第一节 曲线运动
学习任务 1．了解曲线运动的概念，知道曲线运动是变速运动，初步形成运动观。 2．会确定曲线运动速度的方向。 3．通过实验观察归纳曲线运动的特点，知道物体做曲线运动的条件。 4．知道曲线运动的本质，体验科学探索的魅力，提高学习物理的兴趣。
知识点一 认识曲线运动及物体做曲线运动的速度方向
1．曲线运动
物体运动轨迹是曲线的运动称为曲线运动。
2．速度的方向
在曲线运动中，质点在某一位置的速度方向与曲线在这一点的切线方向一致。
3．运动性质
由于曲线运动的速度方向时刻都在改变，所以曲线运动是一种变速运动。
物理学中的切线和数学中的切线是一回事吗？
提示：不是。
数学中的切线不考虑方向，但物理学中的切线具有方向。如图所示，若质点沿曲线从A运动到B，则质点在a点的速度方向(切线方向)为v1的方向，若从B运动到A，则质点在a点的速度方向(切线方向)为v2的方向。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)曲线运动的速度可以不变。 ( × )
(2)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。 ( √ )
(3)做曲线运动的物体，加速度一定不为零。 ( √ )
知识点二 物体做曲线运动的条件
1．当物体所受合外力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
2．当物体加速度的方向与速度的方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
说明：物体在做曲线运动时，它所受的合外力总是指向运动轨迹曲线的凹侧。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)做曲线运动的物体，速度与合力不可能在同一条直线上。 ( √ )
(2)物体受恒力作用不可能做曲线运动。 ( × )
3：填空
如图所示，图中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是b(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是c(填轨迹字母代号)。实验表明，当物体所受合力的方向跟它的速度方向不在(选填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动。
下面两幅图片分别为抛出的篮球和过山车的运动情况。
(1)如何确定它们运动过程中某一位置的速度方向？
(2)它们运动过程中的速度恒定吗？
提示：(1)某一位置的速度方向为这一位置轨迹的切线方向。
(2)它们做曲线运动时速度大小或许不变，速度方向时刻发生改变，故其速度不恒定。
考点1 曲线运动的性质与特点
1．曲线运动的速度
(1)质点在某一时刻(某一位置)速度的方向与这一时刻质点所在位置处的切线方向一致如图所示，故其速度的方向时刻改变。
(2)物体做曲线运动时，运动方向不断变化，即速度方向一定变化，但速度的大小不一定变化。
2．物体运动性质的判断
(1)直线运动或曲线运动的判断
看合力方向(或加速度的方向)与速度方向是否在同一直线上。
(2)匀变速运动或非匀变速运动的判断
合力为恒力，物体做匀变速运动；合力为变力，物体做非匀变速运动。
(3)几种常见的运动类型
F(a)与v的方向 轨迹特点 加速度特点 运动性质
F(a)＝0 直线 a＝0 匀速直线运动
共线 a恒定 匀变速直线运动
a不恒定 非匀变速直线运动
不共线 曲线 a恒定 匀变速曲线运动
a不恒定 非匀变速曲线运动
【典例1】 过山车是大型游乐园里的一种比较刺激的娱乐项目。如图所示，过山车(可看成质点)从高处冲下，过M点时速度方向如图所示，在圆形轨道内经过A、B、C三点。下列说法中正确的是( )
A．过A点时的速度方向沿AB方向
B．过B点时的速度方向沿水平方向
C．过A、C两点时的速度方向相同
D．在圆形轨道上与过M点时速度方向相同的点在AB段上
思路点拨：过山车做曲线运动，在任一位置的速度方向沿轨迹上该点的切线方向。
B [过山车经过A、B、C三点的速度方向如图所示，由图可判断出B正确，A、C错误；过山车在圆形轨道AB段上的速度方向偏向左上方，不可能与过M点时速度方向相同，D错误。
]
确定某点速度方向的两关键
(1)明确物体沿轨迹的运动方向。
(2)确定轨迹在该点的切线方向。
[跟进训练]
1．如图所示的曲线为某同学抛出的铅球的运动轨迹(铅球视为质点)，A、B、C为曲线上的三点，关于铅球在B点的速度方向，说法正确的是( )
A．为AB的方向 B．为BD的方向
C．为BC的方向 D．为BE的方向
B [物体做曲线运动的速度方向为运动轨迹上经过该点的切线方向，如题图中铅球实际沿ABC方向运动，故它在B点的速度方向应为切线BD的方向，B正确。]
考点2 物体做曲线运动的条件
1．物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件是合力方向与速度方向不共线。这包含三个层次的内容：①初速度不为零；②合力不为零；③合力方向与速度方向不共线。
(2)运动学条件：加速度方向与速度方向不共线。
2．曲线运动的轨迹与速度、合力的关系
做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，夹在速度方向与合力方向之间。并向合力方向弯曲，也就是合力指向运动轨迹的凹侧，如图所示。
速度方向、合力方向及运动轨迹三者的关系
3．合外力与速率变化的关系
若合力方向与速度方向的夹角为α，则：
甲 乙 丙
角度1 曲线运动的条件
【典例2】 如图所示为一个做匀变速曲线运动的质点的运动轨迹示意图，已知质点在B点时的速度方向与加速度方向相互垂直，则下列说法中正确的是( )
A．D点的速率比C点的速率大
B．A点的加速度与速度的夹角小于90°
C．A点的加速度比D点的加速度大
D．从A到D加速度与速度的夹角先增大后减小
A [质点做匀变速曲线运动，合力的大小和方向均不变，加速度不变，故C错误；由B点速度与加速度相互垂直可知，合力方向与B点切线垂直且向下，故质点由C到D的过程中，合力方向与速度方向夹角小于90°，速率增大，A正确；A点的加速度方向与过A的切线，即速度方向夹角大于90°，B错误；从A到D加速度与速度的夹角一直变小，D错误。]
角度2 合外力与速率变化关系
【典例3】 在F1方程式赛车中，经常出现弯道超车的现象，如果某赛车在顺时针加速超越前车，该车所受合力方向与速度方向的示意图可能为图中的( )
A B C D
C [赛车做的是曲线运动，赛车受到的合力应该指向运动轨迹弯曲的内侧，由于赛车在顺时针加速超越前车，速度在增大，所以合力与赛车的速度方向的夹角要小于90°。]
力和运动轨迹关系的三点提醒
(1)物体的运动轨迹由初速度、合外力两个因素决定，轨迹在合外力与速度之间且与速度相切。
(2)物体在恒力作用下做曲线运动时，速度的方向将越来越接近力的方向，但不会与力的方向重合。
(3)合力方向与速度方向成锐角时，物体做加速曲线运动；成钝角时，物体做减速曲线运动。
[跟进训练]
2．(角度1)如图所示，物体以恒定的速率沿圆弧AB做曲线运动，下列对它的运动分析正确的是( )
A．因为它的速率恒定不变，故做匀速运动
B．该物体受的合外力一定不等于零
C．该物体受的合外力一定等于零
D．它的加速度方向与速度方向有可能在同一直线上
B [物体的速度方向为运动轨迹切线方向，则曲线运动的速度方向时刻都在改变，所以是变速运动，A错误；物体做曲线运动的条件是速度方向与合外力方向不在一条直线上，可知一定有合外力，B正确，C、D错误。]
3．(角度2)一辆汽车在水平公路上减速转弯，沿曲线由M向N行驶。下列各图中分别画出了汽车转弯时所受合力F的方向，可能正确的是( )
A B C D
C [汽车做曲线运动，其受到的合力应指向运动轨迹弯曲的内侧，由于汽车是从M向N运动的，并且速度在减小，所以合力方向与汽车的速度方向的夹角应大于90°，据此可知可能正确的是选项C。]
1．关于曲线运动，下列说法中正确的是( )
A．曲线运动一定是变速运动
B．曲线运动的加速度可以一直为零
C．曲线运动的速度大小一定在不断地发生变化
D．在恒力作用下，物体不能做曲线运动
A [曲线运动的速度的方向必定是改变的，所以曲线运动一定是变速运动，加速度不可能一直为零，故A正确，B错误；曲线运动的速度大小可以不变，故C错误；物体做曲线运动的条件是物体所受的合外力和它的速度方向不在同一条直线上，与力是否变化无关，在恒力作用下，物体也能做曲线运动，故D错误。]
2．光滑平面上一运动质点以速度v通过原点O，v与x轴正方向成α角(如图所示)，与此同时对质点施加沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则( )
A．因为有Fx，质点一定做曲线运动
B．如果Fy>Fx，质点向y轴一侧做曲线运动
C．质点不可能做直线运动
D．如果Fx>Fy cot α，质点向x轴一侧做曲线运动
D [若Fx＝Fy cot α，则合力方向与速度方向在同一条直线上，质点做直线运动，故A、C错；α角大小未知，则时，运动方向不能确定，故B错；若Fx＞Fy cot α，则合力方向位于速度方向下侧，质点向x轴一侧做曲线运动，故D对。]
3．一物体由静止开始自由下落，下落的同时受一恒定水平向右的风力的影响，但着地前一段时间风突然停止，则其运动的轨迹可能是图中的哪一个( )
A B C D
B [因物体初速为零，物体在风力和重力的合力作用下沿斜向右下方做匀加速直线运动，风停后，物体在只受重力作用下其运动轨迹向重力方向弯曲，B项正确。]
4．(新情境题，以“歼-20”战机为背景考查曲线运动的特点)“歼-20A”型战斗机列装空军作战部队，意味着中国是继美国之后世界上第二个走完第五代战斗机论证评价、设计、研发、原型机测试、定型生产、最终服役全部阶段的国家。
问题：(1)如果“歼-20A”在某次飞行过程中沿图中曲线MN加速向上爬升，请问在飞行过程中其所受合力与速度方向具有怎样的关系？
(2)在图中最能表示“歼-20A”在P点的速度方向与其受到合力方向的分别是哪个序号？
[解析] (1)由于“歼-20A”沿曲线加速爬升，所以其所受合力方向与速度方向的夹角为锐角。(2)由于速度方向与轨迹切线方向一致，所以在P点的速度方向沿该点运动轨迹的切线方向是③；由于“歼-20A”所受合力方向与速度方向的夹角为锐角，所以它所受合力方向应该为②。
[答案] 见解析
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．物体做曲线运动的条件是什么？
提示：合外力的方向与物体运动速度方向不共线。
2．曲线运动的速度方向有什么特点？
提示：速度方向沿曲线轨迹上某点的切线。
3．曲线运动是变速运动，变速运动一定是曲线运动吗？
提示：不一定。
课时分层作业(一) 曲线运动
?题组一 曲线运动的性质及特点
1．(多选)下列关于曲线运动的说法，正确的是( )
A．速率不变的曲线运动是没有加速度的
B．曲线运动速度大小不一定变化
C．曲线运动的加速度一定是变化的
D．曲线运动速度方向一定变化
[答案] BD
2．在第23届冬奥会闭幕式上“北京八分钟”的表演中，轮滑演员在舞台上滑出漂亮的曲线轨迹(如图所示)。在此过程中轮滑演员的( )
A．速度始终保持不变
B．运动状态始终保持不变
C．速度方向沿曲线上各点的切线方向
D．所受合力方向始终与速度方向一致
[答案] C
3．如图所示，篮球沿优美的弧线穿过篮筐，图中能正确表示篮球在相应点速度方向的是( )
A．v1 B．v2 C．v3 D．v4
C [速度方向沿相应点的切线方向，只有C项正确。]
4．运动员出色表现的背后，不仅有自身努力的付出，也有科技的加持。利用风洞实验室为运动装备风阻性能测试和运动姿态风阻优化在我国已大量运用在各类比赛项目中，帮助运动员提高成绩。为了更加直观的研究风洞里的流场环境，我们可以借助丝带和点燃的烟线辅助观察，如图甲所示。在某次实验中获得一重力可忽略不计的烟尘颗粒做曲线运动的轨迹，如图乙所示，下列说法中正确的是( )
A．烟尘颗粒速度始终不变
B．烟尘颗粒一定做匀变速曲线运动
C．P点处的加速度方向可能水平向左
D．Q点处的合力方向可能竖直向下
D [曲线运动的速度大小可能不变，但方向一定在变，故A错误；做曲线运动的物体所受合外力指向轨迹凹侧，可知烟尘颗粒所受的力在变化，故不可能是匀变速曲线运动，故B错误；做曲线运动的物体所受合外力指向轨迹凹侧，故P点处的加速度方向可能斜向右上方，不可能水平向左，故C错误；做曲线运动的物体所受合外力指向轨迹凹侧，知Q点处的合力方向可能竖直向下，故D正确。]
?题组二 物体做曲线运动的条件
5．物体受到几个恒力的作用处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能( )
A．静止
B．做匀速直线运动
C．做变加速曲线运动
D．做匀变速曲线运动
D [物体受几个恒力的作用而处于平衡状态，相当于不受力，速度可能为零，也可能为某个确定的值；若再对物体施加一个恒力，合力不为零，不可能保持静止或匀速直线运动状态，故A、B错误；如果速度与合力不共线，物体就做曲线运动，由于合力是恒力，故加速度恒定不变，是匀变速曲线运动，故C错误，D正确。]
6．在光滑水平面上运动的物体，受到水平恒力F作用后，沿曲线MN运动，速度方向改变了90°，如图所示，则此过程中，物体受到的恒力可能是( )
A．F1 B．F2 C．F3 D．F4
B [由题图可知，物体从M运动到N的过程中，沿初速度方向做减速运动，故物体受到与初速度方向相反的一个分力；同时物体向右做加速运动，故物体还受到向右的一个分力。由平行四边形定则知，物体受到的恒力可能是F2，B正确。]
7．(多选)质量为m的物体，在F1、F2、F3三个共点力的作用下做匀速直线运动，保持F1、F2不变，仅将F3的方向改变90°(大小不变)，物体可能做( )
A．加速度大小为的匀变速直线运动
B．加速度大小为的匀变速直线运动
C．加速度大小为的匀变速曲线运动
D．匀速直线运动
BC [物体在F1、F2、F3三个共点力作用下做匀速直线运动，三力平衡，必有F3与F1、F2的合力等大反向。当F3大小不变，方向改变90°时，F1、F2的合力大小仍等于F3的大小，方向与改变方向后的F3夹角为90°，故F合＝，加速度a＝＝，但因不知原速度方向，故力改变后的初速度方向与F合的方向间的关系未知，故有B、C两种可能。]第二节 运动的合成与分解
学习任务 1．知道合运动与分运动的概念。 2．掌握运动合成与分解的方法，会用平行四边形法则对位移与速度进行合成与分解。 3．会用平行四边形法则画出速度和位移的合成与分解图，提高探究能力。 4．通过对小船过河等模型的运动合成与分解，培养学以致用的科学态度。
知识点一 运动的分析
1．运动的分析
根据作用效果的等效性，可以对力进行合成与分解。类比这一方法，我们也可以根据运动效果对运动进行合成与分解。
2．小球运动的分析
(1)如图不放B球只有A球：用小锤击打弹性金属片，使A球沿水平方向飞出。从运动效果来看，这一过程小球沿曲线路径运动，可以分解为两个同时进行的分运动。一个是水平方向上的直线运动，另一个是竖直方向上的直线运动。实际发生的运动可以看成上述两个分运动合成的结果。
(2)分运动具有独立性
如图所示把A球、B球都装置好，用小锤击打弹性金属片，使A球沿水平方向飞出，完全相同的B球被同时松开做自由落体运动。重复上述实验发现，虽然两球的运动轨迹不同，但无论球A水平飞出的初速度多大，两球几乎总是同时落地。这表明A球在竖直方向上的分运动是自由落体运动，且不会受到水平方向分运动的影响，A球在竖直和水平两个方向上的分运动具有独立性。
物体实际发生的运动是合运动。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)合运动与分运动是同时进行的。 ( √ )
(2)同一个物体的分运动相互影响。 ( × )
(3)合运动与分运动是等效替代关系，同一运动中不能重复考虑。 ( √ )
知识点二 位移和速度的合成与分解
1．位移的合成与分解
研究表明，和力的合成与分解类似，位移的合成与分解同样遵循平行四边形法则。
如图，s为合位移，s1、s2为分位移
2．速度的合成与分解
研究表明，速度的合成与分解也同样遵循平行四边形法则。
如图，v是合速度，v1、v2是分速度。
说明：矢量的合成与分解都遵循平行四边形法则，运动的合成与分解实质是运动的位移、速度和加速度的合成与分解。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)合运动的速度一定比分运动的速度大。 ( × )
(2)合运动的位移一定比分运动的位移大。 ( × )
3：填空
船在静水中的速度为4 m/s，水流速度为 3 m/s，则船的实际速度的范围是1 m/s≤v≤7 m/s。
如图所示，在军事演习中，直升机常常一边匀加速收拢绳索提升士兵，一边沿着水平方向匀速飞行，请思考：
(1)士兵在水平方向和竖直方向分别做什么运动？
(2)如何判断士兵做的是直线运动还是曲线运动？
提示：(1)士兵在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动。(2)士兵受的合力沿竖直方向，与其合速度不在一条直线上，所以做曲线运动。
考点1 运动的合成与分解
1．合运动与分运动
物体实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。
2．合运动与分运动的四个特性
等时性 各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
3．运动的合成与分解
(1)运动合成与分解的法则：合成和分解的对象是位移、速度、加速度，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形法则。
(2)运动的合成与分解的方法：①两个分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减。②两个分运动不在同一条直线上时，按平行四边形法则进行合成与分解。在遵循平行四边形法则的前提下，灵活采用作图法、解析法，可以借鉴力的合成与分解的知识，具体问题具体分析。
【典例1】 如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以 0.1 m/s 的速度匀速上浮。当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平匀速向右运动，测得红蜡块实际运动方向与水平方向的夹角为30°。玻璃管水平方向的移动速度为( )
A．0.1 m/s B．0.2 m/s
C．0.17 m/s D．无法确定
思路点拨：利用合运动与分运动的独立性、等时性及相互关系来求解。
C [蜡块的合运动是匀速直线运动，其方向与水平面成30°角，故tan 30°＝，故玻璃管水平方向的移动速度v2＝≈0.17 m/s，C项正确。]
[母题变式]
上例中，若玻璃管的长度为1.0 m，则当红蜡块从玻璃管底端上浮到顶端的过程中，蜡块运动的位移为( )
A．1.0 m B．2.0 m
C．1.7 m D．0.5 m
B [蜡块匀速运动到玻璃管顶端历时t＝ s＝10 s，竖直位移x1＝1.0 m，该过程中玻璃管水平位移x2＝v2t＝0.1××10 m＝ m，则蜡块的位移x＝＝2.0 m，B项正确。]
[跟进训练]
1．跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机由静止跳下后，在下落过程中会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力有关
D．运动员着地速度与风力无关
B [运动员同时参与了两个分运动，沿竖直方向下下落和水平方向随风移动，两个分运动同时发生，相互独立，因而，水平风速越大，落地的合速度越大，会对运动员造成伤害，但落地时间仅与下落的高度有关，当下落高度一定时，下落时间不变，故B正确。]
考点2 合运动性质和轨迹的判断
1．合运动的性质判断
(1)加速度(大小、方向)
(2)加速度(方向)与速度(方向)
2．合运动轨迹的判断
(1)若a与v0共线，物体做直线运动。
(2)若a与v0不共线，物体做曲线运动。
3．互成角度的两个直线运动的合成
分运动 合运动 矢量图 条件
两个匀速直线运动 匀速直线运动 a＝0
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 a与v成α角
两个初速度为零的匀加速直线运动 初速度为零的匀加速直线运动 v0＝0
两个初速度不为零的匀加速直线运动 匀变速直线运动 a与v方向相同
匀变速曲线运动 a与v成α角
【典例2】 关于一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动，下列说法正确的是( )
A．一定是曲线运动
B．可能是直线运动
C．运动的方向一定不变
D．速度一直在变，是变加速运动
思路点拨：解此题的关键是看加速度方向和合速度方向的关系。
B [由题意可知，两个分运动的合速度方向和加速度的方向可能在一条直线上，也可能不在一条直线上，所以这两个分运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，但一定是匀变速运动，故B正确，A、C、D错误。]
曲线运动性质的两种判断方法
(1)看物体所受合力：若合力为恒力，则它做匀变速曲线运动；若合力为变力，则它做非匀变速曲线运动。
(2)看物体的加速度：若物体的加速度不变，则它做匀变速曲线运动；若它的加速度变化，则它做非匀变速曲线运动。
[跟进训练]
2．两个互成角度的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，它们的合运动的轨迹( )
A．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是直线
B．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是曲线
C．如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线
D．如果＝，那么轨迹一定是直线
D [本题考查两直线运动合运动性质的确定，解题关键是明确做曲线运动的条件是合外力的方向(即合加速度的方向)与速度的方向不在一条直线上。如果＝，那么，合加速度的方向与合速度的方向一定在一条直线上，物体做直线运动，所以D正确。]
考点3 运动合成与分解的应用
1．运动的合成与分解的应用解题思路
(1)确定物体的合运动(实际发生的运动)与分运动。
(2)画出矢量(速度、位移或加速度)合成或分解的平行四边形。
(3)应用运动学公式分析同一运动(合运动或某一分运动)中的位移、速度、加速度等物理量之间的关系，应用几何知识分析合矢量与分矢量之间的关系。
(4)初速度与合外力决定了物体运动的轨迹，应先进行受力分析与运动分析，再确定研究方法。
2．两种常见物理模型
(1)小船渡河问题的常考实例
情况 图示 说明
渡河时间最短 当船头垂直于河岸时，小船渡河时间最短，最短时间为tmin＝，对应渡河位移x＝
渡河位移最短 当v水当v水>v船时，以v水矢量末端为圆心，以v船的大小为半径做圆，当合速度的方向与圆相切时，船头方向(v船方向)与合速度方向垂直，小船渡河位移最短，此时船头与河岸夹角为，最短渡河位移xmin＝＝
渡河船速最小 在水流速度v水和船的航行方向(v合方向)一定的前提下，当船头方向(v船方向)与合速度方向垂直时，有满足条件的最小船速，即v船min＝v水sin θ
(2)“关联速度”模型
①确定合运动的两个效果。
用轻绳或可自由转动的轻杆连接的物体的问题―→
相互接触的物体的问题―→
由于绳长、杆长不变，所以各点沿绳、杆的分速度大小相等，从而建立关联。
②常见的速度分解实例
甲 乙
丙 丁
角度1 小船渡河问题
【典例3】 小船要横渡一条200 m宽的河流，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？
(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？
[解析] (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝＝ s＝40 s，小船沿水流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，则v合＝＝4 m/s，经历时间t′＝＝ s＝50 s。又cos θ＝＝＝0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。
(3)如果水流速度变为10 m/s，如图乙所示，要使小船航程最短，应使v合′的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cos θ′＝＝，解得θ′＝60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。
[答案] (1)40 s 正对岸下游120 m处 (2)船头指向与河岸的上游成53°角 50 s (3)船头指向与河岸的上游成60°角
(1)小船渡河时间最短与位移最短是两种不同的运动情境，时间最短时，位移不是最短。
(2)求渡河的最小位移时，要先弄清v船与v水的大小关系，不要盲目地认为最小渡河位移一定等于河的宽度。
(3)渡河时间与船随水漂流速度的大小无关，只要船头指向与河岸垂直，渡河时间即为最短。
角度2 “关联速度”问题
【典例4】 如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，两物体质量分别为m1和m2，且m1A．v2sin θ B．
C．v2cos θ D．
C [m1的速度与绳上各点沿绳方向的速度大小相等，所以绳的速度等于m1的速度v1，而m2的实际运动是合运动(沿杆向下)，合速度v2可分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子方向的分速度(即两个实际运动效果)。因此v1跟v2的关系如图所示，由图可看出m1的速度大小v1＝v2cos θ ，所以选项C正确。
]
“四步”巧解“关联速度”问题
第一步：先确定合运动，物体的实际运动就是合运动；
第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿牵引方向的平动效果，改变速度的大小；二是沿垂直于牵引方向的转动效果，改变速度的方向；
第三步：按平行四边形法则进行分解，作好运动矢量图；
第四步：根据沿绳(或杆)牵引方向的速度相等列方程。
[跟进训练]
3．(角度1)(多选)假设在一段平直的河道中水流速度为v0，皮划艇在静水中的速度为v，河道宽为d，小刘和小张划动皮划艇过河，则下列说法正确的是( )
A．若皮划艇过河时间最短，则皮划艇船头对着正对岸
B．调整皮划艇船头方向，一定能够到达河的正对岸
C．若水流速度增大，则皮划艇过河最短时间变长
D．若皮划艇能到达河的正对岸，则皮划艇过河时间为
AD [河宽d一定，皮划艇船头对着河的正对岸时，皮划艇垂直河岸的分速度最大，过河时间最短，根据运动的独立性，即使水流速度增大，最短过河时间也不变，故A正确，C错误；当v4．(角度2)如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2cos θ
C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ
C [可以把A、B两点的速度分解，如图所示，由于杆不能变长或变短，沿杆方向的速度应满足v1x＝，即v1cos θ＝v2sin θ，v1＝v2tan θ，C正确。
]
1．关于两个运动的合运动，下列说法中正确的是 ( )
A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B．两个互成角度的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
C．两个互成角度的匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动
D．两个分运动的时间和它们合运动的时间不相等
B [两个互成角度的匀变速直线运动的合初速度为v，合加速度为a，由物体做曲线运动的条件可知，当v与a共线时，合运动为匀变速直线运动，如图甲所示，当v与a不共线时，合运动为匀变速曲线运动，如图乙所示，故选项A、C错误；两个互成角度的匀速直线运动的合成可看成如图甲所示a＝0的情况，所以合运动一定是匀速直线运动，故选项B正确；分运动和合运动具有等时性，故选项D错误。
]
甲 乙
2．河宽d＝60 m，水流速度v1＝4 m/s不变，小船在静水中的行驶速度为v2＝3 m/s，则( )
A．小船能垂直直达正对岸
B．若船头始终垂直于河岸渡河，渡河过程中水流速度加快，渡河时间将变长
C．小船渡河时间最短为20 s
D．小船渡河的实际速度一定为5 m/s
C [由于船速小于水速，小船的合速度不可能垂直于河岸，小船不能垂直到达正对岸，故A错误；当船速垂直于河岸时，小船渡河时间最短为tmin＝＝ s＝20 s，当水速增大时，渡河时间不受影响，故B错误，C正确；由于船速方向未知，无法求解渡河实际速度，故D错误。]
3．用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，如果保持绳子上P点的速度v不变，则小船的速度( )
A．不变 B．逐渐增大
C．逐渐减小 D．先增大后减小
B [小船的运动为实际运动，把小船的运动分解为沿绳子方向和垂直于绳子斜向下方向的两个分运动，如图所示。小船运动过程中保持绳子上P点速度大小不变，两个分运动方向始终垂直，合运动方向不变，绳子与水平方向的夹角θ逐渐增大。v船＝，由于θ不断增大，则cos θ不断减小，故v船逐渐增大。选项A、C、D错误，B正确。]
4．(新情境题，以生活中实例为背景，考查运动的合成与分解)如图所示，起重机是指在一定范围内垂直提升和水平搬运重物的多动作起重机械，又称天车、航吊、吊车。起重机所吊物体在水平方向的运动情况如图甲，在竖直方向的运动情况如图乙。
甲 乙
问题：(1)起重机所吊物体在3 s内做匀变速曲线运动，对吗？
(2)在t＝4 s时，起重机所吊物体的速度大小。
(3)求t＝3.5 s时，物体加速度的大小。
[解析] (1)在3 s内，起重机所吊物体在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向做匀速直线运动，则所吊物体的加速度恒定，故起重机所吊物体在3 s内做匀变速曲线运动。
(2)在t＝4 s时，起重机所吊物体在水平方向的速度大小vx＝6 m/s，在竖直方向的速度大小vy＝8 m/s，则起重机所吊物体的速度大小v＝＝10 m/s。
(3)a＝＝ m/s2＝5 m/s2。
[答案] (1)对 (2)10 m/s (3)5 m/s2
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．运动的合成与分解满足什么规律？合速度一定大于分速度吗？
提示：满足平行四边形法则；不一定。
2．如何判断一个运动是匀变速运动还是非匀变速运动？
提示：看加速度是否恒定。
3．在渡河问题中，如何区分合运动和分运动？
提示：船的实际运动是合运动。
课时分层作业(二) 运动的合成与分解
?题组一 运动的合成与分解
1．如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一红蜡块R(R可视为质点)。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点开始运动的轨迹如图所示，则红蜡块R在x轴、y轴方向的运动情况可能是( )
A．x轴方向匀速直线运动，y轴方向匀速直线运动
B．x轴方向匀速直线运动，y轴方向匀加速直线运动
C．x轴方向匀减速直线运动，y轴方向匀速直线运动
D．x轴方向匀加速直线运动，y轴方向匀速直线运动
[答案] D
2．同学们到中国科技馆参观，看到了一个有趣的科学实验：如图所示，一辆小火车在平直轨道上匀速行驶，当火车将要从“∩”形框架的下方通过时，突然从火车顶部的小孔中向上弹出一小球，该小球越过框架后，又与通过框架的火车相遇，并恰好落回原来的孔中。下列说法中正确的是( )
A．相对于小火车，小球运动的轨迹是曲线
B．相对于地面，小球运动的轨迹是直线
C．小球能落回小孔是因为小球在空中运动的过程中受到水平向前的力
D．小球能落回小孔是因为小球具有惯性，在水平方向保持与小火车相同的速度
D [当以小火车为参考系时，水平方向由于惯性，小球与小火车共速，故小球在竖直方向做直线运动，小球运动的轨迹是直线；当以地面为参考系时，小球存在水平方向的速度，所以小球运动的轨迹是曲线，故A、B错误。小球能落回小孔是因为小球具有惯性，在水平方向保持与火车相同的速度，故C错误，D正确。]
?题组二 合运动性质和轨迹的判断
3．有关运动的合成，以下说法不正确的是( )
A．两个不在同一条直线上的初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动
B．两个不在同一条直线上的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
C．不在同一直线上的匀加速直线运动和匀速直线运动的合运动一定是曲线运动
D．两个直线运动的合运动一定是直线运动
D [两个不在同一条直线上的初速度为零的匀加速直线运动合成时，其合加速度为两个方向的加速度的矢量和，由于初速度为零，所以合运动是匀加速直线运动，A正确；两个分运动都是匀速直线运动，则合加速度为零，合速度不为零，因此合运动仍然是匀速直线运动，B正确；不在同一直线上的匀加速直线运动和匀速直线运动合成时，合加速度的方向与合速度的方向不在同一直线上，因此合运动是曲线运动，C正确；两个直线运动的合运动不一定是直线运动，比如C选项中两个直线运动的合运动是曲线运动，D错误。故本题应选D。]
4．如图所示，一块可升降白板沿墙壁竖直向上做匀速运动，某同学用画笔在白板上画线，画笔相对于墙壁从静止开始水平向右先匀加速，后匀减速直到停止。取水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则画笔在白板上画出的轨迹可能为( )
A B C D
D [由题可知，画笔相对白板竖直方向向下做匀速运动，水平方向先向右做匀加速运动，根据运动的合成和分解可知此时画笔做曲线运动，由于合加速度向右，则曲线凹侧向右，然后水平向右做匀减速运动，同理可知轨迹仍为曲线运动，由于合加速度向左，则曲线凹侧向左，故D正确，A、B、C错误。]
5．如图所示，甲图表示某物体在x轴方向上的分速度的vx-t的图像，乙图表示该物体在y轴方向上的分速度的vy-t图像。求：
(1)物体在t＝0时的速度大小；
(2)t＝8 s时物体的速度大小；
(3)t＝4 s时物体的位移大小。
[解析] 由题图可知，物体在x轴方向上以3 m/s的速度做匀速直线运动，在y轴方向上做初速度为0、加速度为0.5 m/s2的匀加速直线运动，合运动是曲线运动。
(1)在t＝0时，物体的速度v0＝vx＝3 m/s。
(2)在t＝8 s时，物体沿x轴方向的速度为3 m/s，沿y轴方向的速度为4 m/s，所以物体的速度为v8＝＝5 m/s。
(3)在4 s的时间内物体在x轴方向发生的位移为x＝vxt＝12 m，物体在y轴方向发生的位移为y＝at2＝4 m，所以4 s内物体发生的位移为l＝＝4 m。
[答案] (1)3 m/s (2)5 m/s (3)4 m
6．2020年3月3日消息，国网武汉供电公司每天用无人机对火神山医院周边电力线路进行巡检，一次最长要飞130分钟，它们是火神山医院的电力“保护神”。图甲、乙分别是某架无人机在相互垂直的x方向和y方向运动的v-t图像。在0～2 s内，以下判断正确的是( )
甲 乙
A．无人机的加速度大小为10 m/s2，做匀变速直线运动
B．无人机的加速度大小为10 m/s2，做匀变速曲线运动
C．无人机的加速度大小为14 m/s2，做匀变速直线运动
D．无人机的加速度大小为14 m/s2，做匀变速曲线运动
A [在0～2 s内，x方向的初速度大小v0x＝0，加速度大小ax＝ m/s2＝6 m/s2，y方向初速度大小voy＝0，加速度大小ay＝ m/s2＝8 m/s2，根据平行四边形定则可以得到无人机合初速度为v＝0，合加速度大小为a＝＝10 m/s2，故合运动为匀变速直线运动，A正确，B、C、D错误。]
?题组三 运动的合成与分解的应用
7．一小船横渡一条河，船头方向始终与河岸垂直，若小船相对静水的速度不变，运动轨迹如图所示，则河水的流速( )
A．由A到B水速一直增大
B．由A到B水速一直减小
C．由A到B水速先增大后减小
D．由A到B水速先减小后增大
B [由题意可知，船相对静水的速度大小、方向不变，但合速度的方向越来越趋向于垂直河岸方向，由速度合成图可知，船越接近B，水速越小，即由A到B水速一直减小，B项正确，A、C、D错误。]
8．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当汽车匀速向左运动时，物体M的受力和运动情况是( )
A．绳的拉力等于M的重力
B．绳的拉力大于M的重力
C．物体M向上做匀速运动
D．物体M向上做匀加速运动
B [汽车匀速向左运动，其速度可分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向分速度，沿绳子方向的分速度v′＝vcos θ，汽车在向左匀速运动的过程中，绳子与水平方向的夹角θ减小，所以v′增大，即物体M向上做加速运动，又因为v′变化不均匀，所以不是匀加速运动，选项C、D错误；由于物体M向上做加速运动，由F－mg＝ma可知，绳子的拉力大于M的重力，选项A错误，B正确。]
9．如图，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，若A物体以速度v沿水平地面向左运动，某时刻系A、B的绳分别与水平方向成α、β角，求此时B物体的速度。
[解析] 对A、B两物体速度分解图如图所示，由于两物体沿绳的速度分量相等，所以有v1＝vB1，即vcos α＝vBcos β，解得vB＝v，方向水平向右。
[答案] v，方向水平向右第三节 平抛运动
第四节 生活和生产中的抛体运动
学习任务 1．知道平抛运动和抛体运动的概念，了解平抛运动的条件。 2．能构建平抛运动模型，会应用运动合成与分解的方法分析解决相关平抛运动的速度和位移问题。 3．探究平抛运动竖直和水平分运动的特点及规律，了解科学探究中获取及处理数据的方法。 4．通过对生活中抛体运动的分析，认识运动的多样性，体会物理学在实际中的应用价值。
知识点一 平抛运动的规律
1．平抛运动
(1)概念：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，仅在重力作用下物体所做的运动称为平抛运动。
(2)条件：①初速度水平。
②忽略空气阻力，只受重力。
2．平抛运动的速度
以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴方向，竖直向下的方向为y轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系。
(1)水平方向：不受力，加速度是0，水平方向为匀速直线运动，vx＝v0。
(2)竖直方向：只受重力，所以a＝g；竖直方向的初速度为0，所以竖直方向为自由落体运动，vy＝gt。
(3)合速度
大小：v＝＝；
方向：tan θ＝＝(θ是v与水平方向的夹角)。
3．平抛运动的位移与轨迹
(1)水平位移：x＝v0t ①
竖直位移：y＝gt2 ②
(2)轨迹方程：由①②两式消去时间t，可得平抛运动的轨迹方程为y＝x2，由此可知平抛运动的轨迹是一条抛物线。
(3)平抛运动是匀变速曲线运动。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果下落时间足够长，平抛运动物体的速度方向可以变为竖直方向。( × )
(2)在同一地区的同一高度，所有做平抛运动的物体的加速度都相同。 ( √ )
(3)平抛运动合位移的方向与合速度的方向一致。 ( × )
知识点二 抛体运动
1．抛体运动：将物体以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所做的运动称为抛体运动。
2．斜抛运动
借鉴探究平抛运动时运动合成与分解的方法，可以将斜抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动。
(1)水平方向：物体做匀速直线运动，初速度vox＝v0cos θ。
(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度voy＝v0sin θ。
标枪被掷得远近，除了力度外，还与哪些因素有关？
提示：抛射角度。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)斜抛运动和平抛运动水平方向都是匀速直线运动 ( √ )
(2)斜抛运动的竖直方向是自由落体运动 ( × )
3：填空
斜向上抛运动中
水平位移：x＝v0tcos θ。
竖直位移：y＝v0tsin θ－ gt2。
如图所示，一人正练习投掷飞镖(不计空气阻力)。
(1)飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？
(2)飞镖做的是什么运动？运动轨迹如何？
(3)这种运动如何处理？
提示：(1)因忽略空气阻力，飞镖投出后，只受重力作用，其加速度大小为g，方向竖直向下。
(2)平抛运动，轨迹是抛物线。
(3)正交分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
考点1 实验：探究平抛运动
1．实验思路
(1)提出问题
平抛运动是平面内的曲线运动，速度和位移的大小和方向时刻在发生变化。这个复杂的曲线运动有什么规律呢？能否分解为两个简单的直线运动？
(2)科学猜想
由于物体是沿水平方向抛出的，在运动过程中只受重力作用。因此平抛运动可能是水平方向和竖直方向分运动的合成。那么只要研究出这两个分运动的特点，平抛运动的规律就清楚了。
2．进行实验
方案一：利用频闪照相法探究平抛运动的特点
(1)实验目的
①探究平抛运动的轨迹是一条什么曲线。
②探究平抛运动水平方向和竖直方向是什么运动。
(2)实验原理
数码相机每秒拍下小球做平抛运动时的十几帧或几十帧照片，将照片上不同时刻的小球的位置连成平滑曲线，便得到小球的运动轨迹，如图所示，由于相邻两帧照片间的时间间隔相等，只要测出相邻两帧照片上小球位置间的水平距离和竖直距离，就很容易判断平抛运动在水平方向和竖直方向的运动特点。
(3)数据处理
①建立以抛出点为坐标原点，以小球水平抛出时的初速度方向为x轴正方向，以竖直向下为y轴正方向的直角坐标系。
②测出相邻两帧照片中小球移动的水平距离和竖直距离。
③根据水平位移和竖直位移随时间变化的具体数据，分析小球水平方向分运动和竖直方向分运动的特点。
(4)结果分析
水平方向的分运动是匀速直线运动，竖直方向的分运动是匀加速直线运动。
方案二：利用描迹法探究平抛运动的特点
(1)实验设计
实验装置如图所示。小钢球从斜槽上滚下，从水平槽飞出后做平抛运动。每次都使小钢球在斜槽上同一位置由静止滚下，小钢球在空中做平抛运动的轨迹就是一定的，设法用铅笔描出小钢球经过的位置。通过多次实验，在竖直坐标纸上记录小钢球所经过的多个位置，用平滑的曲线连起来就得到小钢球做平抛运动的轨迹。
(2)实验器材和步骤
①实验器材
小钢球、斜槽轨道、木板及竖直固定支架、坐标纸、图钉、重垂线、铅笔、三角板、刻度尺等。
②实验步骤
a．安装、调整斜槽
将斜槽固定在实验桌上，使其末端伸出桌面，斜槽末端的切线水平，如图所示。
b．调整木板并确定坐标原点
用图钉将坐标纸固定在木板的左上角，把木板调整到竖直位置，使板面与小钢球运动轨迹所在的平面平行且靠近。把小钢球放在槽口(斜槽末端)处，用铅笔记下小钢球在槽口时球心在坐标纸上的水平投影点O，O点即坐标原点。利用重垂线画出过坐标原点的竖直线作为y轴，在水平方向建立x轴。
c．描点
使小钢球从斜槽上某一位置由静止滚下，小钢球从斜槽末端飞出，先用眼睛粗略确定做平抛运动的小钢球在某一x值处的y值，然后让小钢球从斜槽上同一位置由静止滚下，移动笔尖在坐标纸上的位置，当小球恰好与笔尖正碰时，用铅笔在坐标纸上描出代表小钢球通过位置的点。重复几次实验，在坐标纸上描出一系列代表小钢球通过位置的点。
d．描绘出平抛运动的轨迹
取下坐标纸，将坐标纸上记下的一系列点用平滑曲线连接起来，即可得到小钢球做平抛运动的轨迹。
斜槽的粗糙程度对该实验没有影响，因为每次钢球从同一高度滚下，所受摩擦力相同，到达槽口的速度相同，因此轨迹依然重合，不影响实验结果。
(3)注意事项
①应保持斜槽末端的切线水平，钉有坐标纸的木板竖直，并使小钢球的运动靠近坐标纸但不接触。
②小钢球每次必须从斜槽上同一位置无初速度滚下，在斜槽上释放小钢球的高度应适当，使小钢球以合适的水平初速度抛出，其轨迹在坐标纸的左上角到右下角间分布，从而减小测量误差。
③坐标原点(小钢球做平抛运动的起点)不是槽口的端点，应是小钢球在槽口时球心在坐标纸上的水平投影点。
【典例1】 用如图1所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上。钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。
图1
(1)下列实验条件必须满足的有________。
A．斜槽轨道光滑
B．斜槽轨道末段水平
C．挡板高度等间距变化
D．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球
(2)为定量研究，建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。
a．取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于Q点，钢球的_________(选填“最上端”“最下端”或“球心”)对应白纸上的位置即为原点；在确定y轴时_________(选填“需要”或“不需要”)y轴与重垂线平行。
b．若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图2所示，在轨迹上取A、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x，测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2，则(选填“大于”“等于”或“小于”)。可求得钢球平抛的初速度v0大小为________(已知当地重力加速度为g，结果用上述字母表示)。
图2
(3)为了得到平抛物体的运动轨迹，同学们还提出了以下三种方案，其中可行的是_________。
A．从细管水平喷出稳定的细水柱，拍摄照片，即可得到平抛运动轨迹
B．用频闪照相法在同一底片上记录平抛钢球在不同时刻的位置，平滑连接各位置，即可得到平抛运动轨迹
C．将铅笔垂直于竖直的白纸板放置，笔尖紧靠白纸板，铅笔以一定初速度水平抛出，将会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹
[解析] 根据平抛运动的规律：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动解答。
(1)本实验中要保证钢球飞出斜槽末端时的速度水平，即钢球做平抛运动，且每次飞出时的速度应相同，所以只要每次将钢球从斜槽上同一位置由静止释放即可，故B、D正确。
(2)a.平抛运动的起始点应为钢球静置于Q点时，钢球的球心对应白纸上的位置，由于平抛运动在竖直方向做自由落体运动，所以在确定y轴时需要y轴与重垂线平行。
b．由于A点不是抛出点，由初速度为零的匀加速直线运动规律即在相等时间间隔内所通过的位移之比为1∶3∶5∶7∶…可知，＞；设AB、BC间所用的时间均为T，竖直方向有y2－y1＝gT 2，水平方向有x＝v0T，联立解得v0＝x。
(3)平抛运动的特性：初速度为v0，加速度为g，细管水平喷出水柱满足要求，A正确；用频闪照相法在同一底片上记录钢球不同时刻的位置即平抛运动的轨迹上的点，平滑连接在一起即为平抛运动轨迹，所以此方案可行，B正确；将铅笔垂直于竖直的白板放置，以一定初速度水平抛出，笔尖与白纸间有摩擦力，所以铅笔做的不是平抛运动，故此方案不可行，C错误。
[答案] (1)BD (2)a.球心 需要 b．大于 x (3)AB
[跟进训练]
1．某学习小组用实验探究“平抛运动规律”。
图1 图2 图3
(1)甲同学采用如图1所示的装置。用小锤打击弹性金属片，金属片把A球沿水平方向弹出，同时B球被松开，自由下落，观察到两球同时落地，改变小锤打击的力度，即改变A球被弹出时的速度，两球仍然同时落地，这说明_____________________________________________________________________。
(2)乙同学采用如图2所示的装置。用两个相同的弧形轨道M、N分别发射小铁球P、Q，其中N的末端与光滑水平面相切，两轨道上端分别装有电磁铁C、D，调节电磁铁C、D的高度，使AC＝BD，现将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，切断电源，使两小铁球同时分别从轨道M、N的下端射出。实验可观察到的现象应是___________________________________________________________
_____________________________________________________________________；
保持AC＝BD，仅仅改变弧形轨道M在竖直方向的位置，重复上述实验，仍能观察到相同的现象，这说明_____________________________________________
____________________________________________________________________。
(3)丙同学采用频闪摄影的方法拍摄到如图3所示的“小球做平抛运动”的照片。图中每个小方格的边长为2.5 cm，分析可知，位置1_________(选填“是”或“不是”)平抛运动的起点。
[解析] (1)在打击金属片后，A小球做平抛运动，B小球做自由落体运动，结果两球同时落地，则说明平抛运动在竖直方向上是自由落体运动。
(2)让两小球从相同的弧形轨道上以相同高度滚下，从而使两小球同时滚离轨道并具有相同的速度。小球P做平抛运动，小球Q做匀速直线运动，当两小球相碰时则说明平抛运动在水平方向上是匀速直线运动。当改变轨道M在竖直方向的位置时，仍能相碰，则说明平抛运动的水平方向总是匀速直线运动，与抛出点的高度无关。
(3)平抛运动可看成竖直方向自由落体运动与水平方向匀速直线运动的合运动，由题图3可知水平方向间距相等，则可知时间间隔相等，如果位置1是平抛运动的起点，根据初速度为零的匀变速直线运动的特点，在竖直方向上在相等的时间内位移大小之比为1∶3∶5∶7，由图可知是1∶2∶3，所以位置1不是平抛运动的起点。
[答案] (1)平抛运动在竖直方向上是自由落体运动 (2)P、Q二球相碰 平抛运动在水平方向上是匀速直线运动 (3)不是
考点2 平抛运动的理解
1．物体做平抛运动的条件
物体的初速度v0≠0，方向水平，且只受重力作用。
2．平抛运动的性质
加速度为g的匀变速曲线运动。
3．抛体运动的特点
特点 理解
理想化特点 物理上提出的抛体运动是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力
匀变速特点 抛体运动的加速度恒定，始终等于重力加速度，是一种匀变速运动
速度变化的特点 做抛体运动的物体在任意相等时间内速度的变化量相等，均为Δv＝gΔt，方向竖直向下
【典例2】 (多选)关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是变加速曲线运动
B．平抛运动是匀变速曲线运动
C．速度变化仅在竖直方向上
D．任意相等时间内速度的变化量相等
BCD [平抛运动只受重力作用，加速度为重力加速度，是恒定不变的，所以平抛运动是匀变速曲线运动，选项A错误，选项B正确；水平方向Δvx＝0，竖直方向Δvy＝gΔt，速度变化仅在竖直方向上，选项C正确；速度变化量Δv＝Δvy＝gΔt，任意相等时间内速度变化量相等如图所示，选项D正确。
]
[跟进训练]
2．关于平抛运动，下列说法中正确的是( )
A．平抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B．平抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
C．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D．平抛运动是变加速曲线运动
C [平抛运动只受重力的作用，加速度为g，速度方向不断改变，是匀变速曲线运动，A、B、D错误；平抛运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，C正确。]
考点3 平抛运动的处理方法和规律
1．研究方法
采用运动分解的方法，将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动。
2．运动规律
项目 速度 位移
水平分运动 水平速度vx＝v0 水平位移x＝v0t
竖直分运动 竖直速度vy＝gt 竖直位移y＝gt2
合运动 大小：v＝ 方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝ 大小：s＝ 方向：与水平方向夹角为α，tan α＝＝
图示
【典例3】 从某一高度处水平抛出一物体，它落地时速度是50 m/s，方向与水平方向成53°角。(不计空气阻力，g取10 m/s2，cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8)求：
(1)抛出点的高度和水平射程；
(2)抛出后3 s末的速度；
(3)抛出后3 s内的位移。
[解析] (1)设落地时竖直方向的速度为vy，水平速度为v0，则有
vy＝vsin 53°＝50×0.8 m/s＝40 m/s
v0＝vcos 53°＝50×0.6 m/s＝30 m/s
抛出点的高度为h＝＝80 m
水平射程x＝v0t＝v0·＝30× m＝120 m。
(2)设抛出后3 s末的速度为v3，则
竖直方向的分速度vy3＝gt3＝10×3 m/s＝30 m/s
v3＝＝ m/s＝30 m/s
设速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝1，故α＝45°。
(3)抛出后3 s内物体的水平位移x3＝v0t3＝30×3 m＝90 m
竖直方向的位移y3＝＝×10×32 m＝45 m
故物体在3 s内的位移
l＝＝ m＝45 m
设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝。
[答案] (1)80 m 120 m (2)30 m/s，与水平方向的夹角为45°斜向右下 (3)45 m，与水平方向的夹角的正切值为，斜向右下
[母题变式]
(1)如图，以初速度v0水平抛出的物体，经时间t后速度方向和位移方向相同吗？求出两者与水平方向夹角的正切值有什么关系？
(2)结合以上结论并观察速度反向延长线与x轴的交点，你有什么发现？
[解析] (1)不相同
由题图知，tan θ＝＝
tan α＝＝＝
所以tan θ＝2tan α。
(2)xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt，vx＝v0，
又tan θ＝＝，解得xA′B＝＝。
[答案] (1)不相同 tan θ＝2tan α (2)xA′B＝
平抛运动的两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在某时刻速度方向与水平方向的夹角θ、位移方向与水平方向的夹角α的关系为 tan θ＝2tan α。
(2)做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
[跟进训练]
3．如图所示，若物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后仍落在斜面上，则物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空气阻力不计，物体可视为质点)( )
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
D [物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向的夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为φ，由平抛运动的推论知tan φ＝2tan θ，选项D正确。]
考点4 一般抛体运动的规律
1．一般抛体运动问题的分析思路：
一般抛体运动问题的处理方法和平抛运动的处理方法相同，都是将运动分解为两个方向的简单的直线运动，分别为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
2．斜抛运动的规律：
斜抛物体的轨迹
(1)速度规律
水平速度：vx＝v0x＝v0cos θ。
竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt。
t时刻的速度大小为v＝。
(2)位移规律
水平位移：x＝v0xt＝v0tcos θ。
竖直位移：y＝v0tsin θ－gt2。
t时间内的位移大小为s＝，与水平方向成α角，且tan α＝。
3．射高和射程：
(1)斜抛运动的飞行时间：t＝＝。
(2)射高：h＝＝。
(3)射程：s＝v0cos θ·t＝＝，
对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。
【典例4】 如图，做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度v＝24 m/s，落地时速度vt＝30 m/s，g取10 m/s2。求：
(1)物体抛出时速度的大小和方向；
(2)物体在空中的飞行时间t。
[解析] (1)根据斜抛运动的对称性，物体抛出时的速度与落地时的速度大小相等，故v0＝vt＝30 m/s
设与水平方向夹角为θ，则cos θ＝＝
故θ＝37°。
(2)竖直方向的初速度为
v0y＝＝ m/s＝18 m/s
故飞行时间t＝＝2× s＝3.6 s。
[答案] (1)30 m/s 与水平方向夹角为37° (2)3.6 s
[跟进训练]
4．(多选)运动员在同一位置分别沿与水平地面成30°和60°角的方向踢出同一个足球，足球两次落在同一地点，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，则足球( )
A．两次运动的位移相等
B．沿轨迹①运动的时间长
C．在最高点时沿轨迹②运动的速度小
D．两次的最高点位置一定在同一竖直线上
ABD [位移是起点到终点的有向线段，所以足球两次运动的位移相等，A正确；足球在竖直方向做竖直上抛运动，上升到最大高度时竖直方向的分速度等于零，足球在最高点之后的过程可看成平抛运动，根据t＝可知，沿轨迹①运动的时间长，B正确；足球在最高点时，其水平位移x＝vxt相等，又因为足球沿轨迹①运动的时间长，所以在最高点时沿轨迹①运动的速度小，C错误；因上升和下落两个过程具有时间、速度、位移的对称性，根据对称性可知，两次的最高点位置一定在同一竖直线上，D正确。]
1．斜抛运动与平抛运动相比较，正确的是( )
A．斜抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
B．平抛运动是速度一直增大的运动，而斜抛运动是速度一直减小的运动
C．做变速直线运动的物体，加速度方向与运动方向相同，当加速度减小时，它的速度也减小
D．无论是平抛运动还是斜抛运动，在任意相等时间内的速度变化量都相等
D [斜抛运动和平抛运动都是只受重力作用，加速度恒为g的匀变速曲线运动，故A错误；平抛运动的速度一直增大，斜抛运动的速度是增大还是减小，要看速度与重力的夹角。成锐角时速度增大；成钝角时速度减小；斜下抛运动也是速度一直增大的运动，故B错误；做变速直线运动的物体，加速度和运动方向相同时，物体做加速直线运动，当加速度减小时，物体仍然加速，故C错误；根据加速度的定义式知，加速度为g是一定值，所以在相等的时间内速度的变化量都相等，故D正确。]
2．如图所示，下面关于物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角θ的正切tan θ随时间t的变化图像正确的是( )
A B C D
B [设物体平抛的初速度为v0，经过时间t，物体在竖直方向的速度vy＝gt，故tan θ＝，故tan θ与t成正比，选项B正确。]
3．在“研究平抛运动”的实验中，采用图1所示的实验装置，其简图如图2所示，水平抛出的小球落入接球槽中，通过复写纸在白纸上留下痕点。
(1)下列说法正确的是_________。
A．小球运动时可以与竖直板相接触
B．固定斜槽时，必须保证斜槽末端切线水平
C．在研究一条运动轨迹时，小球每次都要从同一位置由静止开始释放
D．为了准确地找出小球运动的轨迹，必须用光滑曲线把所有的点连接起来
图1 图2 图3 图4
(2)实验中小球碰到接球槽会在复写纸下面的白纸上留下相近的两个点(如图3所示)，应该取________(选填“左边”或“右边”)的点进行测量。
(3)图4是实验中小球从斜槽上不同位置下落获得的两条轨迹，图线①所对应的平抛运动的初速度_________(选填“较小”或“较大”)，图线②所对应的小球在斜槽上释放的位置_________(选填“较低”或“较高”)。
[解析] (1)为保证小球做平抛运动，小球运动时不能与竖直板接触，A错误；为保证小球做平抛运动，固定斜槽时斜槽末端切线必须水平，B正确；研究一条运动轨迹时，小球的初速度必须相同，因此小球每次都要从同一位置由静止释放，C正确；连线时让尽可能多的点在光滑曲线上即可，D错误。
(2)实验中小球碰到接球槽时可能会反弹，因此应该取靠前的点，即左边的点进行测量。
(3)由题图4知，小球下落相同的高度时图线①的水平位移大，故其对应的平抛运动的初速度大，图线②所对应的小球初速度较小，则其在斜槽上释放的位置较低。
[答案] (1)BC (2)左边 (3)较大 较低
4．(新情境题，以体育运动为背景，考查平抛运动规律)如图所示，一位初中生将一个质量为m＝2 kg的实心球抛出，球离手时距地面高度约为h＝1.8 m，离手瞬间初速度约为v0＝8 m/s，球到达最高点O时的速度约为v＝6 m/s，忽略空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)O点离地面的高度H；
(2)球到达O点后的运动过程中，平抛落地点与O点的水平距离s。
[解析] (1)忽略空气阻力，小球水平方向做匀速直线运动，当球到达最高点时，其竖直方向的速度为零，此时小球的水平速度为v＝6 m/s
则竖直初速度为vy＝＝2 m/s
小球竖直上升的高度为Δh＝＝1.4 m
O点离地面的高度H＝h＋Δh＝3.2 m。
(2)球到达O点后做平抛运动，则由H＝gt2
可知t＝＝0.8 s
则水平距离s＝vt＝4.8 m。
[答案] (1)3.2 m (2)4.8 m
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．平抛运动的条件是什么？
提示：有水平初速度，仅受重力作用。
2．平抛运动有哪些动力学特点？
提示：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动。
3．抛体运动的常用处理方法是什么？
提示：分解，将抛体运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的直线运动。
课时分层作业(三) 平抛运动 生活和生产中的抛体运动
?题组一 平抛运动及其规律应用
1．关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是匀速运动
B．平抛运动是加速度不断变化的运动
C．平抛运动是匀变速曲线运动
D．做平抛运动的物体落地时速度方向可能是竖直向下的
[答案] C
2．做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是( )
A．大小相等，方向相同
B．大小不等，方向不同
C．大小相等，方向不同
D．大小不等，方向相同
[答案] A
3．如图所示，滑板运动员以速度v0从离地高h处的平台末端水平飞出，落在水平地面上。忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是( )
A．v0越大，运动员在空中运动时间越长
B．v0越大，运动员落地瞬间速度越大
C．运动员落地瞬间速度与高度h无关
D．运动员落地位置与v0大小无关
B [运动员在竖直方向做自由落体运动，运动员做平抛运动的时间t＝，只与高度有关，与初速度无关，A项错误；运动员的末速度是由初速度和竖直方向上的速度合成的，合速度v＝，初速度越大，合速度越大，B项正确；运动员在竖直方向上的速度vy＝，高度越高，落地时竖直方向上的速度越大，故合速度越大，C项错误；运动员在水平方向上做匀速直线运动，落地的水平位移x＝v0t＝v0，故落地的位置与初速度有关，D项错误。]
4．如图所示，某公园有喷水装置，若水从小鹅模型口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，则( )
A．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越长
B．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
C．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越远
D．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C [根据题意可将水的运动看作平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，则竖直方向有h＝，t＝，可知水从喷出到落入池中的时间由喷水口高度决定，与喷水速度无关，所以喷水口高度一定，运动时间一定，故A、B错误；水平方向有x＝v0t＝v0，则知喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越远，故C正确，D错误。]
5．(多选)将某物体以v0的速度水平抛出(不计空气阻力)，当其竖直分速度与水平分速度大小相等时，下列说法中正确的是( )
A．竖直分位移与水平分位移大小之比为1∶2
B．竖直分位移与水平分位移大小之比为2∶1
C．运动位移的大小为
D．运动位移的大小为
AC [设物体从抛出到竖直分速度与水平分速度大小相等所用时间为t，则有v0＝gt，解得t＝，该过程中物体的水平分位移为x＝v0t＝，竖直分位移y＝t＝，因此竖直分位移与水平分位移大小之比为1∶2，选项A正确，B错误；物体运动的位移大小为s＝＝，选项C正确，D错误。]
?题组二 一般抛体运动
6．如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则( )
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在落地时的速度比A在落地时的大
D．B在最高点的速度与A在最高点的速度相等
C [A和B的加速度均等于重力加速度，即B的加速度等于A的加速度，故A错误；两球都做斜抛运动，竖直方向的分运动是竖直上抛运动，根据运动的对称性可知，两球上升和下落的时间相等，而下落过程，根据t＝，知下落时间相等，则两球飞行的时间相等，故B错误；两球的竖直高度相等，时间相等，A的水平位移小于B的水平位移，A的水平速度小于B的水平速度，最高点只有水平速度，故最高点A的速度比B的小，故D错误；落地时根据vy＝，竖直分速度一样大，水平分速度B大，所以B落地时的速度比A落地时的速度大，故C正确。]
7．如图所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L。假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为α，运动员可视为质点，不计空气阻力。则有( )
A．tan α＝2 B．tan α＝
C．tan α＝ D．tan α＝1
D [运动员从最高点到落地的过程做平抛运动，根据对称性知平抛运动的水平位移为2L，则有L＝，解得t＝，运动员通过最高点时的速度为v＝＝，则有tan α＝＝1，选项D正确。]
?题组三 实验：探究平抛运动
8．如图，探究平抛运动的特点的实验装置放置在水平桌面上，利用光电门传感器和碰撞传感器可测得小球的水平初速度和飞行时间，底板上的标尺可以测得水平位移。保持水平槽口距底板高度h＝0.420 m不变。改变小球在斜槽导轨上下滑的起始位置，测出小球做平抛运动的初速度v0、飞行时间t和水平位移d，记录在表中。
v0/(m·s-1) 0.741 1.034 1.318 1.584
t/ms 292.7 293.0 292.8 292.9
d/cm 21.7 30.3 38.6 46.4
(1)由表中数据可知，在h一定时，小球水平位移d与其初速度v0成_________关系。
(2)一位同学计算出小球飞行时间的理论值t理＝＝ s＝289.8 ms，发现理论值与测量值之差约为3 ms。经检查，实验及测量无误，其原因是________________________________________________________________________________________________________________________________________。
(3)另一位同学分析并纠正了上述偏差后，另做了这个实验，竟发现测量值t′依然大于自己得到的理论值t理′，但二者之差在3～7 ms之间，且初速度越大差值越小。对实验装置的安装进行检查，确认斜槽槽口与底座均水平，则导致偏差的原因是_______________________________________________________________
____________________________________________________________________。
[解析] (1)由题表中数据可知，h一定时，小球的水平位移d与其初速度v0成正比关系。
(2)该同学计算时重力加速度取的是10 m/s2，而实际重力加速度约为9.8 m/s2，故导致约3 ms的偏差。
(3)光电门传感器置于槽口的内侧，使时间的测量值大于理论值，且初速度越大，二者差值越小。
[答案] (1)正比 (2)计算时重力加速度取值(10 m/s2)大于实际值 (3)见解析
9．某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的水池中。现制作一个尺寸为实际尺寸的模型展示效果，模型中槽道内的水流速度应为实际的( )
A． B． C． D．
B [由题意可知，水流出后做平抛运动的水平位移和下落高度均变为实际的，则有h＝gt2，得t＝，所以时间变为实际的，水流出的速度v＝，由于水平位移变为实际的，时间变为实际的，则水流出的速度变为实际的，故选B。]
1．铯原子钟是精确的计时仪器。图1中铯原子从O点以100 m/s的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间为t1；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t2。O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2 m。重力加速度g取10 m/s2，则t1∶t2为( )
图1 图2
A．100∶1 B．1∶100
C．1∶200 D．200∶1
C [由题意知，O到竖直平面MN、P到Q点的距离d＝0.2 m，铯原子做平抛运动时有d＝v0t1，做竖直上抛运动时有d＝g，解得＝。故A、B、D错误，C正确。]
2．如图所示，某同学为了找出平抛运动的物体初速度之间的关系，用一个小球在O点对准前方的一块竖直放置的挡板，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别是v1、v2、v3，不计空气阻力，打在挡板上的位置分别是B、C、D，且AB∶BC∶CD＝1∶3∶5。则v1、v2、v3之间的关系正确的是( )
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝5∶3∶1
C．v1∶v2∶v3＝6∶3∶2
D．v1∶v2∶v3＝9∶4∶1
C [由平抛运动的特点得，三个小球的水平位移相同则v1t1＝v2t2＝v3t3①。又由于小球在竖直方向上做自由落体运动，由AB∶BC∶CD＝1∶3∶5得t1∶t2∶t3＝1∶2∶3②。由①②得v1∶v2∶v3＝6∶3∶2，故C项正确。]
3．中央电视台某综艺节目中有一个橄榄球空中击剑游戏，如图所示，宝剑从空中B点自由落下，同时橄榄球从A点以速度v0沿AB方向抛出，恰好在空中C点击中剑尖。橄榄球和宝剑都可看作质点，不计空气阻力，下列说法正确的是 ( )
A．橄榄球在空中运动的加速度大于宝剑下落的加速度
B．若橄榄球以小于v0的速度沿原方向抛出，一定能在C点下方击中剑尖
C．若橄榄球以大于v0的速度沿原方向抛出，一定能在C点上方击中剑尖
D．无论橄榄球以多大速度沿原方向抛出，都能击中剑尖
C [橄榄球在空中运动的加速度等于宝剑下落的加速度，均等于重力加速度，A错误；如图所示，设B点到地面的高度为h，橄榄球抛出的初速度v0与水平地面的夹角为θ，设在空中相遇的时间为t，则有h＝gt2
由上式得，h＝v0sin θt，也就是说只要宝剑和橄榄球在空中相遇，因θ角恒定、B点到地面的高度h恒定，所以有v0t的乘积为定值；若橄榄球以小于v0的速度沿原方向抛出，则水平方向上的分速度vx减小，运动到C点所在竖直直线所用的时间t＝增大，宝剑在这段时间内下降的高度增大，有可能剑尖落地后橄榄球才到达C点所在的竖直直线，所以橄榄球只是可能在C点下方击中剑尖，B错误；若橄榄球以大于v0的速度沿原方向抛出，则水平方向上的分速度vx增大，运动到C点所在竖直直线所用的时间t＝减小，宝剑在这段时间内下降的高度减小，所以橄榄球一定能在C点上方击中剑尖，C正确；若抛出的速度太小，橄榄球可能不会与剑尖相遇，D错误。]
4．单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U型滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 72.8°＝0.96，cos 72.8°＝0.30。求：
甲
乙
(1)运动员腾空过程中离开AD的位移的最大值d；
(2)M、N之间的距离L。
[解析] (1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得v1＝vMsin 72.8° ①
设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得
mgcos 17.2°＝ma1 ②
由运动学公式得d＝ ③
联立①②③式，代入数据得d＝4.8 m。 ④
(2)在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规律得v2＝vMcos 72.8° ⑤
设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得
mgsin 17.2°＝ma2 ⑥
设腾空时间为t，由运动学公式得t＝ ⑦
L＝v2t＋a2t2 ⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L＝12 m。
[答案] (1)4.8 m (2)12 m主题1 与斜面有关的平抛运动
运动情形 题干信息 分析方法
从空中水平抛出垂直落到斜面上 速度方向 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt θ与v0、t的关系： tan θ＝＝
从斜面水平抛出又落到斜面上 位移方向 分解位移，构建位移三角形 x＝v0t y＝gt2 θ与v0、t的关系： tan θ＝＝
【典例1】 跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知可视为质点的运动员从A点水平飞出的速度v0＝20 m/s，山坡可看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力，(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)运动员在空中的飞行时间t1；
(2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小s；
(3)运动员落到斜面上时的速度大小v；
(4)运动员何时离斜面最远？
[解析] (1)运动员从A点到B点做平抛运动，水平方向的位移：x＝v0t1，竖直方向的位移：y＝，又有tan 37°＝，代入数据解得：t1＝3 s，x＝60 m，y＝45 m。
(2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小s＝＝75 m。
(3)运动员落在斜面上时速度的竖直分量vy＝gt1＝10×3 m/s＝30 m/s，运动员落到斜面上时的速度大小v＝＝10 m/s。
(4)如图，设运动员在C点距离斜面最远，此时合速度方向与斜面平行，
tan 37°＝，即tan 37°＝，解得t2＝＝1.5 s。
[答案] (1)3 s (2)75 m (3)10 m/s (4)1.5 s
1．在分析与斜面有关的平抛运动问题时，注意分析题干信息，强调的是速度方向还是位移方向，然后进行分解并利用两分量与已知角的关系求解。
2．与斜面有关的平抛运动拓展
运动情形 题干信息 分析方法
斜面外开始，要求以最短位移打到斜面 位移方向 分解位移 x＝v0t y＝gt2 tan α＝＝
斜面外开始，沿斜面方向落入斜面 速度方向 分解速度 v x＝v0 v y＝gt tan α＝＝
主题2 与曲面有关的平抛运动
通常是与球面或圆弧面的关系，根据相切、落在圆弧面上等几何关系求解。
【典例2】 如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为( )
A． B．
C． D．
B [小球运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则小球在B点的速度方向与水平方向的夹角为30°，故vy＝v0tan 30°，又vy＝gt，则v0tan 30°＝gt，联立解得t＝。小球在水平方向上做匀速直线运动，则有R＋Rcos 60°＝v0t，联立解得v0＝，故选B。]
抓住相切关系，注意作图和几何关系。
主题3 类平抛运动
1．受力特点：物体所受的合外力为恒力，且与初速度方向垂直。
2．研究方法：运动的分解
将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿合外力方向的初速度为零的匀变速直线运动。
3．运动规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t
合外力方向上：a＝，vy＝at，y＝at2。
【典例3】 如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v0水平抛出(即v0∥CD)，小球运动到B点，已知A点的高度为h，重力加速度为g，求：
(1)小球加速度的大小；
(2)小球到达B点的时间；
(3)小球到达B点时的速度大小。
[解析] (1)小球从A点抛出后在斜面上做类平抛运动。由牛顿第二定律得mgsin θ＝ma
得a＝gsin θ。
(2)小球在沿斜面向下的方向做初速度为零的匀加速直线运动，有＝at2
解得t＝。
(3)小球沿水平方向做匀速直线运动，有vx＝v0
小球在沿斜面向下的方向做初速度为零的匀加速直线运动，有vy＝at
小球到达B点时的速度大小为vB＝＝。
[答案] (1)gsin θ (2)
类平抛运动的分析方法和平抛运动一样，都是运动的合成与分解，都要进行受力分析与运动分析。
