答案】解：由题可知，则，解得，
则，
故E的离心率．
为定值，且该定值是．
求解过程如下：
设的方程为，，，
联立方程组整理得，
则，，
则同理可得
因为，，三点共线，所以，
则，
则，即为定值，且该定值是．
【解析】本题考查椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
由题意可得，解得，即可求出的离心率；
设的方程为，，，与椭圆进行联立可得 ，同理可得 ，，三点共线可得， 再化简计算即可得解．
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