2023年秋学期八年级期末学情调查数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
请注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两个部分．
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．
第一部分选择题（共18分）
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 泰兴市创建文明城市，全市人民自觉遵守交通规则，文明出行，共建和谐下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 在实数（每两个1之间依次增加1个2）中，无理数有（ ）个．
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是（ ）．
A. B. C. D.
4. 近似数6.16万精确到（ ）．
A. 百分位 B. 千分位 C. 百位 D. 万位
5. 如图，已知小红坐标为，小亮的坐标为，那么小华的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
6. 如图，根据尺规作图痕迹，判断点在数轴上表示的数是（ ）．
A. B. C. D.
第二部分非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分．共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 16的平方根是___________．
8. 点在第__象限．
9. 用反证法证明：，已知，求证：．应首先假设______．
10. 如图．根据图象问题：当______时，．
11. 关于的二元一次方程组的解为，则一次函数的图像和一次函数的图像交点坐标是______．
12. 如图，小明骑自行车从甲地到乙地，折线表示小明途中行程与所花时间之间的函数关系．出发后5小时，小明离甲地______千米．
13. 如图，在中，分别为的中点，若，则______．
14. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索的长为尺，根据题意，可列方程为__________．
15. 如图，四边形中，，于点，在右侧的平面内有一点的面积是，当的最小值是时，那么______．
16. 如图，菱形的边长为17，点是对角线上的一点，且，连挍，在的左侧作为边的正方形，连接，则______．
三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
18. 妸图．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐坐标分别为．
（1）画出关于原点对称的，点的对应点分别是：
（2）两出绕点顺时针旋转后，得到，点的对应点分别是点；
（3）的面积为______．
19. 2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源重要性．小明同学发现水龙头关闭不严会造成滴水浪费．为了倡议全校同学节约用水，他做了如下试验：用一个足够大的量杯，放置在水龙头下观察量杯中水量的变化情况．已知量杯中原来装有水，内7个时间点量杯中的水量变化如下表所示，其中表示时间，表示量杯中的水量．
时间 0 5 10 15 20 25 30
量杯中的水量 10 20 30 40 50 60 70
解决下列问题：
（1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点并连线；
（2）结合表中数据写出墨杯中的水量关于时间的函数表达式______（不要求写自变量的取值范围）；
（3）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算照这样漏一天量杯中的水量约为多少．
20. 如图，在平面直角坐标系中，，．
（1）求直线的函数表达式：
（2）点在线段上，过点作轴交轴于点，过点作交轴于点，若，求点的坐标．
21. 如图，平行四边形的对角线相交于点，延长至点，连接．现有以下信息：①；②；③．
从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题并说明理由．
你选择的条件是______，结论是______（填写序号）．理由：
22. 如图，在中，平分为的中点．求证：．
小芳同学解题过程如下：
解：
为的中点，
．第一步
平分，
．第二步
．第三步
（1）小芳同学解题过程中，出现错误的是第______步；
（2）写出正确的解题过程．
23. 如图，在正方形中，点是边上一点（不与点重合），过点作于点，交延长线于点．
（1）求证：．
（2）点从点向点运动过程中，设，，求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
24. （1）一次函数的图像上每个点的横坐标不变，纵坐标都增加1个单位长度后，得到的函数图像表达式是______．
（2）①一次函数的图像上每个点的横坐标扩大2倍，纵坐标不变，得到的函数图像表达式是______．
A． B． C．
②一次函数的图像上每个点的横坐标扩大2倍，纵坐标不变，得到的函数图像表达式是，求的值．
25. 八上数学课本69页，数学活动《折纸与证明》中告诉我们：折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法，请用所学知识解决下列问题．
（1）如图1，一个三角形的纸片中，，证明：．
小龙同学通过折叠纸片，将折叠到上，点与点重合，展开后得到折痕，如图2，折痕交于点，连接．
帮助小龙同学写出证明过程．
（2）如图3，在平面直角坐标系中，点，点．直线交轴于点．
①求点坐标；
②直线过点，交轴于点，且，直线沿轴翻折恰好经过点，只用圆规在直线上求作点，使与直线所夹的锐角等于．（不写作法，保留作图痕迹）
③直接写出（2）中点的坐标．
26. 如图1，在四边形中，是等边三角形，点是直线上（异于点）的动点，点绕着点逆时针旋转至点处，连接．
（1）______．
（2）当点在线段上时，如图2，连接．
①求证：；
②在线段上一定存在一个定点，满足，请说明理由．
（3）当点在直线上时，②中的结论还成立吗？说明理由．2023年秋学期八年级期末学情调查数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
请注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两个部分．
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．
第一部分选择题（共18分）
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 泰兴市创建文明城市，全市人民自觉遵守交通规则，文明出行，共建和谐下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
2. 在实数（每两个1之间依次增加1个2）中，无理数有（ ）个．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义：根据“无理数就是无限不循环小数，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数”，即可求解．
【详解】解：无理数有（每两个1之间依次增加1个2），共2个．
故选：B
3. 下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质即正比例函数的性质，一次函数的图象有两种情况：①当， y的值随x的值增大而增大；②当时， y的值随x的值增大而减小．正比例函数的图象有两种情况：①当，y的值随x的值增大而增大；②当，y的值随x的值增大而增小．据此，逐一判断即可．
【详解】解：A、，一次项系数为，函数值y随自变量x的值增大而减小，故不符合题意；
B、，比例系数为1，函数值y随自变量x的值增大而增大，故符合题意；
C、，一次项系数为，函数值y随自变量x的值增大而减小，故不符合题意；
D、，比例系数为，函数值y随自变量x的值增大而减小，故不符合题意；
故选：B．
4. 近似数6.16万精确到（ ）．
A. 百分位 B. 千分位 C. 百位 D. 万位
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了近似数．根据近似数的精确度求解．
详解】解：近似数6.16万精确到百位．
故选：C
5. 如图，已知小红的坐标为，小亮的坐标为，那么小华的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是正确理解题意，建立平面直角坐标系．根据小亮的坐标为建立平面直角坐标系，结合图形直接得到答案．
详解】解：如图：
小华东的坐标应该是．
故选：D．
6. 如图，根据尺规作图痕迹，判断点在数轴上表示的数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由图可得的长度，即可得出点到原点的距离，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
点表示的数为,点表示的数为，
，
由图可得，
点到原点的距离为
点到原点的距离和点到原点的距离相等，
点到原点的距离为
即点所表示的数是，
故选：B．
第二部分非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分．共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 16的平方根是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方根定义即可求解．
【详解】即：16的平方根是
故填：
【点睛】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根的定义．
8. 点在第__象限．
【答案】四
【解析】
【详解】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
点在第四象限．
故答案为：四．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
9. 用反证法证明：在，已知，求证：．应首先假设______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据反证法的步骤，先假设结论不成立，进行作答即可．
【详解】解：用反证法证明：在，已知，求证：．应首先假设：；
故答案为：．
【点睛】本题考查反证法．熟练掌握反证法的步骤，是解题的关键．
10. 如图．根据图象问题：当______时，．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是利用函数图象解不等式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键，根据图象再直线的下方可得答案．
【详解】解：根据函数图象可得：
当时，；
故答案为：
11. 关于的二元一次方程组的解为，则一次函数的图像和一次函数的图像交点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，掌握两条直线的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解是解题的关键．根据二元一次方程组的解即为两条直线的交点的横纵坐标，即可得出结果．
【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解为，
即次方程组的解为，
∴一次函数的图像和一次函数的图像交点坐标是；
故答案为：．
12. 如图，小明骑自行车从甲地到乙地，折线表示小明途中行程与所花时间之间的函数关系．出发后5小时，小明离甲地______千米．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，能够正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，即可解题，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象信息可知，出发后5小时，小明离甲地30千米，
故答案为：30．
13. 如图，在中，分别为的中点，若，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理得到，则，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长．此题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．
【详解】解：∵分别为的中点，
∴，
∴，
∵在中，为的中点，
∴，
故答案为：3
14. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索的长为尺，根据题意，可列方程为__________．
【答案】x2 （x 3）2＝82
【解析】
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：设绳索长x尺，根据题意得：
x2 （x 3）2＝82，
故答案为：x2 （x 3）2＝82．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键．
15. 如图，四边形中，，于点，在右侧的平面内有一点的面积是，当的最小值是时，那么______．
【答案】9
【解析】
【分析】设的上的高为，先证明点在平行于，且到边的距离等于的直线上，延长交于点，并在射线上取，连接交直线于点，连接，过点作于，求得点、关于直线对称时，，再证四边形是平行四边形，得，，最后利用勾股定理即可得解．
【详解】解：设的上的高为，
∵的面积是，，
∴，
解得，
∴点在平行于，且到边的距离等于的直线上，
延长交于点，并在射线上取，连接交直线于点，连接，过点作于，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴点、关于直线对称，
∵当的最小值是，
∴点、关于直线对称时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】此题主要考查平行四边的判定及性质，勾股定理，轴对称的判定及性质，线段最短以及平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解．
16. 如图，菱形的边长为17，点是对角线上的一点，且，连挍，在的左侧作为边的正方形，连接，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形和正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质．
连接，交于点O，过点F作于点H，设，，则，由菱形的对角线互相垂直平分可得，，由勾股定理得在中，，在中，，从而，代入即可求得，得到，，由正方形的性质可证，得到，，进而根据勾股定理在中，求得的长．
【详解】连接，交于点O，过点F作于点H，
∵，
∴设，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
在中，，
∴，即，
∴，
∴，，，
，
∵，
∴，
∴，，
∵在正方形中，，
即，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，，
∴
∴在中，．
故答案为：
三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，利用平方根的含义解方程，掌握解方程的步骤与方法是解本题的关键；
（1）先计算立方根，算术平方根，算术平方根的平方，再计算加减运算即可；
（2）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）∵，
∴，
解得：．
18. 妸图．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐坐标分别为．
（1）画出关于原点对称的，点的对应点分别是：
（2）两出绕点顺时针旋转后，得到的，点的对应点分别是点；
（3）的面积为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查作旋转图形与中心对称图形；
（1）找到三个顶点关于原点的对应点，然后顺次连接即可；
（2）将三个顶点分别绕原点逆时针旋转后得到其对应点，然后顺次连接即可；
（3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解．
【小问1详解】
解：如图：即为所求．
【小问2详解】
解：如图：即为所求．
【小问3详解】
解：连接，如图所示，
∴
故答案为：．
19. 2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．小明同学发现水龙头关闭不严会造成滴水浪费．为了倡议全校同学节约用水，他做了如下试验：用一个足够大的量杯，放置在水龙头下观察量杯中水量的变化情况．已知量杯中原来装有水，内7个时间点量杯中的水量变化如下表所示，其中表示时间，表示量杯中的水量．
时间 0 5 10 15 20 25 30
量杯中的水量 10 20 30 40 50 60 70
解决下列问题：
（1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点并连线；
（2）结合表中数据写出墨杯中的水量关于时间的函数表达式______（不要求写自变量的取值范围）；
（3）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算照这样漏一天量杯中的水量约为多少．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）2890
【解析】
【分析】（1）本题考查画点和函数图象，根据表中数据画图即可．
（2）本题考查用待定系数法求函数解析式，设墨杯中的水量关于时间的函数表达式为，将表中任意两点代入解析式求解，即可解题．
（3）本题考查求函数值，将一天换算成分钟数，代入解析式求解，即可解题．
【小问1详解】
解：描出的坐标和连线，如下图所示：
【小问2详解】
解：设墨杯中的水量关于时间的函数表达式为，
将，，以及，，代入，
有，解得，
水量关于时间的函数表达式为，
故答案为：．
【小问3详解】
解：1天，
当时，（）．
照这样漏一天量杯中的水量约为．
20. 如图，在平面直角坐标系中，，．
（1）求直线的函数表达式：
（2）点在线段上，过点作轴交轴于点，过点作交轴于点，若，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）本题考查用待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数过，设一次函数解析式为，再将代入解析式求解，即可解题．
（2）本题考查一次函数的几何综合，以及平行四边形的性质和判定，根据题意证明四边形为平行四边形，得到，再将的长代入解析式，即可解题．
【小问1详解】
解：一次函数过，
设直线的函数解析式为，
将代入中，有，解得，
直线的函数表达式为：．
【小问2详解】
解：轴， ，
四边形为平行四边形，
，
，即的纵坐标为，
将代入中，有，解得，
的坐标为．
21. 如图，平行四边形的对角线相交于点，延长至点，连接．现有以下信息：①；②；③．
从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题并说明理由．
你选择的条件是______，结论是______（填写序号）．理由：
【答案】①②，③（或①③，②或②③，①）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．若选条件：①②，结论③，根据矩形的判定及性质，根据平行四边形的性质可得，从而得，同法可证选条件：①③，结论②与选条件：②③，结论①的情形．
【详解】解：①②，③（或①③，②或②③，①）
若选条件：①②，结论③，
，
四边形为矩形，
，
，
，
∴四边形为平行四边形，
，
；
若选条件：①③，结论②，
，
．
，
，
，
四边形BDCE是平行四边形，
；
若选条件：②③，结论①
，
，
∵，
四边形BDCE是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
故答案为：①②，③（或①③，②或②③，①）．
22. 如图，在中，平分为的中点．求证：．
小芳同学解题过程如下：
解：
为的中点，
．第一步
平分，
．第二步
．第三步
（1）小芳同学解题过程中，出现错误的是第______步；
（2）写出正确的解题过程．
【答案】（1）三 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定：
（1）根据不能推导出，明显跳步，可得第三步错误；
（2）过点D作于点E，于点F，根据角平分线的性质可得，再证，可得，进而可证．
【小问1详解】
解：根据不能推导出，
因此出现错误的是第三步，
故答案为：三；
【小问2详解】
解：正确的解题过程如下：
为的中点，
．
如图，过点D作于点E，于点F，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
．
23. 如图，在正方形中，点是边上一点（不与点重合），过点作于点，交延长线于点．
（1）求证：．
（2）点从点向点运动过程中，设，，求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）（）
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义和性质，一次函数的应用：
（1）通过导角证明，进而证明，即可得出；
（2）由可得，由三角形外角的性质可得，进而可得．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，，
，
于点，
，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，即，
点是边上一点（不与点重合），
，
，
与的函数表达式为（）．
24. （1）一次函数的图像上每个点的横坐标不变，纵坐标都增加1个单位长度后，得到的函数图像表达式是______．
（2）①一次函数的图像上每个点的横坐标扩大2倍，纵坐标不变，得到的函数图像表达式是______．
A． B． C．
②一次函数的图像上每个点的横坐标扩大2倍，纵坐标不变，得到的函数图像表达式是，求的值．
【答案】（1）；（2）①B； ②2
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）由题意得：一次函数的图像上每个点的横坐标不变，纵坐标都增加1个单位长度后，即求将一次函数的图像向上平移1个单位的解析式即可；
（2）①根据题意得：即将一次函数的一次项系数k的值扩大倍，纵坐标不变，即可求解；②根据一次函数的图像变化，找到与的关系，代入求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：即将一次函数的图像向上平移1个单位，
，
故答案为：；
（2）①由题意得：即将一次函数的一次项系数k的值扩大倍，
，
故选：B；
②由题意得：，
．
25. 八上数学课本69页，数学活动《折纸与证明》中告诉我们：折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法，请用所学知识解决下列问题．
（1）如图1，一个三角形的纸片中，，证明：．
小龙同学通过折叠纸片，将折叠到上，点与点重合，展开后得到折痕，如图2，折痕交于点，连接．
帮助小龙同学写出证明过程．
（2）如图3，在平面直角坐标系中，点，点．直线交轴于点．
①求点坐标；
②直线过点，交轴于点，且，直线沿轴翻折恰好经过点，只用圆规在直线上求作点，使与直线所夹的锐角等于．（不写作法，保留作图痕迹）
③直接写出（2）中点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）①；②见解析；③，．
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质得到，再根据三角形外角的性质即可证明；
（2）①先利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得到点E的坐标；②以点E为圆心，为半径画弧，交直线于点G，点，点G，点为所求；③先利用对称的性质求出点G的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式为，根据，利用两点的距离求解即可．
【详解】（1）证明：由折叠的性质得：，
，
，
；
（2）解：①设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
；
②如图所示，以点E为圆心，为半径画弧，交直线于点G，点，点G，点为所求；
直线沿轴翻折恰好经过点，
直线与直线关于y轴对称，
点C与点G关于y轴对称，
，
，
；
③由②知点C与点G关于y轴对称，且，由①知，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
设，
，
，
，即，
解得：，或，
，
，
综上，点G的坐标为，．
【点睛】本题考查了对称作图，对称的性质，一次函数综合问题，等腰三角形的性质，两点的距离，掌握对称的性质是解题的关键．
26. 如图1，在四边形中，是等边三角形，点是直线上（异于点）的动点，点绕着点逆时针旋转至点处，连接．
（1）______．
（2）当点在线段上时，如图2，连接．
①求证：；
②线段上一定存在一个定点，满足，请说明理由．
（3）当点在直线上时，②中的结论还成立吗？说明理由．
【答案】（1）
（2）①见解析；②见解析
（3）不一定成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形与等边三角形的性质即可求解；
（2）①由旋转的性质得到，结合，证明，即可得出结论；②延长交于点H，由三角形全等的性质及等腰三角形、等边三角形的性质得到，利用勾股定理即可证明；
（3）分当点E在射线上时，点E在射线上，点F在内部时，点E在射线上，点F在外部时，三种情况，依照（2）中②的证明过程证明即可．
【小问1详解】
解：是等边三角形，
，，
，
故答案为：105；
【小问2详解】
①证明：由旋转的性质得到，
，
，
在与中，
，
，
；
②解：如图1，延长交于点H，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，
在中，，
；
【小问3详解】
解：不一定成立，理由如下：
如图2，当点E在射线上时，
同理得：；
如图3，点E在射线上，点F在内部时，
同理得：；
如图4，点E在射线上，点F在外部时，
同理得：．
【点睛】本题考查了三角形综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键．
